反比例函数的性质学案.docx

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1、反比例函数的性质学案反比例函数 18.4反比例函数（2）学问技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关问题过程性目标1.经验对反比例函数图象的视察、分析、探讨、概括过程，会说出它的性质；2.探究反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题 教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发觉它并不是直线那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来探讨一般的反比例函数（k是常数，k0）的图象，探究它有什么性质二、探究归纳1.画出函数的图象分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数

2、中自变量x0解1列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(6,1)、(3,2)、(2,3)等3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支这两个分支合起来，就是反比例函数的图象 上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步驾驭画函数图象的步骤）学生探讨、沟通以下问题，并将探讨、沟通的结果回答问题1.这个

3、函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？2.反比例函数(k0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样改变？有什么规律？反比例函数有下列性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而削减；(2)当k0时，函数的图象在其次、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加注1双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；2双曲线的两个分支关于原点成中心对称以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？在问题1中反映了

4、汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少在问题2中反映了在面积肯定的状况下,饲养场的一边越长,另一边越小 三、实践应用例1若反比例函数的图象在其次、四象限，求m的值分析由反比例函数的定义可知：,又由于图象在二、四象限，所以m10，由这两个条件可解出m的值解由题意，得解得 例2已知反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，求一次函数ykxk的图象经过的象限分析由于反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，因此k0，而一次函数ykxk中，k0，可知，图象过二、四象限，又k0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方解因为反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，所以

5、k0，所以一次函数ykxk的图象经过一、二、四象限 例3已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析(1)反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2由待定系数法可求出反比例函数解析式；再依据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解(1)设：反比例函数的解析式为：(k0)而反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2所以，k2即反比例函数的解析式为：(2)点A(5,m

6、)在反比例函数图象上，所以，点A的坐标为点A关于x轴的对称点不在这个图象上；点A关于y轴的对称点不在这个图象上；点A关于原点的对称点在这个图象上；例4已知函数为反比例函数(1)求m的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何改变？(3)当3x时，求此函数的最大值和最小值解(1)由反比例函数的定义可知：解得，m2(2)因为20，所以反比例函数的图象在其次、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，所以当x时，y最大值；当x3时，y最小值所以当3x时，此函数的最大值为8，最小值为 例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是

7、5厘米，高是x厘米(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象解(1)因为1005xy,所以(2)x0(3)图象如下： 说明由于自变量x0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支 四、沟通反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)2.反比例函数有如下性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而削减；(2)当k0时，函数的图象在其次、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加

8、 五、检测反馈1.在同始终角坐标系中画出下列函数的图象：(1)；(2)2.已知y是x的反比例函数，且当x3时，y8,求：(1)y和x的函数关系式；(2)当时，y的值；(3)当x取何值时，?3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值4.已知反比例函数经过点A(2,m)和B(n,2n)，求：(1)m和n的值；(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x10x2，试比较y1和y2的大小 反比例函数的图象与性质 备课教学案 课题九年级第五章其次节 反比例函数的图象与性质I 课型新授课课时1授课时间 教学目标 学问与技能：1.进一步熟识作函数图象的主要步骤，会作

9、反比例函数的图象。 2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行相识上的整合。 3.培育学生从函数图象中获得信息的实力，初步探究反比例函数的性质。 过程与方法：通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图实力;通过视察图象,概括反比例函数图象的有关性质,训练学生的概括总结实力. 情感、看法与价值观：让学生主动参加到数学学习活动中去,增加他们对数学学习的新奇心和求知欲。 教学重点 教学难点1）重点：画反比例函数图象并相识图象的特点. 2）难点：画反比例函数图象. 教学关键老师画图中要规范，为学生树立一个可以学习的模板 教学方法激发诱导,探究沟通,讲练结合三位一体的教学方式 教学手段老师画

