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1、1 减肥模型 【摘要】专科组：陈瑶 江珅 唐波 本文利用一阶线性微分方程，建立人体重变化与摄入热量的数学模型，先解出整数解，再讨论不同初值对解的影响：最后通过三种曲线的形式，直观的给出体重与摄入热量的动态变化规律；得出的结论是：提高单位体重单日消耗的热量值比减小热量摄入量对减肥更有效。关键字：微分方程 热量 新陈代谢 减肥 一 问题重述：某人每天由饮食获取 10500 焦耳的热量，其中 5040 焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付 67.2 焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为 100%，问此人的体重如何随时间变化？二 问题分析：由题意可以求出，任意一
2、天的体重的变化量与体重之间关系，将其推广，可看作任意一点的体重的变化率与体重之间关系，即可建立微分方程，进而求出体重变化规律 三 模型假设：（1）一天之内人的体重基本不变化，一天为 t 的最小单位；（2）人的初始体重假设最低为 25kg，最大为 125kg；（3）存在一个连续可导的函数 W(t),s 使任意正整数n 都满足 W(n)=第 n 天人的体重；（4）人体内多余的热量都转化为脂肪储存在体内；（5）某人以脂肪形式储存的热量是 100%地有效，而 1 千克脂肪含热量是 42000 焦耳。四 符号说明 Wt 表示人的体重 W0 表示人的初体重 Ws 表示人的稳定体重 P 表示每天饮食摄入的总
3、热量Q 表示每天新陈代谢消耗热量K 表示每天热量净摄入量 R 表示每天每千克体重运动消耗热量 A 表示每千克脂肪所含热量 2 五 建立模型：一天的净摄入量 每天运动消耗热量 K=P-Q RW(t)所以从 t 到 t+t 时间内体重的变化：W(t+t)-W(t)=体重变化的数学模型：P Q A t-R W(t)t A W(t+t)-W(t)=t 即 P Q-A R W(t)A dW P Q R W(t)dt A A W(0)W0 利用分离变量法解方程得：1 ln(P Q)RW(t)R t C A 由 W(0)=W0 得：从而得：C=1 ln(P Q)RW R 0 W(t)=代入题目中的数值：P
4、Q R (P Q)RW0 e R Rt A P=10500 Q=5040 R=67.2 A=42000 所以体重随时间变化的函数是：W(t)=即 10500 5040 67.2 (10500 5040)67.2W0 e 67.2 67.2 t 42000 3 W(t)=81.25-（81.25-W 0）e t 625 求导得：即 dW (P Q)RW0 e dt A Rt A dW 5460 67.2W0 e dt 42000 67.2 t 42000 用 MatLab 编程画出 W 0 从 25Kg 到 125Kg 每增长 5Kg 的体重随时间变化曲线图代码见附件 1 曲线方程为：W(t)=
5、81.25-（81.25-W 0）e 曲线图如下：t 625（W 0=25：10：125，0t5000）Wt(Kg)140 120 100 80 60 40 20(t(d)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 图 1 图 1 结果分析：(1)这是假设人初始体重为 25Kg，以 10Kg 的增速递增，最大值是 125Kg 时随着时间（t）的增长人体重（Kg）的变化曲线。值 值 值 =81.25 4 (2)每条曲线都趋向一个稳定值 Ws=P Q 81.25,即经过一段时间之后每个人虽 R 然初始体重不同但最终的体重都趋向同一个稳定值 81.25Kg。(3
6、)当人的初始体重小于81.25 Kg 时，体重随时间单调递增，经过一定的时间后人的体重达到稳定值 81.25Kg。(4)当人的初始体重大于81.25 Kg 时，体重随时间单调递减，经过一定的时间后人的体重达到稳定值 81.25Kg。(5)当一个人初始体重大于稳定值 81.25Kg 的时候，按照此方案制定的减肥计划：每天（P-Q）为 5460J 的净摄入量和 R 为 67.2J/Kg 的运动消耗量。则在前 3 年减肥效果明显，到后来效果不明显。所以到后来应该改变减肥计划，即改变每天的净摄入量和运动量。六 模型讨论 改变的值的微分方程:dW K RW0 e dt 42000 R t 42000 若
7、改变每天每千克体重运动消耗热量 R 的值，分别取 60.3、67.2、83.3，则稳定体重 Ws 分别为 90.55Kg、81.25Kg、65.55Kg。然后用 MatLab 编程得出此微分方程曲线如下图所示：Wt值 Kg值140 120 100 80 60 40 20 t(d)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 图 2 若改变每天热量净摄入量 K 的值，分别取 6450、5460、4560，则稳定体重 Ws 分别为 95.98Kg、81.25Kg、67.86Kg。然后用 MatLab 编程得出此微分方程曲线如下图所示：R=60
8、.3 R=67.2 R=83.3 5 Wt 值 Kg 值140 120 100 80 60 40 20 t(d)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 图 3 观察比较上述两种情况，可以有如下结论：1 若提高每天每千克体重运动消耗热量R的值，会降低稳定体重Ws，并加快体重变化速度。2 若提高每天热量净摄入量 K的值，只会提升稳定体重Ws，对体重变化速度无影响。3 大体来说，提高R比降低K，对降低稳定体重Ws效果更明显。七 现实指导意义：1，对于减肥的人来说，运动比节食更为重要，前者明显改变R，而后者只改变P，而且改变程度难以监控（吃
9、零食等）；更重要的是，改变R不仅降低稳定体重Ws，还加快了减肥的速度。八 模型的评价：本模型通过对减肥的分析，从某一方面解决了减肥的问题。其优点在于运用生理学知识和数学知识得出了科学减肥的公式。其不足之处：我们考虑的因素太少，没有将身高、体重、遗传因素等考虑在内，与实际的情况还有很大的距离。因此，我们建立的模型有点简单，只是对减肥模型的一个粗略框架。毕竟，这是我们第一次建立模型，经验欠缺。附件 1：求解体重（Kg）随时间(t)变化的程序 clear clc clf t=1:5000;hold on K=645 0 K=546 0 K=456 0 6 for w0=25:10:125;w=(54
10、60-(5460-67.2.*w0)*exp(-67.2*t/42000)/67.2;plot(t,w,r)end gtext(Wt(Kg);gtext(t(d);gtext(稳定值=81.25);grid on 附件 2 改变每天运动消耗热量 R 的值的求解微分方程程序 clear clc clf t=1:5000 hold on wt=dsolve(Dw=(5460-R*w0)/42000)*exp(-R*t/42000),w(0)=w0)%求解微分方程 for w0=25:10:125 R=67.2 w=eval(wt);%数值化 plot(t,w,r)R=83.3 w=eval(wt)
11、;%数值化 plot(t,w,g)R=60.3 w=eval(wt);%数值化 plot(t,w,m)end gtext(Wt（Kg）);gtext(t(d);gtext(R=67.2);gtext(R=83.3);gtext(R=60.3);grid on 附件 3 改变每天净摄入量 K 的值体重随时间变化的微分方程程序 clear clc clf t=1:5000 hold on 7 wt=dsolve(Dw=(K-67.2*w0)/42000)*exp(-67.2*t/42000),w(0)=w0)%求解微分方程 for w0=25:10:125 K=5460 w=eval(wt);%数值化 plot(t,w,r)K=6450 w=eval(wt);%数值化 plot(t,w,g)K=4560 w=eval(wt);%数值化 plot(t,w,m)end gtext(Wt（Kg）);gtext(t(d);gtext(K=5460);gtext(K=6450);gtext(K=4560);grid on