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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)kkn knnP kC pp 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。1下列函数中，周期为2的是（D）Asin2xy Bsin2yx Ccos4xy Dcos4yx 2已知全集UZ，2 1,0,1,2,|ABx xx，则UAC BI为（A）A 1,2 B 1,0 C0,1 D1,2 3在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20 xy，则它的离心率为（A）A5 B52 C3
2、 D2 4已知两条直线,m n，两个平面,，给出下面四个命题：（C）/,mn mn /,/mnmn/,/mn mn /,/,mn mn 其中正确命题的序号是 A B C D 5函数()sin3cos(,0)f xxx x 的单调递增区间是（D）A5,6 B5,66 C,03 D,06 6设函数()f x定义在实数集上，它的图像关于直线1x 对称，且当1x 时，()31xf x，则有（B）A132()()()323fff B231()()()323fff C213()()()332fff D321()()()233fff 7若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaa xaxa x
3、，则2a的值为（B）A3 B6 C9 D12 8设2()lg()1f xax是奇函数，则使()0f x 的x的取值范围是（A）A(1,0)B(0,1)C(,0)D(,0)(1,)U 9 已知二次函数2()f xaxbxc的导数为()fx，(0)0f，对于任意实数x都有()0f x，则(1)(0)ff的最小值为（C）A3 B52 C2 D32 10在平面直角坐标系xOy，已知平面区域(,)|1,Ax yxy且0,0 xy，则平面区域(,)|(,)Bxy xyx yA的面积为（B）A2 B1 C12 D14 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案
4、直接填空在答题卡相应位置上。11若13cos(),cos()55，.则tantan 1/2 .12某校开设 9 门课程供学生选修，其中,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）13已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm 32 .14正三棱锥PABC高为 2，侧棱与底面所成角为45o，则点A到侧面PBC的距离是 655 .15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点(4,0)A 和(4,0)C，顶点B在椭圆2212516xy上，则sinsinsinACB 5/4 .16某时钟
5、的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t 时，点A与钟面上标12的点B重合，将,A B两点的距离()d cm表示成()t s的函数，则d 10sin60t ，其中0,60t。三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第 2 位）（1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分）（2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分）（3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4 分）解
6、：（1）2325441611100.055525125pC （2）415441110.00640.9955PC （3）31444410.02555PC 18（本小题满分 12 分）如图，已知1111ABCDABC D是棱长为 3 的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC，（1）求证：1,E B F D四点共面；（4 分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 面11BCC B；（4 分）（3）用表示截面1EBFD和面11BCC B所成锐二面角大小，求tan。（4 分）解：（1）证明：在 DD1上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN，EN
7、，显然四边形 CFD1N 是平行四边形，所以D1F/CN，同理四边形 DNEA 是平行四边形，所以 EN/AD，且 EN=AD，又 BC/AD，且 AD=BC，所以 EN/BC，EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以 CN/BE，所以 D1F/BE，所以1,E B F D四点共面。1D 1A A B C D 1C 1B M E F H G（2）因为GMBF所以BCFMBG，所以MBBGBCCF，即2332MB，所以 MB=1，因为 AE=1，所以四边形 ABME 是矩形，所以 EMBB1又平面 ABB1A1平面 BCC1B1，且 EM 在平面 ABB1A1内，所以EM 面11BC
8、C B（3）EM 面11BCC B，所以EM BF，EM MH，GMBF，所以MHE 就是截面1EBFD和面11BCC B所成锐二面角的平面角，EMH=90，所以tanMEMH，ME=AB=3，BCFMHB，所以 3：MH=BF：1，BF=222313，所以 MH=313，所以tanMEMH=13 19、（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l yc 交于,P Q，（1）若2OA OBuuu r uuu r，求c的值；（5 分）（2）若P为线段AB的中点，求证：
