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1、-初中数学竞赛专题选讲 勾股定理 一、内容提要 1.勾股定理及逆定理：ABC 中 CRta2b2=c2 2.勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的2，3，5倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2b2=c2，那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k,212k,212k是一组勾股数。如果 k 是大于
2、 2 的偶数，那么 k,122 K,122 K是一组勾股数。如果 a,b,c 是勾股数，那么 na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例题 例 1.已知线段 a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a 分析一：5a25a224aa 2a 5a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a2492aa -5a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 2.四边形 ABCD 中DAB6
3、0，BDRt，BC1，CD2 求对角线 AC 的长 解：延长 BC 和 AD 相交于 E，则E30 CE2CD4，在 RtABE 中 设 AB 为 x,则 AE2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2,x2=325 在 RtABC 中，AC221x13252132 例 3.已知ABC 中，ABAC，B2A 求证：AB2BC2ABBC 证明：作B 的平分线交 AC 于 D，则AABD，BDC2AC ADBDBC 作 BMAC 于 M，则 CMDM AB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AMCM）（AMCM）ACADABBC 例 4.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDAC
4、BD 求证：ABAC 证明：设 AB，AC，BD，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m,c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)(c-b)(c+b)(c-b)(m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n,c-b=0 即 c=b ABAC 21DABCEBCADMcbnmABCD-例 5.已知梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC 求证：ACBD 证明：作 DEAC，DFBC，交 BA 或延长线于点 E、F ACDE 和 BCDF
5、 都是平行四边形 DEAC，DFBC，AECDBF 作 DHAB 于 H，根据勾股定理 AH22-DHAD，FH22-DHDF ADBC，ADDF AHFH，EHBH DE22EHDH，BD2BHDH DEBD 即 ACBD 例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH32 求：ab的值 （2001 年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a2+b2=EF2SEFGH32 ;4SAEFSABCDSEFGH 2ab=31 得（a-b）2=31 ab33 三、练习 1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：7，8，9，10，11，
6、12，2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：252242，52122，22158，2215-25 jABCDEFHABCDFGHE-3.ABC 中，AB25，BC20，CA15，CM 和 CH 分别是中线和高。那么 SABC，CH，MH 4.梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S梯形 5.已知：ABC 中，AD 是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD 求证：AEAF 6.已知：M 是ABC 内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且 BDBF，CDCE 求证：AEAF 7.在ABC 中，C 是钝角，a2-b2=bc 求证A2B 8.求证每一组勾股数中至少有
7、一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP2BP22CP2 11.已知ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC MEMF 求证：EF2BE2CF2 12.RtABC 中，ABC90，C600，BC2，D 是 AC 的中点，从D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。（2002 年希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC 中，ABAC2，BC 边上有 100 个不同的点 p1，p2，p3
8、，p100,记 mi=APi2+BPiPiC(I=1,2，100)，则 m1+m2+m100=_ (1990 年全国初中数学联赛题)练习题参考答案(11)BACMFE(12)ABCEFD(5)ABCEFDEABCMDF-3.150，12，35 4.24（作 CEBD 交 AB 延长线 E）5.利用勾股定理证明 AE，AF 的平方都等于 m2+n2+AD2 6.利用勾股定理:AE2，AF2 7.作 CDAB 于 D，bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)b=BD-AD 8.（用反证法）设 a,b,c 都是奇数，那么 a2,b2,c2也都是奇数，a2b2是偶数,而 c2是奇数，这与 a2b2c2相矛盾，故这种假设不能成立，a,b,c 中至少有一个数是偶数 9.22221cbaabcba 正整数解有13,10,10,1312,.8,.6,.5.5,.6,.8,12cba 答：各边长是 5，12，13 或 6，8，10 11.延长 EM 到 N，使 MNEM，连结 CN，显然MNCMEB，NCBE，NFEF 12.可证 DFDE23，13.400 (mi=4)文章来源：教师之家 转载请保留出处 相关优质课视频请访问：教学视频网 ABCDEab