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1、 2013 北京高考理科数学试题 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A=1，0，1，B=x|1x1，则 AB=()A.0 B.1，0 C.0，1 D.1,0,1 2.在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“=”是“曲线 y=sin(2x)过坐标原点的”A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.1 B.23 C.13
2、21 D.610987 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex关于 y 轴对称，则 f(x)=A.1ex B.1ex C.1ex D.1ex 6.若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为 A.y=2x B.y=2x C.12yx D.22yx 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83 D.16 23 8.设关于 x,y 的不等式组210,0,0 xyxmym 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x02y0=2，求得 m 的取值范围是 A.4,3 B.1
3、,3 C.2,3 D.5,3 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.9.在极坐标系中，点(2，6)到直线 sin=2 的距离等于 10.若等比数列an满足 a2a4=20，a3a5=40，则公比 q=；前 n 项和 Sn=.11.如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D，PA=3，916PDDB，则 PD=，AB=.12.将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图
4、所示，若 c=ab(，R)，则=14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演2013 年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程 15.(本小题共 13 分)在ABC 中，a=3，b=26，B=2A.(I)求 cosA 的值，(II)求 c 的值 16.(本小题共 13 分)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某
5、人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 （）求此人到达当日空气重度污染的概率（）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望。（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.(本小题共 14 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC平面 AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面 ABC；（）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值；（）证明：在线段 BC1存在点 D，使得 ADA1B，并求1BDBC的值.18.(本小题共 13 分)设
6、l 为曲线 C：ln xyx在点(1，0)处的切线.(I)求 l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 19.(本小题共 14 分)已知 A、B、C 是椭圆 W：2214xy上的三个点，O 是坐标原点.(I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共 13 分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项1na，2na的最小值记为 Bn，dn=AnBn(I)若an为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN*，4nnaa)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设 d 为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为 d 的等差数列；(III)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1