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1、初中数学新人教版八上期考压轴题汇编（三角形部分）一、动点问题：例 1（ 1）如图 10，在 RtABC 中，AC BC，ACB 90， M 为 AB 中点， AF=CE ，请判断 MEF 的形状 . （2）已知：如图11 在 RtABC 中, AC=BC, C=90，点 D 为 AB 上任一点， DFAC 于 F， DEBC于 E， M 为 BC 的中点 . 判断 MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论. 当点 D 在 AB 上运动时，四边形FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论 当点 D 在 BA 的延长线上运动时，如图12，中的结论还成立吗？思路点拨： 在等腰三角形中，M 为底边 A
2、B 的中点，连结CM 是常用的辅助线解析： （1） MEF 是等腰直角三角形（2） MEF 是等腰直角三角形理由如下：连结 CM ，如图 13 DFAC 于 F， DEBC 于 E， ACB=90 四边形 CEDF 为长方形， DF=CE 在 RtABC 中， ABAC， ACB 90，M 为 AB 中点，A= 1=45， CMAB，AM=BM=CM图 13 在 RtADF 中， A=45 AF=DF ，AF=CE 在 AMF 和 CME 中AMF CME （SAS）MF=ME ， 2=3 2+CMF=90 ， 3+CMF=90 ，即 EMF=90 MEF 是等腰直角三角形当点 D 在 AB
3、上运动时，四边形FMEC 的面积不会改变，证明如下：由可知， AMF CME， SAMF=SCMESACM=SBCM， SCMF=SBME，S四边形FMEC=SCMF+ SCME=SABC四边形 FMEC 的面积不会改变成立，理由如下：连结CM ，如图 14 DFAC 于 F， DEBC 于 E， ACB=90 四边形 CEDF 为长方形， DF=CE 在 RtABC 中， ACBC，ACB 90， M 为 AB 中点， BAC= 1=45，CM AB ，AM=BM=CM MAF= MCE=135 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 在 RtADF 中， DAF= BAC=45 AF=DF ，AF=CE 在 AMF 和 CME 中AMF CME （SAS）MF=ME ， AMF= CME CME+ AME=90 ， AMF+ AME=90 ，即 EMF=90 MEF 是等腰直角三角形总结升华 ：对比（ 2）中的与，都是先证明四边形CEDF 是长方形，从而得到AF=CE ，接着证 AMF CME，得到 MF=ME ，且 EMF=90 ，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的也就是说，在这类问题中，可以通过第
5、一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的举一反三【变式 1】已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图 15） ，易证当绕点旋转到时，在图16 和图 17 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案 】图 16，延长 EA 到 O，使得 OA=CF，连结 OB，易证 ABO CBF，OB=BF ，进而证明 BEF BEO，即可得到EF=AE+CF 图 17 中，在 AE 中取一点 O，使得 OA=CF，连结 OB，易证 ABO CBF ，OB=BF ，进而证明 BEF
6、BEO，即可得到EF=AE-CF 【变式 2】 已知：正方形中，绕点顺时针旋转， 它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图 18） ，易证（1）当绕点旋转到时（如图 19） ，线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图20 的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【答案 】此题与第1 题方法相同（1） BM+DN=MN
7、； （2）DN-BM=MN 21如图 1，点 O 是边长为 1 的等边 ABC 内的任一点，设 AOB=， BOC=（1）将 BOC 绕点 C 沿顺时针方向旋转60得ADC，连结 OD,如图 2 所示. 求证： OD=OC。（2）在（1）的基础上，将 ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转60得 EAC，连结 DE，如图 3 所示. 求证： OA=DE （3）在（ 2）的基础上，当、满足什么关系时，点B、O、D、E 在同一直线上。并直接写出 AO+BO+CO 的最小值。27已知： 如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH
8、与BE相交于点G（1）求证：BFAC；（2）求证：12CEBF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 21、 （8 分）已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图），找出图中与BE相等的线段，并
9、证明25.(1) 如图 (1) ，已知：在 ABC 中，BAC 90 ,AB=AC，直线 m经过点 A，BD 直线m, CE 直线 m,垂足分别为点D、E. 证明:DE=BD+CE. (2) 如图 (2) ，将 (1) 中的条件改为：在 ABC中， AB=AC ，D、A、E 三点都在直线m 上, 并且有BDA= AEC= BAC=, 其中为任意锐角或钝角. 请问结论DE=BD+CE 是否成立 ?如成立 , 请你给出证明 ; 若不成立 , 请说明理由 . (3) 拓展与应用：如图(3) ，D 、E是 D、A、E三点所在直线m上的两动点（ D、A、E三点互不重合）, 点 F为 BAC平分线上的一点
10、, 且 ABF和 ACF均为等边三角形，连接BD 、CE,若 BDA= AEC= BAC ，试判断 DEF 的形状并说明理由。21如图，在梯形ABCD 中，ADBC，AB=CD，分别以 AB，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF ，连接 AF，DE（1）求证： AF=DE；（2）若 BAD=45 ，AB=a，ABE 和DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - -
11、 - - 考点 ：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题 ：探究型。分析： （1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明AED DFA 即可；（2）如图作BHAD，CKAD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC 的长解答： （1）证明：在梯形ABCD 中，AD BC，AB=CD， BAD=CDA，而在等边三角形ABE 和等边三角形DCF 中，AB=AE，DC=DF ，且 BAE=CDF =60 ，AE=DF， EAD=FDA，AD=DA， AED DFA（SAS ） ，AF=DE；（2）解：如图作BHAD，CKAD，则有 BC=HK ，
