《2013年上海高考数学试题(理科)解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年上海高考数学试题(理科)解析.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 2013 年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 1计算:20lim_313nnn【解答】根据极限运算法则,201lim3133nnn 2设mR，222(1)immm是纯虚数，其中 i 是虚数单位,则_m 【解答】2220210mmmm 3若2211xxxyyy，则_xy【解答】2220 xyxyxy 4已知ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若22232330aabbc，则角 C 的大小是_（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303aabbccabab,故11cos,arccos33CC 5设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则
2、_a 【解答】2 515()(),2(5)71rrrraTCxrrrx，故15102C aa 6方程1313313xx的实数解为_【解答】原方程整理后变为2332 38034log 4xxxx 7在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为_【解答】联立方程组得15(1)12 ,又0，故所求为152 8盒子中装有编号为 1，2，3，4，5,6，7,8,9 的九个球，从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_（结果用最简分数表示）【解答】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为252913118CC 9设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上,且4CBA，若 A
3、B=4，2BC，则的两个焦点之间的距离为_ 2【解答】不妨设椭圆的标准方程为22214xyb，于是可算得(1,1)C,得244 6,233bc 10设非零常数 d 是等差数列12319,x xxx的公差，随机变量等可能地取值12319,x xxx,则方差_D【解答】10Ex，2222222(981019)30|19dDd 11若12cos cossin sin,sin2sin223xyxyxy,则sin()_xy【解答】1cos()2xy，2sin2sin22sin()cos()3xyxyxy，故2sin()3xy 12 设a为实常数，()yf x是定义在 R 上的奇函数,当0 x 时，2()
4、97af xxx，若()1f xa对一切0 x 成立，则a的取值范围为_【解答】(0)0f，故011aa ;当0 x 时，2()971af xxax 即6|8aa，又1a ，故87a 13在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为,过(0,)(|1)yy 作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_【解答】根据提示,一个半径为 1，高为2的圆柱平放，一个高为 2，底面面积8的长方体，这两个几何体与放在
5、一起，根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为22122 8216 14对区间 I 上有定义的函数()g x，记()|(),g Iy yg x xI，已知定义域为0,3的函数()yf x有反函数1()yfx，且11(0,1)1,2),(2,4)0,1)ff，若方程()0f xx有解0 x，则0_x 【解答】根据反函数定义，当0,1)x时，()(2,4f x；1,2)x时，()0,1)f x,而()yf x的 3 定义域为0,3,故当2,3x时，()f x的取值应在集合(,0)1,2(4,)，故若00()f xx,只有02x 二、选择题 15设常数aR，集合|
6、(1)()0,|1AxxxaBx xa，若ABR,则a的取值范围为(）（A)(,2)(B)(,2 (C）(2,)（D)2,)【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知，11 1aa 或11aaa，解答选项为 B 16钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜是“好货”的（）（A）充分条件 (B）必要条件 （C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选 B 17 在数列na中，21nna，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素,i jijijaa aaa，（1,2,7;1,2,12ij）则该矩阵元素能取到的不同数值
7、的个数为（）(A)18 （B）28 （C)48 （D）63【解答】,21iji jijijaa aaa，而2,3,19ij，故不同数值个数为 18 个，选 A 18在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,a a a a a；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,d d d d d.若,m M分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中,1,2,3,4,5i j k，,1,2,3,4,5r s t，则,m M满足（）.（A）0,0mM (B)0,0mM (C)0,0mM (D）0,0mM【解答】作图知，只
8、有0AF DEAB DC，其余均有0ira d，故选 D 三、解答题 19。（本题满分 12 分）如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=2，AD=1,A1A=1，证明直线 BC1平行于平面 DA1C，并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离.【解答】因为 ABCDA1B1C1D1为长方体，故1111/,ABC D ABC D，故 ABC1D1为平行四边形，故11/BCAD，显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于平面 DA1C;直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h 考虑三棱锥 ABCD1的体积，以 ABC 为底面,可得111(1 2)13
9、23V D1C1B1A1DCBA 4 而1ADC中,115,2ACDCAD，故132AD CS 所以,13123233Vhh,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为23 20（6 分+8 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110 x），每小时可获得利润是3100(51)xx 元.（1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.【解答】(1）根据题意，33200(51)30005140 xxxx 又110 x，可解得310 x（2）设利润为
10、y元,则4290031161100(51)9 10 3()612yxxxx 故6x 时，max457500y元 21（6 分+8 分）已知函数()2sin()f xx,其中常数0;（1）若()yf x在2,43上单调递增，求的取值范围；（2）令2，将函数()yf x的图像向左平移6个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数()yg x的图像，区间,a b（,a bR且ab)满足：()yg x在,a b上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的,a b中，求ba的最小值【解答】(1）因为0，根据题意有 34202432 (2）()2sin(2)f xx,()2sin(2()12sin(2)16