10、图，学生仿照 教具三角板，小黑板 学法学生动手,动眼,动耳,采纳自主,合作,探究的学习方法 教学过程 （包含课前检测、新课导入、新课讲解、课堂练习、小结、形成性检测、反馈拓展、作业布置） 内容设计意图 一：课前检测： 1.什么叫做反比例函数； （一般地，假如两个变量x、y之间的关系可以表示成y(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。） 2反比例函数的定义中须要留意什么？ （1）k为常数，k0 （2）从y中可知x作为分母，所以x不能为零. 二：激发爱好导入新课 问题1：对于一次函数y=kx+b(k0)的图象与性质，我们是如何探讨的？ y=kx+by=kx K0b0一、二、三一、三 b

11、0一、三、四 K0b0一、二、四二、四 b0二、三、四 问题2：对于反比例函数y=k/x(k是常数,k0)，我们能否象一次函数那样进行探讨呢？ 可以 问题3：画图象的步骤有哪些呢？ （1）列表 （2）描点 （3）连线 (教学片断： 师：上一节课我们探讨了反比例函数，今日我们接着探讨反比例函数，下面哪位同学说一下自己对反比例函数的了解。 生：我知道反比例函数来源于生活，生活中的很多问题都属于反比例函数问题，例如，在匀速运动中当路程肯定时，且路程不等于零，则速度与时间成反比例函数关系。 生：我知道反比例函数的解析式为且k不等于0 生：我知道反比例函数的图象是曲线。 师：同学们说的都很好，关于反比例

12、函数，信任大家还会知道一些，今日我们先探讨到这里.现在大家思索一个问题，我们在探讨一次函数时探讨完解析式后，探讨的是函数图象，那么对于反比例函数我们接下来该探讨什么呢？ 生：该探讨反比例函数图象和性质了。 师：现在给大家几分钟的时间探讨一下反比例函数图象该怎么画？ 三：探求新知 学生思索、沟通、回答。 提问：你能画出的图象吗？ 学生动手画图，相互观摩。 （1）列表（取值的特别与有效性） x-8-4-2-1-1/21/21248 (2)描点（描点的精确） （3）连线（留意光滑曲线） 议一议 （1）你认为作反比例函数图象时应留意哪些问题？与同伴进行沟通。 （2）假如在列表时所选取的数值不同，那么图

13、象的形态是否相同？ （3）连接时能否连成折线？为什么必需用光滑的曲线连接各点？ （4）曲线的发展趋势如何？ 曲线无限接近坐标轴但不与坐标轴相交 学生先分四人小组进行探讨，而后小组汇报 做一做 作反比例函数的图象。 学生动手画图，相互观摩。 想一想 视察和的图象，它们有什么相同点和不同点？ 学生小组探讨，弄清上述两个图象的异同点 相同点：（1）图象分别都是由两支曲线组成（2）都不与坐标轴相交（3）都是轴对称图形（y=x、y=-x）和中心对称图形（对称中心（0,0）即坐标原点） 不同点：第一个图象位于一、三象限；其次个图象位于二、四象限 四：归纳与概括 反比例函数y=有下列性质：反比例函数的图象y

14、=是由两支曲线组成的。 (1)当k0时，两支曲线分别位于第_、_象限， (2)当k0时，两支曲线分别位于第_、_象限. 五：课堂练习 (1) (2)反比例函数的图象是_，过点(，_)，其图象分布在_象限； 六：形成性检测 （1）已知函数的图象分布在其次、四象限内，则的取值范围是_ （2）若ab0,则函数与在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（） （A）（B）（C）（D） （3）画和的图象 七：反馈拓展 在同一坐标系中作出函数y=2/x与函数y=x-1的图象，并利用图象求它们的交点坐标. 八：作业布置 （1）作反比例函数y=2/x，y=4/x，y=6/x的图象 （2）习题5.2.1 （3）预习

15、下一节反比例函数的图象与性质II 复习上节主要内容 （3分钟） （5分钟） 运用类比探讨一次函数性质的方法,来探讨反比例函数图象与性质 由于初中学生属于义务教化阶段，没有经过入学选拔，所以两极分化比较严峻，上面提出的问题带有肯定的开放性，面对各层次的学生，使不同层次的学生都有肯定的问题可答，从而激发起不同层次学生的学习主动性。 数学教学重要目的之一是使学生学会学习，利用这个问题可以使学生学会找寻探讨的方向，会提出探讨的课题，提高学习的实力。 数学学习活动是学生对自己头脑中已有学问的重新建构，所以利用学生头脑中已有的一次函数图象与性质，及探讨一次函数图象与性质的方法，创设问题情境，可以激发学习探

