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1、标准 文案 初中数学新人教版八上期考压轴题汇编(三角形部分)一、动点问题：例1(1)如图10,在RHABC中，AC=BC,Z ACB=90,M为AB中点，AF=CE请判断 MEF的形状.(2)已知：如图 11 在 RtABC中,AC=BC,/C=90,点 D为 AB上任一点，DF,AC于 F,DE BC于 E,M为BC的中点.判断 MEF什么形状的三角形并证明你的结论.当点D在AB上运动时，四边形 FMEM面积是否会改变，并证明你的结论.当点D在BA的延长线上运动时，如图 12,中的结论还成立吗？思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结 CM是常用的辅助线.解析：(1)MEF是等腰直
2、角三角形.(2)MEF等腰直角三角形.理由如下：连结CM如图13 DF AC于 F,DELBC于 E,/ACB=90 四边形CEDF为长方形，DF=CE .在 RtABC中,AB=AC,Z ACB=90,M为AB中点，/A=/1=45,CML AB,AM=BM=CM .在 RtMDF中,/A=45 .AF=DF AF=CE 在 AM环口 ACME43 r AM-CM ZA=Z1 I AF=CE.AM监 CME(SAS MF=ME/2=/3/2+/CMF=90,.3+/CMF=90,即/EMF=90 .MEF等腰直角三角形.当点D在AB上运动时，四边形 FMEC勺面积不会改变，由可知，AMF C
3、ME SAAMF=SACME SAAC=SZBCM,S CM=SABM 1 S 四边形 FME=SCM+S ACME=i SA ABC.四边形FMEC勺面积不会改变.成立，理由如下：连结 CM如图14 DF AC于 F,DELBC于 E,/ACB=90 图11 图12 证明如下:图13 标准 文案 ，四边形CED协长方形，.DF=CE .在 RtABC中,AC=BC,Z ACB=90,M为 AB中点，/BAC4 1=45,CML AB,AM=BM=CM ./MAF=/MCE=135.在 RtADF中，/DAF=Z BAC=45 .AF=DF AF=CE 在 AM环口 ACME43 J ZMAF
4、=ZMCE LAF=CE .AM监 CME（SAS MF=ME/AMF=/CME Z CME+AME=90,./AMF+AME=90,即/EMF=90 .MEF等腰直角三角形.总结升华：对比（2）中的与，都是先证明四边形 CEDF长方形，从而得到 AF=CE接着证 AMfA CME得到MF=ME且/EMF=90,可以看出这两问的证明思路大体上是相同的.也就是说，在这类问题中，可 以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的.举一反三【变式1】已知四边形 曲。中，ABLAD,BCLCD,四二 8C,N48c=120，/物/财冽绕点旋转，它的两边分别交 四，DC（或它们的延长线）
5、于E,F.当NMBN绕B 点旋转到 AE-CF 时（如图15）,易证AE+CR=EF.当 4MRN绕B点旋转到 AEtCF 时，在图16和图17这两 种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 杷 CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图15 图16 图17【答案】图16,延长EA到Q使得 OA=CF连结OB易证A AB CBF,OB=BF进而证明 BEF BEQ即可得 至U EF=AE+CF 图17中，在 AE中取一点 0,使得 OA=CF连结OB易证 AB8 CBF,OB=BF进而证明 BEH BEQ 即可得到EF=AE-CF【变式2】已知：正方形版;
6、口中，ZOMZOZ绕点幺顺时针旋转，它的两边分别交 CB,DC 标准 文案 （或它们的延长线）于点K N.当比的绕点 H 旋转到3M二DM时（如图18）,易证BM+DN 二血.（1）当2M网绕点工旋转到 BMrDN时（如图19）,线段BM,DN和W之间有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明.（2）当NM蒯绕点工旋转到如图【答案】此题与第1题方法相同.（1）BM+DN=MN（2）DN-BM=M.N 21.如图1,点。是边长为1的等边 ABC内的任一点，设/AOB=0,/BOC=（1）将BOCgg点C沿顺时针方向旋转60得AADC连结OD如图2所示.求证：OD=OC（2）在（1）的基础上，将 A
