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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1.多项式恒等的定义：设 f(x)和 g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)g(x)表示这两个多项式恒等.就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 . 符号“”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x26x+1=(5x 1)(x1), x339x70=(x+2)(x+5)(x 7). 都是恒等式 . 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x 2). 求： a+b+c ；ab+c. 解：以x
2、=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c 4. 以 x=1，代入等式的左右两边，得ab+c0. 2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即 如果a0 xn+a1xn1+ +an1x+an=b0 xn+b1xn1+ +bn1x+bn那么a0=b0 ，a1=b1， ，an1=bn1 ，an=bn. 上例中又解：ax2+bx+c=2x22x4. a=2, b=2, c=4. a+b+c 4，ab+c0. 3.待定系数法： 就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 二、例题例1.已知：23)2)(3(22xCxBxAxxxxx求
3、： A， B，C 的值 . 解：去分母，得x2 x+2=A(x 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3). 根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A， B，C 的值） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载当 x=0 时，2 6A.A31. 当 x=3 时，815B.B158. 当 x=2 时，810C.C54. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式， 然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例） . 例2.把多项式 x3 x2+2x+2 表
4、示为关于x 1 的降幂排列形式. 解：用待定系数法：设 x3x2+2x+2=a(x 1)3+b(x 1)2+c(x1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得2223131dcbacbabaa解这个方程组，得4321dcbax3 x2+2x+2=(x 1)3+2(x1)2+3(x 1)+4. 本题也可用换元法：设 x1=y, 那么 x=y+1. 把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成 x 1. 例3.已知： 4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全
5、平方式. 求：a 和 b 的值 . 解：设 4x4+ax3+13x2+bx+1（ 2x2+mx1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x4+ax3+13x2+bx+14x4+4mx3+(m24)x22mx+1. 比较左右两边同类项系数，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载方程组mbmma213442；或mbmma213442. 解得172174172174612612babababa或或或. 例4.推导一元三次方程根与系数的关系. 解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)的
6、三个根分别为x1,x2,x3.原方程化为x3+02adxacxab. x1,x2,x3是方程的三个根. x3+adxacxab2(xx1) (xx2) (xx3). 把右边展开，合并同类项，得x3+adxacxab2=x3( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3. 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=ab，x1x2+x1x3+x2x3ac，x1x2x3ad. 例5.已知： x3+px+q 能被（ xa）2整除 . 求证： 4p3+27q2=0. 证明：设x3+px+q（ xa）2（x+b）. x3+px+q=x3+(b 2a
7、)x2+(a22ab)x+a2b. qbapabaab22202由得 b=2a，代入和得3223aqap4p3+27q24（ 3a2）3+27(2a3)2=4（ 27a6）+27（ 4a6） =0.（证毕） .例6.已知： f (x)=x2+bx+c 是 g (x)=x4 +6x2 25 的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 . 解： g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它们的和、差、倍也能被f (x) 整除 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必
8、备欢迎下载为了消去四次项，设g (x)q (x)kf (x), (k 为正整数 ). 即 14x228x+70k (x2+bx+c) 14（x22x+5） k (x2+bx+c) k=14,b=2, c=5. 即 f (x)=x22x+5.f (1)=4 . 例7.用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：展开式是五次齐次对称式，可设（ x+y）5a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,b,c 是待定系数 .) 当x=1,y=0 时，得 a=1；当x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32，即 a+b+c=16 当x=1,y=2 时，得 31a14b+4c=1
9、. 得方程组141431161cbacbaa解方程组，得1051cba（ x+y）5x5+5x4y+10 x3y2+10 x2y3+5xy4+y5. 三、练习51 1.已知4286322xbxaxxx.求 a,b 的值 . 2.已知：2) 1(1)2()1(534222xCxBxAxxxx.求： A，B，C 的值 . 3.已知：x46x3+13x2 12x+4 是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根. 4.已知： ax3+bx2+cx+d能被 x2+p 整除 .求证： ad=bc. 5.已知： x39x2+25x+13=a(x+1)(x 2)(x3) =b(x1)(x2)(x3) =c(x
10、1)(x+1)(x 3) =d(x1)(x+1)(x 2). 求： a+b+c+d 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）. 7.用 x2 的各次幂表示3x310 x2+13. 8.k 取什么值时，kx22xyy2+3x5y+2 能分解为两个一次因式. 9.分解因式： x2+3xy+2y24x+5y+3 ；x4+1987x2+1986x+1987. 10. 求下列展开式： (x+y)6； (a+b+c)3. 11. 多项式 x2yy
11、2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz 因式分解的结果是( ) (A) (x+y)(y z)(xz) . (B) (x+y)(y+z)(x z). (C) (x y)(y z)(x+z). (D) (x y)(y+z)(x+z). 12. 已知 ( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若 S=(x1)4+4(x1)3+6(x 1)2+4x3. 则 S 等于 ( ) (A) (x2)4 . (B) (x1)4 . (C) x4. (D) (x+1)4. 13 已知：4310252323xxxcbxxax的值是恒为常数求：a,b,c 的值 . 参考答案1. a=27,b=2112.A=
12、1,B=2,C=3 3. (x23x+2) 4.由 (x2+p)(ax+pd)5. 1 7. 3(x2)3+8(x 2)24(x2)3 8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9. (x+y +1)(x+2y+3) (x2+x+1)(x2x+1987) 10.x6+6x5y+15x4y2+20 x3y3+15x2y4+6xy5+y6. x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz. 11. (A) 12.(C) 13. a=1, b=1.5, c= 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页