12、BAD=45 ， HAB=KDC=45 ，AB=BH =AH，同理： CD=CK =KD，S梯形 ABCD=，AB=a，S梯形 ABCD=，而 SABE=SDCF =a2，=2a2，BC=a点评： 本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目15如图，在等腰ABC 中，ABAC， BAC50 BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O，点 C 沿 EF折叠后与点O 重合，则 CEF 的度数是50 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
13、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 考点 ：翻折变换 (折叠问题 )；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。分析： 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40 ，以及 OBC OCB40 ，再利用翻折变换的性质得出EOEC， CEF FEO，进而求出即可解答： 解：连接 BO， BAC50 ， BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O， OAB ABO25 ，等腰 ABC 中， ABAC， BAC50 ， ABC ACB65 ， OBC65 25 40 ， ABO ACO，BO CO， OBC OC
14、B40 ，点 C 沿 EF 折叠后与点O 重合，EO EC， CEF FEO， CEF FEO 50 ，故答案为： 50 点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键【9. 2012 泰安】26如图，在 ABC 中， ABC=45 ，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，F 为 BC 中点， BE 与 DF，DC分别交于点G，H， ABE=CBE（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证： BG2GE2=EA2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
15、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 考点 ：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。解答： 证明：（1） BDC=BEC=CDA=90 ， ABC=45 ， BCD=45 =ABC，A+DCA=90 ，A+ABE=90 ，DB=DC， ABE=DCA ，在 DBH 和DCA 中 DBH=DCA， BDH =CDA，BD=CD， DBH DCA ，BH=AC（2）连接 CG，F 为 BC 的中点， DB=DC，DF 垂直平分BC，BG=CG， ABE= CBE，BE
16、AC， AEB= CEB，在ABE 和CBE 中 AEB= CEB，BE=BE， CBE=ABE， ABE CBE，EC=EA，在 RtCGE 中，由勾股定理得：BG2GE2=EA2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 26 （12 分）在 ?ABCD 中， ADC 的平分线交直线BC 于点 E、交 AB 的延长线于点F，连接 AC（1）如图 1，若 ADC=90 ， G 是 EF 的中点，连接AG 、CG 求证： B
17、E=BF 请判断 AGC 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若 ADC=60 ，将线段FB 绕点 F顺时针旋转60 至 FG，连接 AG、CG那么 AGC 又是怎样的形状（直接写出结论不必证明）考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析：（1） 先判定四边形ABCD 是矩形，再根据矩形的性质可得ABC=90 ，AB DC，AD BC，然后根据平行线的性质求出F=FDC， BEF= ADF ，再根据DF 是 ADC 的平分线，利用角平分线的定义得到 ADF= FDC，从而得到 F=BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明； 连接 B
18、G，根据等腰直角三角形的性质可得F=BEF=45 ，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG ， F=CBG=45 ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 AFG 和 CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AG=CG ，再求出 GAC+ ACG=90 ，然后求出 AGC=90 ，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接 BG，根据旋转的性质可得BFG 是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出 AF=AD ，平行四边形的对角相等求出ABC= ADC=60 ，然后求出CBG=60 ，从而得到AFG= CBG，然后利用 “ 边角边 ” 证明AFG 和CBG 全等，根据全等三
19、角形对应边相等可得AG=CG ，全等三角形对应角相等可得FAG=BCG，然后求出 GAC+ ACG=120 ，再求出AGC=60 ，然后根据等边三角形的判定方法判定即可解答：（1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=90 ，四边形ABCD 是矩形， ABC=90 ，AB DC，AD BC， F=FDC，BEF= ADF ，DF 是ADC 的平分线， ADF= FDC， F=BEF，BF=BE ； AGC 是等腰直角三角形理由如下：连接BG，由 知， BF=BE ， FBC=90 ， F=BEF=45 ，G 是 EF 的中点，BG=FG ， F=CBG=45 ， FAD=90 ，AF
20、=AD ，又 AD=BC ，AF=BC ，在AFG 和CBG 中， AFG CBG（SAS） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - AG=CG ， FAG= BCG，又 FAG+ GAC+ ACB=90 ， BCG+ GAC+ ACB=90 ，即 GAC+ ACG=90 ， AGC=90 ， AGC 是等腰直角三角形；（2）连接 BG， FB 绕点 F 顺时针旋转60 至 FG， BFG 是等边三角形，FG=BG ，
21、 FBG=60 ，又四边形ABCD 是平行四边形，ADC=60 ， ABC= ADC=60 CBG=180 FBGABC=180 60 60 =60 ， AFG= CBG，DF 是ADC 的平分线， ADF= FDC，AB DC， AFD= FDC， AFD= ADF，AF=AD ，在AFG 和CBG 中， AFG CBG（SAS） ，AG=CG ， FAG=BCG，在ABC 中， GAC+ ACG= ACB+ BCG+GAC= ACB+ BAG+ GAC= ACB+ BAC=180 60 =120 ， AGC=180 （ GAC+ ACG ）=180 120 =60 ， AGC 是等边三角形点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， 等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -