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1、谈卷积及其振动,中心极限定理和更新理论中应用卷积应当是一个很简单理解的概念。假如从纯粹数学上讲，可能不简单，但把物理联系起来，就简单了。 在振动学中有一个闻名的杜哈美积分 (Duhamels Integral)，讲的是对于受迫振动，我们可以将强迫力时程分解为一系列的脉冲的叠加，假如已知系统在单个脉冲下的响应，并留意到 s 时刻的脉冲只对时间 t >s 的响应有影响，那么整个系统在 t 时刻的响应就等于全部 t 时刻以前的脉冲各自单独作用下的叠加。因为采纳了叠加原理，系统必需是线性的。 用 h(u) 表示系统在单位脉冲作用下 u 时刻的响应。那么 s 时刻的脉冲在系统 t (t >s
2、) 时刻产生的影响就等于 h(t-s)，将全部s(=0t) 加起来，就得到整个系统在 t 时刻的响应。对于离散时间，就是相加；对于连续时间，变成积分。 这是一个工科学生对卷积的简洁理解。 卷积应用于许多学科，下面简洁讲两个在概率论中的应用：。一个是随机变量的和，另一个是更新过程中的更新定理。1 随机变量的和 两个随机变量的和的概率分布，可以表达成一个卷积积分。n 个随机变量的和的概率分布，就是 n 重卷积。2 更新过程中的更新定理更新过程中一个比较麻烦却特别重要的量，是在给定时间内事务发生数的平均值 EN(t )，它也可以表示成它自身与更新间隔时间的概率密度函数的卷积，推导方法和前面强迫振动是
3、一样的。不过，这个时候人们通常叫它 II 型 Volterra 积分方程。为什么要用一个新名词呢？假如借用前面振动学的概念，是因为这个时候脉冲响应函数和响应函数是同一个函数。 前面几位大侠好像没有讲到一个问题，即如何处理卷积。事实上，我们很少干脆求解卷积。许多时候，我们发觉，用 Fourier 或 Laplace 变换是一个更为简洁的方法。这主要是因为，采纳变换后，卷积变成了代数乘积。在振动学中，脉冲响应函数的变换改称为频响函数，而在概率论中，概率密度函数的 Fourier 变换称为特征函数，Laplace 变换称为矩生成函数。对于离散时间（时间 序 列 ）或 离 散 随 机 变 量 ， 我
4、们 多 采 用 它 们 的 生 成 函 数 (generating function)，在信号处理中，又叫 z 变换。 正是因为采纳了 Fourier 变换，中心极限定理的证明成为一件不是那么难的事情。 严格数学的说明（存在性），请读曹大侠之大话卷积。积 大话卷积 关于卷积的背景问题其实并不那么简洁，有人觉得卷积与傅里叶分析亲密相关，可你是否知道他们之间究竟是什么关系？卷积的本质究竟是什么？在这里从数学的角度展示卷积的强大威力。 要了解卷积的本质，首先要清晰傅里叶分析究竟在说什么？它的核心问题是什么？傅里叶级数大家耳熟能详，不须要我啰嗦了，然而你对傅里叶级数了解到何种程度？假如你仅仅局限于微积
5、分里那点可怜的概念，唯恐你连傅里叶级数的毛也没摸着，你只是知道了傅里叶级数的简洁定义而已。 要想真正了解傅里叶级数，就必需熟识实变函数，因为在傅里叶分析中，一个最基本也是最重要的问题是：傅里叶级数是否？ 收敛？按什么方式收敛？ 这个问题在微积分里是无法搞清晰的，事实上，即使是一个连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散，我们甚至可以构造出 Riemann 可积函数，其傅里叶级数是到处发散的。假如你辛辛苦苦把一个函数绽开成傅里叶级数，却发觉它并不收敛，其内心是一种什么感受？也许犹如从没有电梯的二十层楼上屁颠屁颠地跑下来却发觉没带汽车钥匙。众所周知，Riemann 可积函数是一种性质比较好的函数（
6、相对于积分区间几乎到处连续，啥叫几乎到处？微积分是不能告知你的，想知道吗？老醇厚实跟我学实变函数），即使是这样的函数都不能保证傅里叶级数的收敛性，可见问题有多么严峻。傅里叶分析是门比较古老的学问，但其中存在的很多问题直到上个世纪中叶依旧是大家关注的话题，也正是傅里叶分析中存在的诸多问题悬而未决，促使人们寻求新的方法，这正是泛函分析的萌芽之一。 卖了半天的关子，究竟想说啥？稍安勿躁，一点耐性都没有我还怎么讲？我们就从收敛性问题说起，假设 f 是以 2π 为周期的可积函数（以什么为周期不是最重要的），其傅里叶绽开为：也可以写成指数形式：其中，俺无法写出积分上下限，反正你们都知道是个长度为 2
7、π 的积分区间，现在的问题是如何推断右端的级数是收敛的。知道这叫什么吧？它称为级数的部分和，我们的目标是把这个部分和表示出来，以便于推断该部分和是否收敛。试图把这个级数的和求出来是徒劳的，你能做到的话，天下就是你的了，不过，我们可以把系数的积分式带进级数，将得到：还记得三角公式吧？知道方括号里的和怎么求吗？假如不会，你还有机会，用指数形式的级数再试一次：最终，这个和式会算吗？假如还不会，你就剩下一个机会了，用你那聪慧的脑袋对着南墙狠狠撞他十二下，就能唤起你中学时代的美妙记忆了。则明白为什么要定义卷积了吗？现在的问题就变成了推断上述积分是否收敛到 f(x )，事情好像变得简洁了，令人无奈的
8、是，上述积分未必收敛到 f(x )！那么，什么样的函数具有收敛的傅里叶级数呢？按何种方式收敛？这个问题暂且放在一边，我们知道许多状况下不收敛就够了，因为要说清晰这个问题的话，须要超出经典微积分的范畴。如此说来，对于傅里叶级数不收敛的函数岂非无能为力？人类就是宏大，有的是方法，S_k(x )不收敛，可以考虑部分和的平均，结果令人喜不自胜，部分和的算术平均尽然几乎到处收敛！这个算术平均是什么呢？再来算一次。将 D_k(x ) 带入可以算出于是我们再次得到了一种卷积，Fejer 定理告知我们，上述积分几乎到处收敛到 f(x )。人们将 D_k 称为 Dirichlet 核，将 F_m 称为 Fejer 核，上述卷积又称为带核的积分。事情到此结束了？非也，这才仅仅是起先，一门影响深远的理论积分算子理论从今拉开了帷幕。