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1、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)创作编号：BG7531400019813488897SX创别如克*一元二次方程根与系数的关系韦达定理【学习目的】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并把握应用韦达定理求待定系数。3、理解并把握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca+=，假如方程有两个实数根12,xx，那么1212,bcxxxxaa+=-=讲明：1定理成立的条件0?2注意公式重12bxxa
2、+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用途1计算对称式的值例若12,xx是方程2220070xx+-=的两个根，试求下列各式的值： (1)2212xx+；(2)1211xx+；(3)12(5)(5)xx-；(4)12|xx-解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx+=-=- (1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx+=+-=-=(2)121212112220072007xxxxxx+-+=-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx-=-+=-+=-(4)22212121212|()()4(2)4(
3、2007)22020xxxxxxxx-=-=+-=-=讲明：利用根与系数的关系求值，要熟练把握下面等式变形：222121212()2xxxxxx+=+-，12121211xxxxxx+=，22121212()()4xxxxxx-=+-，2121212|()4xxxxxx-=+-，2212121212()xxxxxxxx+=+，33312121212()3()xxxxxxxx+=+-+等等韦达定理体现了整体思想【课堂练习】1设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值为_2已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2，x1x2，x1x223已知方程2x23x+k=0的两根之
4、差为212，则k=;4若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a=;5若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;6设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)1x11x27已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x1+2构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5xy=6解：显然，x，y是方程z2-5z+60的两根由方程解得z1=2,z2=3原方程组的解为x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要
5、简单得多。3定性判定字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知k2-4220，k4或k-4创作编号：BG7531400019813488897SX创别如克*为所求。【典型例题】例1已知关于x的方程221(1)104xkxk-+=，根据下列条件，分别求出k的值(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx知足12|xx=分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是120xx=，二是12xx-=，所以要分类讨论解：(1)方程两实根的积为5222121(1)4(1)03
6、4,412154kkkkxxk?=-+-+?=?=+=?所以，当4k=时，方程两实根的积为5(2)由12|xx=得知：当10x时，12xx=，所以方程有两相等实数根，故302k?=?=；当10x?，故1k=-不合题意，舍去综上可得，32k=时，方程的两实根12,xx知足12|xx=讲明：根据一元二次方程两实根知足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应知足0?例2已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk-+=的两个实数根 (1)能否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx-=-成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您讲明理由 (2)求使12212xxx
7、x+-的值为整数的实数k的整数值解：(1)假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx-=-成立一元二次方程24410kxkxk-+=的两个实数根2400(4)44(1)160kkkkkk?B2,1kk且2若12,xx是方程22630xx-+=的两个根，则1211xx+的值为()A2B2-C12D923已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm+-+=的根，则m等于()A3-B5C53-或D53-或4若t是一元二次方程20(0)axbxca+=的根，则判别式24bac?=-和完全平方式2(2)Matb=+的关系是()AM?=
8、BM?CM?，关于x的方程21(2)04xmnxmn-+=有两个相等的的正实数根，求mn的值13已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm+-=(1)求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且知足121112xx+=-，求m的值创作编号：BG7531400019813488897SX创别如克*14已知关于x的方程221(1)104xkxk-+=的两根是一个矩形两边的长(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k的值B组1已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk-+-+=有两个不相等的实数根12,xx(1)求k的取值范围；(2)能否存在实
9、数k，使方程的两实根互为相反数？假如存在，求出k的值；假如不存在，请您讲明理由2已知关于x的方程230xxm+-=的两个实数根的平方和等于11求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm-+-+-=有实数根3若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk-+=的两个实数根，且12,xx都大于1(1)务实数k的取值范围；(2)若1212xx=，求k的值答案A组1B2A3A4A5A62,acbbc+=且7389或3-91,3pq=-=-103,3,0abc=11正确1241321(1)1650(2)2mm?=+=-143(1)(2)22kk=B组113(1)112kk也有实根3(1)314kk且；(2)7k=创作编号：BG7531400019813488897SX创别如克*创作编号：BG7531400019813488897SX创别如克*