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1、利用韦达定理求一元二次方程的根利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质韦达定理:假设一元二次方程x2+bx的两根分别为x1、x，则有x1+f(b,)，x1x2错误!.推导：(法一)根据一元二次方程的求根公式xbr(b24ac)2a不妨假设x1错误!,x2错误!不难得出x1+2-f(b,a,x1x2错误!.法二若一元二次方程的两根分别为x、,则方程能够写成下面形式a(x)-x2)0(0)双根式)根据x的次数降幂排列，得a2-a(1+)xx1=0比照一元二次方程的一般式axc0，得b=a(1x)，c=ax1x2,x1x2错误!，1x2错误!.推论：一)当二次项系数为1时，即一元二次方程
2、知足x2+xq0的形式假设方程的两根分别为1、2，则有x12=-p,x1x=q.(二)已知一元二次方程两根分别为x1、x2，则方程能够写成下面形式x2-(x1x2)x1=0.本质:韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x2226=0的根很明显,根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法(法一因式分解，得(-32(x+r(2),解得,1r(2，x2=错误!当然，利用十字相乘法很难凑数时,我们就会选用求根公式法法二)a=,b=22,c=6，b-4ac8+24=2，x错误!错误!错误!错误!,于是有x=3r()，x22.结合以上两种方法，我
3、们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的经过十分灵敏，若每一个系数都是整数,且知足x2xx2)xx1x2=形式的方程能够很快算出来，但假如系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是特别困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用.而利用求根公式解一元二次方程时,固然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量.那有什么方法既能够减少计算量，使运算变得简单快速，同时又能够用来解一切的一元二次方程呢?接下来,我们看下面解法.法三已知方程x22错误!x6=0，x2=2错误!，x1x=.根据韦达定理有x在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数假定为正数，使得x1=错误!,x2=错误!-a,
4、(知足条件1+x2=2错误!且(2+a)(r2a)=6.(知足条件x126)于是有2-2=6，则a2，因而a=2r(2)x1错误!+2错误!=3错误!,x2错误!-2错误!错误!.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果,为了方便,习惯上能够假定a为正数.观察以上解法，我们能够发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点,计算快速且万能通用.当然我们可以以看下面例子例1:解方程x26x250,根据韦达定理有+x2=6，x1x25.在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数,使得x13+a,x2=3a，知足条件x1x=6且
5、3a)-a)25(知足条件25)于是有9a2=25，则234,因而a=错误!x1=334,x3错误!.例2：解方程+2x63,根据韦达定理有124，x1x263.在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数(假定为正数),使得x=12+a,x12a，(知足条件xx2=-)且(+a)(-12-a=63.(知足条件xx26)于是有1a263,则a2207,因而a错误!=-2207，x2-12-错误!.x例3:解方程x4x+40，根据韦达定理有x1x21，x12=48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数假定为正数)，使得x1,x2=7-a，(知足条件x1+4且7+7a)=8知足条件x1x=48)于
6、是有492=48,则2，因而a1718,x2=71=.例4:解方程x218+40=0,根据韦达定理有x1x2=18,x1x240.在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数)，使得9a，x29-a,知足条件xx218x且9a)9)40知足条件12=4于是有81a240，则a241,因而a41x1-941，x=-9错误!通过以上4个例子,我们能够熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程.实际受骗一元二次方程二次项系数不为1时，我们可以以离此流程解一元二次方程.如例5:解方程2x2950，法一)根据韦达定理有x1+x2=(9，2),x2=错误!.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a(假定为正数,使得x1=错误!+，x错误!-a,知足条件xx-错误!且(9+a)(-错误!-a)错误!.知足条件x12错误!)于是有8116-a=(5，则a212116，因而=14xf(9,4)+错误!=错误!,x2=错误!-错误!-5.法二a2,b=9,=-5，b2-a+41，错误!错误!，于是有x1=f(,2，x2=-当然,当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不过多,因而当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.