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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.3。1 三角函数的周期性 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具)1。理解周期函数的定义（难点)2。知道正弦函数、余弦函数的最小正周期（重点)3.会求函数ysin(x）和ycos（x）的周期(重点）通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、周期函数的定义 1周期函数的定义：一般地，对于函数f(x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（xT)f(x），那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
2、f(x)的最小正周期 3正弦函数、余弦函数的周期：学必求其心得，业必贵于专精 -2-正弦函数和余弦函数都是周期函数,2k（kZ 且k0）都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2。思考 1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由 提示 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加（或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同 即有 sin(2x）sin x故正弦函数、余弦函数也具有周期性 思考 2：所有的周期函数都有最小正周期吗？提示 并不是所有的周期函数都有
3、最小正周期,譬如，常数函数f（x）C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期 二、正、余弦函数的周期 函数yAsin（x）及yAcos（x）的周期：一般地，函数yAsin(x)及yAcos（x）(其中A，为常数，且A0，0）的周期T错误!.思考 3:6 是函数ysin x(xR）的一个周期吗？学必求其心得，业必贵于专精 -3-提示 是 1思考辨析(1)周期函数都一定有最小正周期(）(2）周期函数的周期只有唯一一个（）(3)周期函数的周期可以有无数多个()答案（1）(2）(3）2函数y错误!sin错误!的周期是_ 2 T错误!2。3函数f(x)2cos(4x30）的周期是_ 错误!T错误
4、!错误!.求三角函数的周期 【例 1】求下列函数的最小正周期（1)f（x）2sin错误!；（2）f(x）2cos错误!;(3）ysin x；(4)f(x）2cos错误!(a0)学必求其心得，业必贵于专精 -4-思路点拨：利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解 解(1)T错误!6，最小正周期为6。（2）T错误!错误!，最小正周期为错误!.（3）由ysin x的周期为 2，可猜想y|sin x的周期应为。验证：sin（x)|sin x|sin x|,由周期函数的定义知y|sin x的最小正周期是.(4）T错误!错误!,最小正周期为错误!.利用公式求yAsinx或yAcosx的最小正周期时，要注意
5、的正负,公式可记为错误!已知f（x）cos错误!的最小正周期为错误!，则_.10 由题意可知错误!错误!，10。周期性的应用 探究问题 1若函数f(x)满足f（xa）错误!(f(x)0，a0），则f（x）是否是周期函数？若是,求其最小正周期 提示：f（x2a)f（xa)a1fxa错误!f(x)，学必求其心得，业必贵于专精 -5-T2a,即f（x）是周期函数,且最小正周期为 2a.2若f(x)满足f(xa）f(x)（a0)，则f（x)是周期函数吗？若是,求其最小正周期 提示：f(x2a）f(xa)af（xa）f（x）f(x)，f（x)的周期为 2a.【例 2】定义在 R 上的函数f(x)既是偶函
6、数又是周期函数，若f(x）的最小正周期是，且当x错误!时，f(x)sin x，求f错误!的值 思路点拨：错误!错误!错误!错误!错误!解 f（x)的最小正周期是，f错误!f错误!f错误!。f(x）是 R 上的偶函数，f错误!f错误!sin错误!错误!，f错误!错误!。1(变条件）将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”,其余不变，求f错误!的值 解 f（x）的最小正周期为，学必求其心得，业必贵于专精 -6-f错误!f错误!f错误!,f（x）是 R 上的奇函数，f错误!f错误!sin 错误!错误!，f错误!错误!。2（变结论)本例条件不变,求f错误!的值 解 f（x）的最小正周期为,f错误!f错误
7、!f错误!，f（x）是 R 上的偶函数，f错误!f错误!sin 错误!错误!。f错误!错误!.函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.教师独具 1本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期 本节课重点掌握求三角函数周期的方法 2(1)定义法，即利用周期函数的定义求解 学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos（x)(A,，是常数，A0，0)的函数,T错误!.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。1函数y3sin错误!的最小正周期为()A。错误!B。错误!C D2 C T22.2若函数ycos错误!（0)的最小正周期是,则_。2 T错误!，2.0，2。3 若f（x）是以 2 为周期的函数,且f（2)2，则f(4）_.2 f(4）f(22)f（2）2.4若f（x）是以错误!为周期的奇函数，且f错误!1，求f错误!的值 解 f(x）是以错误!为周期的奇函数,f错误!f错误!学必求其心得，业必贵于专精 -8-f错误!f错误!f错误!f错误!f错误!,又f错误!1，f错误!f错误!1。