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1、初中数学竞赛专题选讲（初三.2）完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如 0，1，0.36，254，121 都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m2,(a+b 2)2,4x2 12x+9,144 都是完全平方式.在实数范围（a+3）2,x2+22x+2,3 也都是完全平方式.二.整数集合里，完全平方数的性质和判定 1.整数的平方的末位数字只能是 0，1，4，5，6，9
2、.所以凡是末位数字为 2，3，7，8的整数必不是平方数.2.若 n 是完全平方数，且能被质数 p 整除,则它也能被 p2整除.若整数 m 能被 q 整除，但不能被 q2整除,则 m 不是完全平方数.例如：3402 能被 2 整除，但不能被 4 整除，所以 3402 不是完全平方数.又如：444 能被 3 整除，但不能被 9 整除，所以 444 不是完全平方数.三.完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax2+bx+c(a 0)是完全平方式，则 b2 4ac=0 且 a0；如果 b2 4ac=0 且 a0；则 ax2+bx+c(a 0)是完全平方式.在有理数范围内 当 b2 4ac=0 且
3、 a 是有理数的平方时，ax2+bx+c 是完全平方式.四.完全平方式和完全平方数的关系 1.完全平方式（ax+b）2 中 当 a,b 都是有理数时,x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当 a,b 中有一个无理数时，则 x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9,当 n=4 时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五.完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1.在整系数方程 ax2+bx+c=0(a 0)中 若 b2 4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；若方程有有理数根，
4、则 b2 4ac 是完全平方数.2.在整系数方程 x2+px+q=0 中 若 p2 4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；若方程有两个整数根，则 p2 4q 是整数的平方.二、例题 例 1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为 m 2,m 1,m,m+1,m+2.其平方和为 S.那么 S（m 2）2（m 1）2 m2（m+1）2（m+2）2 5（m2+2）.m2的个位数只能是 0，1，4，5，6，9 m2+2 的个位数只能是 2，3，6，7，8，1 m2+2 不能被 5 整除.而 5（m2+2）能被 5 整除，即 S 能被 5 整除，但不能被 25 整除.五个连续
5、整数的平方和不是完全平方数.例 2 m 取什么实数时，（m 1）x2+2mx+3m 2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得 当且仅当 0 10m 时，（m 1）x2+2mx+3m 2 是完全平方式=0，即（2m）2 4(m 1)(3m 2)=0.解这个方程，得 m1=0.5,m2=2.解不等式 m 10，得 m1.即 12 5.0mm m 或 它们的公共解是 m=2.答：当 m=2 时，（m 1）x2+2mx+3m 2 是完全平方式.例 3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于 x
6、 的二次三项式，得 原式 3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式，0.即 4(a+b+c)2 12(ab+ac+bc)=0.2a2+2b2+2c2 2ab 2bc 2ca=0,(a b)2+(b c)2+(c a)2=0.要使等式成立，必须且只需：000a cc bb a解这个方程组，得 a=b=c.例 4.已知方程 x2 5x+k=0 有两个整数解，求 k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，是完全平方数.可设=m2(m 为整数)，即（5）2 4k=m2(m 为整数)，平方那么这个整式叫做完全平方式如果没有特别说明完全平方式是在实数范围内研究的
7、例如在有理数范围都是完全平 末位数字为的整数必不是平方数若是完全平方数且能被质数整除则它也能被整除若整数能被整除但不能被整除则不是 全平方式的性质和判定在实数范围内如果是完全平方式则且如果且则是完全平方式在有理数范围内当且是有理数的平解得，k=4252m.k 是非负整数，的倍数 是 4 250 2522mm由 25 m2 0，得 5 m，即 5 m 5；由 25 m2是 4 的倍数，得 m=1,3,5.以 m 的公共解 1,3,5，分别代入 k=4252m.求得 k=6,4,0.答：当 k=6,4,0 时，方程 x2 5x+k=0 有两个整数解 例 5.求证：当 k 为整数时，方程 4x2+8