16、讨的热忱，点燃学生思维的火花，并使学生知道如何探讨新问题，使学生在探究过程中实现学问的迁移，形成新的认知结构。 （12分钟） 引导学生正确画出反比例函数图象,并能归纳反比例函数图象的有关性质. 在画第一个图象时，老师要在黑板上用三角板一步一步的示范，在重要地方再重点强调，直到整个图象的完成。只有以身示范，同学学习才有样可依，有了正确标准的样板，学生学习也变得简单。这样可以培育学生严谨与严密的做题步骤以及做题的规范性。 注：（1）x取肯定值相等符号相反的数值 （2）x取值要尽可能多，而且有代表性 （3）连线时用光滑曲线从小到大依次连接 （4）图象不与坐标轴相交 在此学生若是回答图象是轴对称图象或

17、者中心对称图象都要予以确定，这些内容留给学生课下探讨，并激励提出问题的学生接着探究不要放弃。 （3分钟） 此时图象由学生仿照第一个在下边自己独立画出，并且监督学生，在有学生画的不对的地方刚好指出，并使其改正后激励。最终在黑板上画出正确的图象，使学生自己画的图象与黑板对比。 （5分钟） 活动效果及留意事项学生初次作非线性函数的图象,在作图过程中应给学生留有思索和沟通的时间;连线必需是“光滑的曲线” （4分钟） 培育学生归纳,语言表达实力 此中留意分类探讨思想的应用 巩固反比例函数图象性质 （2分钟） 与新课较接近的简化检测可以再次回顾所学内容，以及内容重点。这类题多为口算或口答，题目简洁不过所学

18、内容可以全部体现。 （5分钟） 这类练习要求动笔计算或者画图，有肯定难度，可以深化所学内容。 （4分钟） 此题既是对函数图象画法的复习又是对方程求解的深化。其中蕴含了数形结合思想。 （1分钟） 巩固作反比例函数图象的步骤，预习下一节课内容 教学反思与检讨： 本节课通过学生自主探究,合作沟通,自主画图，以认知规律为主线,以发展实力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培育学生的合情推理实力和主动的情感看法,促进良好的数学观的形成。培育了学生的抽象思维实力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合以及分类探讨的数学思想方法。 由于此节课是动手画图，限于器材以及教学设备，图象显示不能用几何画板和投影仪，

19、不过一笔一笔的教学生一个范例，既可给学生思索也可有学习的空间。 在由图象获得性质的时候有一些不足，以后教课时要留意引导，使学生较快获得有效信息，从而归纳出要得到的性质和结论。在这节课要多强调光滑曲线以及画法。 反比例函数的图象与性质 一：画出的图象 （1）列表（取值的特别与有效性） x-8-4-2-1-1/21/21248 (2)描点（描点的精确） （3）连线（留意光滑曲线） 注：（1）x取肯定值相等符号相反的数值 （2）x取值要尽可能多，而且有代表性三：练习 （3）连线时用光滑曲线从小到大依次连接 （4）图象不与坐标轴相交 二：反比例函数的图象y=是由两支曲线组成的。 (1)当k0时，两支曲

20、线分别位于第一、三象限， (2)当k0时，两支曲线分别位于其次、四象限. 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质 一、背景分析 1对教材的分析 本节课讲解并描述内容为北师大版教材九年级下册第五章反比例函数的其次节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟识其图象和性质的过程。 本节课前一课时是在详细情境中领悟反比例函数的意义和概念。函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探究是对其内在规定性的的相识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课反比例函数的应用的基础，有了本节课的学问储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和说明问题。 传统教材在内容

21、和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步性质的探究打下良好的基础。因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经起先了对反比例函数性质的探究，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体性相识。在旧教材中对反比例函数性质只是简洁视察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注意从操作、视察、概括和沟通这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图象中获得信息的实力。这也充分体现了重视获得学问过程体验的新课标的