11、3g xxx 1()0sin(2)323g xxxk 或7,12xkkZ，即()g x的零点相离间隔依次为3和23，故若()yg x在,a b上至少含有 30 个零点，则ba的最小值为2431415333 5 22 （3 分+5 分+8 分）如 图，已 知 曲 线221:12xCy,曲 线2:|1Cyx，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与12,C C都有公共点，则称 P 为“C1-C2型点”（1)在正确证明1C的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证）；(2)设直线ykx与2C有公共点，求证|1k,进而证明原点不是“C1C2型点”；
12、(3）求证:圆2212xy内的点都不是“C1C2型点【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F，过 F 的直线3x 与 C1交于2(3,)2，与 C2交于(3,(31)，故 C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为3x ；（2）直线ykx与 C2有交点，则(|1)|1|1ykxkxyx，若方程组有解，则必须|1k;直线ykx与 C2有交点，则 2222(1 2)222ykxkxxy，若方程组有解，则必须212k 故直线ykx至多与曲线 C1和 C2中的一条有交点,即原点不是“C1C2型点”。（3）显然过圆2212xy内一点的直线l若与曲线 C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线
13、l斜率存在且与曲线 C2交于点(,1)(0)t tt，则:(1)()(1)0l ytk xtkxytkt 直线l与圆2212xy内部有交点，故2|1|221tktk 化简得，221(1)(1)2ttkk。.。.。若直线l与曲线 C1有交点，则 2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktkt xtktxy 6 22222214(1)4()(1)10(1)2(1)2ktktktkttktk 化简得，22(1)2(1)tktk。由得，222212(1)(1)(1)12kttkkk 但此时，因为2210,1(1)1,(1)12ttkk,即式不成立;当212k 时，式也不成立 综上，
14、直线l若与圆2212xy内有交点，则不可能同时与曲线 C1和 C2有交点,即圆2212xy内的点都不是“C1-C2型点”23(3 分+6 分+9 分)给定常数0c，定义函数()2|4|f xxcxc，数列123,a a a满足*1(),nnaf anN.（1）若12ac ，求2a及3a；（2）求证:对任意*1,nnnNaac,；(3）是否存在1a，使得12,na aa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a,若不存在，说明理由.【解答】：（1)因为0c，1(2)ac，故2111()2|4|2af aacac,3122()2|4|10af aacacc(2）要证明原命题，只需证明()f xxc对任
15、意xR都成立，()2|4|f xxcxcxcxc 即只需证明2|4|+xcxcxc 若0 xc,显然有2|4|+=0 xcxcxc 成立；若0 xc，则2|4|+4xcxcxcxcxc 显然成立 综上,()f xxc恒成立,即对任意的*nN，1nnaac(3）由（2）知，若na为等差数列，则公差0dc,故 n 无限增大时，总有0na 此时，1()2(4)()8nnnnnaf aacacac 即8dc 7 故21111()2|4|8af aacacac，即1112|4|8acacac，当10ac时，等式成立，且2n 时，0na,此时na为等差数列，满足题意；若10ac,则11|4|48acac
16、，此时,230,8,(2)(8)naacanc也满足题意;综上，满足题意的1a的取值范围是,)8cc 22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8分 如图,已知双曲线1C:2212xy，曲线2C：|1yxP是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有公共点，则称P为“1C 2C型点（1）在正确证明1C的左焦点是“1C 2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2）设直线ykx与2C有公共点,求证|1k，进而证明原点不是“1C 2C型点；(3）求证：圆2212xy内的点都不是“
17、1C 2C型点”22 解：（1）C1的左焦点为(3,0)F，过F的直线3x 与 C1交于2(3,)2，与 C2交于(3,(31)，故 C1的左焦点为“C1C2型点”，且直线可以为3x ；（2)直线ykx与 C2有交点，则(|1)|1|1ykxkxyx，若方程组有解，则必须|1k；直线ykx与 C2有交点，则 8 2222(1 2)222ykxkxxy,若方程组有解，则必须212k 故直线ykx至多与曲线 C1和 C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”.（3)显然过圆2212xy内一点的直线l若与曲线 C1有交点，则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线 C2交于点(,1
18、)(0)t tt，则:(1)()(1)0l ytk xtkxytkt 直线l与圆2212xy内部有交点，故2|1|221tktk 化简得，221(1)(1)2ttkk。.。若直线l与曲线 C1有交点，则 2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktkt xtktxy 22222214(1)4()(1)10(1)2(1)2ktktktkttktk 化简得，22(1)2(1)tktk。.由得，222212(1)(1)(1)12kttkkk 但此时,因为2210,1(1)1,(1)12ttkk，即式不成立；当212k 时，式也不成立 综上,直线l若与圆2212xy内有交点，则不可能
19、同时与曲线 C1和 C2有交点，即圆2212xy内的点都不是“C1C2型点”。23（本题满分 18 分)本题共有 3 个小题第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9分 给 定 常 数0c，定 义 函 数()2|4|f xxcxc 数 列1a，2a，3a,满 足1(),*nnaf anN（1）若12ac ，求2a及3a;（2)求证：对任意*nN，1nnaac;9（3）是否存在1a,使得1a，2a，3a,，na成等差数列？若存在,求出所有这样的1a；若不存在，说明理由 23解:(1）因为0c,1(2)ac,故2111()2|4|2af aacac，3122()2|4
20、|10af aacacc（2）要证明原命题,只需证明()f xxc对任意xR都成立,()2|4|f xxcxcxcxc 即只需证明2|4|+xcxcxc 若0 xc，显然有2|4|+=0 xcxcxc 成立；若0 xc，则2|4|+4xcxcxcxcxc 显然成立 综上,()f xxc恒成立，即对任意的*nN,1nnaac（3）由(2）知，若na为等差数列，则公差0dc，故 n 无限增大时,总有0na 此时,1()2(4)()8nnnnnaf aacacac 即8dc 故21111()2|4|8af aacacac，即1112|4|8acacac,当10ac时,等式成立，且2n 时,0na，此时na为等差数列，满足题意；若10ac,则11|4|48acac ，此时，230,8,(2)(8)naacanc也满足题意；综上,满足题意的1a的取值范围是,)8cc 。