8、kx+(k2+1)=0 没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么是整数的平方.（8k）2 16(k2+1)16（3k2 1）.设 3k2 1 m2(m 是整数).由 3k2 m2 1，可知 k 和 m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论 3k2 m2 1 能否成立.当 k 为偶数，m 为奇数时，左边 k2是 4 的倍数，3k2也是 4 的倍数；右边 m2除以 4 余 1，m2 1 除以 4 余 2.等式不能成立.；当 k 为奇数，m 为偶数时，左边 k2除以 4 余 1，3k2除以 4 余 3 右边 m2是 4 的倍数，m2 1 除以 4 余 1 等式也不能成立.综上所述，不论 k,m
9、 取何整数，3k2 m2 1 都不能成立.3k2 1 不是整数的平方，16（3k2 1）也不是整数的平方.当 k 为整数时，方程 4x2+8kx+(k2+1)=0 没有有理数根 平方那么这个整式叫做完全平方式如果没有特别说明完全平方式是在实数范围内研究的例如在有理数范围都是完全平 末位数字为的整数必不是平方数若是完全平方数且能被质数整除则它也能被整除若整数能被整除但不能被整除则不是 全平方式的性质和判定在实数范围内如果是完全平方式则且如果且则是完全平方式在有理数范围内当且是有理数的平三、练习 1.如果 m 是整数，那么 m2+1 的个位数只能是.分析:m2的个位数是 0,1,4,5,6,9 m
10、2+1 的个位数是 1,2,5,7,0 2.如果 n 是奇数，那么 n2 1 除以 4 余数是，n2+2 除以 8 余数是，3n2除以 4的余数是.分析：（1）n2 1=（n+1）(n-1)且 n 为奇数 n+1 与 n-1 同为偶数，故被 4 整除，n2 1 除以 4 余数是 0（2）设 n=2k+1(k 为正整数)，n2+2=（2k+1）2+2=4k(k+1)+3,而 k(k+1)是偶数，4k(k+1)是 8 的倍数，n2+2 除以 8 余数是 3，（3）设 n=2k+1(k 为正整数)，3n2=3（2k+1）2=34k(k+1)+1=12 k(k+1)+3 而 k(k+1)是偶数，12k
11、(k+1)是 4 的倍数，3n2除以 4 的余数是 3 3.如果 k 不是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数是.分析:k 不是 3 的倍数,k 被 3 除的余数是 1 或 2，不妨设 k=3m+1 或 k=3m+2，当 k=3m+1 时，k2 1=（k+1）(k-1)=3m(3m+2)是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数是 0；当 k=3m+2 时，k2 1=（k+1）(k-1)=(3m+3)(3m+1)是 3 的倍数，那么 k2 1 除以 3 余数也是 0；综上所述，k2 1 除以 3 余数是 0。4.一个整数其中三个数字是 1，其余的都是 0，问这个数是平方数吗？为什么
12、？分析：不是平方数，原因是能被 3 整除，却不能被 9 整除。5.一串连续正整数的平方 12，22，32，1234567892的和的个位数是.分析:因为平方数的个位数是（1 4 9 6 5 6 9 4+1+0）12345678（1 4 9 6 5 6 9 4+1）即个位数为 5 8 5 6.m 取什么值时，代数式 x2 2m(x 4)15 是完全平方式？分析：7.m 取什么正整数时，方程 x2 7x+m=0 的两个根都是整数？8.a,b,c 满足什么条件时,代数式(c b)x2+2(b a)x+a b 是一个完全平方式？平方那么这个整式叫做完全平方式如果没有特别说明完全平方式是在实数范围内研究
13、的例如在有理数范围都是完全平 末位数字为的整数必不是平方数若是完全平方数且能被质数整除则它也能被整除若整数能被整除但不能被整除则不是 全平方式的性质和判定在实数范围内如果是完全平方式则且如果且则是完全平方式在有理数范围内当且是有理数的平9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：四个连续整数的积；两个奇数的平方和.10.一个四位数加上 38 或减去 138 都是平方数，试求这个四位数.11.已知四位数 aabb是平方数，试求 a,b.12.已知：n 是自然数且 n1.求证：2n 1 不是完全平方数.13.已知：整系数的多项式 4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数 a 和 b 的值.14.已知：a,b 是自然数且互质，试求方程 x2 abx+21(a+b)=0 的自然数解.平方那么这个整式叫做完全平方式如果没有特别说明完全平方式是在实数范围内研究的例如在有理数范围都是完全平 末位数字为的整数必不是平方数若是完全平方数且能被质数整除则它也能被整除若整数能被整除但不能被整除则不是 全平方式的性质和判定在实数范围内如果是完全平方式则且如果且则是完全平方式在有理数范围内当且是有理数的平