7、BC绕点C沿顺时针方向旋转60得AEAC连结DE如图3所示.求证：OA=DE（3）在（2）的基础上，当a、P满足什么关系时，点 R Q D E在同一直线上。并直接写出 接写出你的猜想.图18 20的位置时，线段8M,0#和刈 之间又有怎样的数量关系？请直 B AO+BO+C O最小值。标准 文案 25.(1)如图(1),已知：在 ABC中，/BAC=90,AB=AC,直线m经过点 A,BDL直线 m,C已直线m,垂 足分别为点D E.证明：DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在 ABC中，AB=AC D A、E三点都在直线 m上，并且有/BDA=/AEC4 BAC=(,其
8、中。为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE1否成立？如成立，请你给出证明；若 不成立，请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3),0 E是D A、E三点所在直线 m上的两动点(D A、E三点互不重合)，点F 为/BAC平分线上的一点，且4ABF和4ACF均为等边三角形，连接 BQ CE,若/BDAh AECW BAC 试判断 DEF的形状并说明理由。27.已知：如图，ABC 中，/ABC=45,CD_LAB于D,BE平 分ZABC,且BE _L AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中 点，连结DH与BE相交于点G.(1)求证：BF=AC；1(2)求证：CE=BF;2 21、(8分)已知：
9、在 ABC中，AGBQ/ACE=90,点D是AB的中点，点 E是AB边上一点.(1)直线BF垂直于直线 CE于点F,交CDF点G(如图)，求证：AE=C(G(2)直线AH垂直于直线C耳垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图)，找出图中与BEf等的线段，并 证明.标准 文案 21.如图，在梯形 ABC由，AD/BC AB=CD分另U以AR CD为边向外侧作等边三角形 AB口等边三角形 DCF 连接AF,DE(1)求证：AF=DE(2)若/BAD45,AB=a,ABE DCF勺面积之和等于梯形 ABCD勺面积，求BC的长.而 SAABE=SA DC=a2,4考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与
10、性质；等边三角形的性质。专题：探究型。分析：(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明(2)如图作BHL AD CKLAD利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出 解答：(1)证明：在梯形 ABCtD3,AD/BC AB=CD /BAB/CDA 而在等边三角形AB3 口等边三角形DC冲，ABAE DGDF,且/BAE=/CDF=60,.AE=DF/EAR/FDA AD=DA.AE挈 DFA(SAS,AF=DE AE挈 DFAIRT;BC的长.(2)解：如图作 BHLAD CK!AD,则有 BGHK BAO45,/HAS/KDG45,AB=二 BH=三 AH 同理：CD
11、=CK=KD 上辛 什/(AD+BC),S 梯形 ABCD 一巴，AB=a,2 .S 梯形 ABCD 的形状并说明理由.(1)(图3)X2+2BC)标准 文案 .J_S=2X 运2,2 4.B(=y6虫.2 点评：本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及 等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目.15.如图，在等腰 ABC,AB=AC/BAG=50./BAC勺平分线与 AB的中垂线交于点 Q点C沿EF折叠 后与点O重合，则/CEF勺度数是 50.B EC 考点：翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。分析
12、：利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出/OBC=40。，以及/OB&Z OCB=40。，再利用翻折 变换的性质得出 E0=EC/CEF=/FEO进而求出即可.解答：解：连接BQ BAC=50,/BAC勺平分线与 AB的中垂线交于点 O,.Z OAB=/ABO=25,.等腰ABC43,AB=AC/BAC 50,.Z ABC=/ACB=65,OBC=65-25=40,AB=AC ,/BAO=/CAO,lAO=AO.AB孽 ACO BO=CO ./OBC=/OCB=40,点C沿EF折叠后与点O重合,EO=EC/CEF=/FEO CE一：故答案为：50 D 标准 文案 点评：此题主要考查了翻折
