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1、精品 利用韦达定理求一元二次方程的根 一、关于韦达定理的性质 1.韦达定理：假设一元二次方程ax2bxc0 的两根分别为x1、x2，则有 x1x2ba，x1x2ca.2.推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式xbb24ac2a 不妨假设 x1bb24ac2a，x2bb24ac2a 不难得出 x1x2ba，x1x2ca.（法二）若一元二次方程的两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式 a(xx1)(xx2)0(a0)（双根式）按照x的次数降幂排列，得 ax2a(x1x2)xax1x20 对比一元二次方程的一般式ax2bxc0，得 ba(x1x2)，cax1x2，x1x2ba，x1x2ca.
2、3.推论：（一）当二次项系数为 1 时，即一元二次方程满足x2pxq0 的形式假设方程的两根分别为x1、x2，则有x1x2p，x1x2q.（二）已知一元二次方程两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式 x2(x1x2)xx1x20.4.实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根 例如，求一元二次方程x222x60 的根.精品 很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x32)(x2)0，解得，x132，x22.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a1，b22，c6，b24ac82432，
3、xbb24ac2a22422222，于是有 x132，x22.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2(x1x2)xx1x20 形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用.而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量.那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x222x60，根据韦达定理有x1x222，x1x26.在方
4、程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x12a，x22a，（满足条件x1x222）且 (2a)(2a)6.（满足条件x1x26）于是有 2a26，则a28，因此a22 精品 x122232，x22222.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数.观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用.当然我们也可以看以下例子.例 1：解方程x26x250，根据韦达定理有x1x26，x1x225.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正
5、数），使得 x13a，x23a，（满足条件x1x26）且 (3a)(3a)25.（满足条件x1x225）于是有 9a225，则a234，因此a34 x1334，x2334.例 2：解方程x224x630，根据韦达定理有x1x224，x1x263.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x112a，x212a，（满足条件x1x224）且 (12a)(12a)63.（满足条件x1x263）于是有 144a263，则a2207，因此a207 x112207，x212207.例 3：解方程x214x480，根据韦达定理有x1x214，x1x248.在方程有解的情况下，必然会存在
6、某一个实数a（假定为正数），使得 x17a，x27a，（满足条件x1x214）且 (7a)(7a)48.（满足条件x1x248）精品 于是有 49a248，则a21，因此a1 x1718，x2716.例 4：解方程x218x400，根据韦达定理有x1x218，x1x240.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x19a，x29a，（满足条件x1x218）且 (9a)(9a)40 （满足条件x1x240）于是有 81a240，则a241，因此a41 x1941，x2941.通过以上 4 个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为 1 时，利用韦达定理解一元二次方程的流程.实际
7、上当一元二次方程二次项系数不为 1 时，我们也可以离此流程解一元二次方程.如 例 5：解方程 2x29x50，（法一）根据韦达定理有x1x292，x1x252.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x194a，x294a，（满足条件x1x292）且 (94a)(94a)52.（满足条件x1x252）于是有 8116a252，则a212116，因此a114 x19411412，x2941145.（法二）a2，b9，c5，b24ac8140121，xbb24ac2a9114，精品 于是有x112，x25.当然，当二次项系数不为 1 时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.