9、QA为此抛物线的切线；（5 分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分）解：（1）设过 C 点的直线为ykxc，所以20 xkxc c，即20 xkxc，设 A1122,x yB xy，OAuuu r=11,x y，22,OBxyuuu r，因为2OA OBuuu r uuu r，所以 12122x xy y，即12122x xkxckxc，221212122x xk x xkc xxc 所以222ck ckc kc g，即220,cc所以21cc 舍去（2）设过 Q 的切线为111yykxx，/2yx，所以112kx，即2211111222yx xxyx xx，它与yc 的交点
10、为 M11,22xccx，又21212,2222xxyyk kPc，所以 Q,2kc，因为12x xc,所以21cxx，所以 M12,222xxkcc,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。BAxyOCQlP（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q,2kc，因为 PQx轴，所以,2PkPy 因为1222xxk，所以 P 为 AB 的中点。20（本小题满分 16 分）已知 na是等差数列，nb是公比为q的等比数列，11221,ab aba，记nS为数列 nb的前n项和，（1）若(,kmbam k是大于2的正整数)，求证：11(1)kSma；（4 分）（2）若3(iba
11、i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列 nb中每一项都是数列na中的项；（8 分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列 nb中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分）解：设na的公差为d，由11221,ab aba，知0,1dq，11daq（10a）（1）因为kmba，所以 111111ka qama q，111121kqmqmmq，所以1111111111kkaqammqSmaqq （2）23111,11iba qaaiaq，由3iba，所以22111,120,qiqqiqi 解得，1q 或2qi，但1q，所以2qi，因为i是正整数，所以2i
12、 是整数，即q是整数，设数列 nb中任意一项为 11nnba qnN，设数列na中的某一项mamN=1111amaq 现在只要证明存在正整数m，使得nmba，即在方程 111111na qama q中m有正整数解即可，11221111,111nnnqqmqmqqqq L，所以 222nmqqqL，若1i，则1q ，那么2111,222nnbba bba，当3i 时，因为1122,ab ab，只要考虑3n 的情况，因为3iba，所以3i，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列 nb中任意一项为 11nnba qnN与数列na的第222nqqqL项相等，从而结论成立。（3）设数列 nb中有三项,
13、mnpbb bmnp m n pN成等差数列，则有 2111111,nmpa qa qa q设,nmx pnyx yN，所以 21yxqq，令1,2xy，则3210,qq2110qqq，因为1q，所以210qq，所以512q舍去负值，即存在512q使得 nb中有三项13,mmmbbbmN成等差数列。21（本小题满分 16 分）已知,a b c d是不全为0的实数，函数2()f xbxcxd，32()g xaxbxcxd，方程()0f x 有实根，且()0f x 的实数根都是()0g f x的根，反之，()0g f x的实数根都是()0f x 的根，（1）求d的值；（3 分）（2）若0a，求c的
14、取值范围；（6 分）（3）若1,(1)0af，求c的取值范围。（7 分）解（1）设0 x是 0f x 的根，那么 00f x，则0 x是()0g f x的根，则 00,gf x即 00g，所以0d。（2）因为0a，所以 22,f xbxcx g xbxcx，则 ()g f xf xbfxc=222bxcxb xbcxc=0 的根也是 0f xx bxc的根。（a）若0b，则0c，此时 0f x 的根为 0，而()0g f x的根也是 0，所以0c，（b）若0b，当0c 时，0f x 的根为 0，而()0g f x的根也是 0，当0c 时，0f x 的根为 0 和cb，而 0bf xc的根不可能
15、为 0 和cb，所以 0bf xc必无实数根，所以 2240,bcb c 所以240,04ccc，从而04c 所以当0b 时，0c；当0b 时，04c。（3）1,(1)0af，所以0bc，即 0f x 的根为 0 和 1，所以222cxcxccxcxc=0 必无实数根，（a）当0c 时，t=2cxcx=21244ccc x，即函数 2h ttctc在4ct，0h t 恒成立，又 22224cch ttctctc，所以 min04ch th，即220,164ccc所以1603c；（b）当0c 时，t=2cxcx=21244ccc x，即函数 2h ttctc在4ct，0h t 恒成立，又 22224cch ttctctc，所以 min02ch th，24cc 0，而0c，所以24cc 0，所以c不可能小于 0，（c）0,c 则0,b 这时 0f x 的根为一切实数，而 0gf x，所以0,c 符合要求。所以1603c