13、变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性 质得出对应相等关系是解题关键.【9.2012 泰安】26.如图，在 ABC43,/AB(=45,CDL AB BE!AC垂足分别为 D,EE,F为BC中点，BE与DF,DC分别交 于点 G H,/AB=/CBE(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2 GE=EA 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。解答：证明：(1).一/BDC/BEB/CDA90。，/ABC45,/BCD45=Z ABC/A+/DCA90,/A+/AB叵90,DB=DC/ABE=Z D
14、CA 在 DBHm DCA /DBHZ DCA/BD修/CDA BD=CD DB津 DCA BHAC(2)连接CG F为BC的中点，DB=DC DF垂直平分BC BGCG /AB=/CBE BE!AC /AEBZCEB 在 ABE CB计/AEB/CEB BE=BE Z CBE=Z ABE.AB降 CBE EGEA 在RtCG坤，由勾股定理得：Bd-GE=EA.标准 文案 26.(12分)在？ABCD43,/ADC的平分线交直线 BC于点E、交AB的延长线于点 F,连接AC(1)如图1,若/ADC=90,G是EF的中点，连接 AG CG 求证：BE=BF 请判断 AGC勺形状，并说明理由；(2
15、)如图2,若/ADC=60,将线段FB绕点F顺时针旋转60至FG,连接AG CG那公、AGCX是怎样的形 状.(直接写出结论不必证明)考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形.专题：压轴题.分析：(1)先判定四边形 ABCD矩形，再根据矩形的性质可得/ABC=90,AB/DC AD/BC,然后根据平 行线的性质求出/F=/FDC/BEF=/ADF再本据DF是/ADC勺平分线，利用角平分线的定义得到/ADF=Z FDC从而彳#到/F=/BEF然后根据等角对等边的性质即可证明；连接BG根据等腰直角三角形的性质可得/F=/BEF=45,再根据等腰三角形三线合一
16、的性质求出 BG=FG/F=/CBG=45,然后利用“边角边”证明 AFG CB故等，根据全等三角形对应边相等可 得AG=CG再求出/GAC廿ACG=90,然后求出/AGC=90,然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；(2)连接BG根据旋转的性质可得 BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求 出AF=AD平行四边形的对角相等求出/ABC=z ADC=60,然后求出/CBG=60,从而得到/AFGh CBG 然后利用“边角边”证明 AFG和4CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得 AG=CG全等三角形对 应角相等可得/FAG=Z BCG然后求出/GAC廿ACG=120,再求出
17、/AGC=60,然后根据等边三角形的 判定方法判定即可.标准 文案 解答：(1)证明：四边形 ABC比平行四边形，/ABC=90,四边形ABC比矩形，/ABC=90,AB/DC AD/BC/F=Z FDC/BEF=/ADF DF是/ADC的平分线，/ADF4 FDC/F=Z BEF,BF=BE AGB等腰直角三角形.理由如下：连接 BG 由知，BF=BE/FBC=90,/F=Z BEF=45,.G是EF的中点，BG=FG/F=Z CBG=45,/FAD=90,AF=AD 又 AD=BC AF=BC 在 AFGnCBG43,/F=/CBGM50,BG=FG.AF CBG(SAS),AG=CG /
18、FAGh BCG 又 /FAG-+Z GAC廿 ACB=90,/BCG+GAC+ACB=90,即/GAC+ACG=90,/AGC=90,.AGB等腰直角三角形；(2)连接BG.FB绕点F顺时针旋转 60至FG .BFG是等边三角形，FG=BG/FBG=60,又.四边形ABCD平行四边形，/ADC=60,/ABCh ADC=60 ./CBG=180-/FBG-/ABC=180-60-60=60,/AFGh CBG DF是/ADC的平分线，/ADF=/FDC 1.AB/DC/AFD=/FDC /AFD4 ADF AF=AD 标准 文案 rFG=BG 在 AFG CBGF,ZAFG=ZCBG,LAF=BC .AF CBG(SAS),AG=CG/FAGh BCG 在 ABC中，/GAC廿 ACGh ACB-+Z BCG廿 GACW ACB吆 BAG4Z GACW ACB+Z BAC=180 60=120,./AGC=180-(/GAC廿 ACG=180-120=60,.AGB等边三角形.FV 点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质,难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.