22、精神。 （1）教学目标：进一步熟识作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行相识上的整和；逐步提高从函数图象中获得学问的实力，探究并驾驭反比例函数的主要性质。 （2）重点：会作反比例函数的图象；探究并驾驭反比例函数的主要性质。 （3）难点：探究并驾驭反比例函数的主要性质。 2、对学情的分析 九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了肯定的相识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的学问表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采纳Z+Z智能教化平台进行教学，比较形象，便于学生接受。 教学过程 一、忆一忆 师

23、：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗？一次函数的图象是什么图形？ 生：作一次函数的图象要采纳以下几个步骤：（1）列表（2）描点（3）连线。 生乙：一次函数的图象是一条直线。 师：大家说的很好，看来大家对过去的学问驾驭的很坚固，那么同学们想一下，y=4/x是什么函数？ 生：反比例函数。 师：你们能作出它的图象吗？ 生：可以。 点评：复习旧学问，让学生感受到新旧学问的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好打算。 二、作图象，试比较 师：请填写电脑上的表格，并起先在坐标纸上描点，连线。 师：再根据上述方法作y=-4/x的图象。 （学生动手操作） 师：下面大家分小组探讨：比照

24、你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。 （学生探讨沟通，老师参加） 师：探讨结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法？ 生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。 生2：y=4/x的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=4/x的图象的两支曲线分布在二、四象限内。 点评：这里让学生自己上台操作，既培育了学生的动手实力，又可以激发学生学好数学的爱好。 三、细视察，找规律 师：大家都说得很好，下面我们一起视察反比例函数y=k/x的图象，当k的发值生改变时，函数的图象发生了怎样的改变，并分小组探讨有什么规律。 （展示图象，让学生视察y=k/x的图象，按下动画按钮，在运动中视察值的改变与函数的

25、图象改变之间的关系，并与同学们充分探讨） 师：请同学们谈一谈刚才探讨的结果。 生：我发觉函数图象的改变与k的值有关：当k0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。 师：看来大家都经过了仔细的思索和探讨，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的学问点一起总结一下。 （1）反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。 （2）当k0时，两支曲线分别在一、三象限；当k0时，两支曲线分别在二、四象限。 （3）当k0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。 师：假如我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，

26、你会发觉什么现象？这说明白什么问题？ （由学生在电脑上进行操作） 生：我发觉旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。 师：大家做得很好。那么，假如我们在图象上任取A、B两点，经过这两点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S1、S2，视察两个矩形面积的改变状况，并找出其中的改变规律。 题目：（1）拖动k，使k改变，视察k不断改变过程中，矩形面积的改变状况，探讨得出结论。（2）拖动函数上的点，视察矩形面积的改变状况，探讨得出结论。 生：我们发觉，在同一个反比例函数中，不管k值怎么改变，矩形的面积始终不变。 师：大家的视察很细致，总结得也很正确。 点评：

27、在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组沟通，这样既培育了他们的动手实力，又增加了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发觉，体现了新课程理论的精神。 四、用规律，练一练 1、课本137页随堂练习1 生：第一幅图是y=2/x的图象，因为在这里的k0，双曲线应在其次、四象限。 2、下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个？在其图象所在象限内，的值随的增大而增大的有哪几个？ （1）y=1/(2x)（2）y=0.3/x（3）y=10/x（4）y=7/(100x) 生：其中（1）（2）（3）的图象在一、三象限；（4）的图象在每一象限内，y随x的增大而增大。 五、想一想，谈收获 师：通过今日的学习，

28、你有什么收获？ 生甲：我今日知道了怎样画反比例函数的图象。 生乙：我今日知道了反比例函数的图象是由两支曲线所组成的。 生丙：我还懂得了：当k0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 生丁：我还能用反比例函数的相关性质解题。 师：看来大家今日学到了不少学问，只要大家能保持这种对数学的热忱和勇于挑战的精神，在数学上肯定会有所收获的。 总评：本节课很好的反映了新课程的一些理念，首先，就是将数学教学与多媒体教学进行了很好的整合，尤其是采纳了Z+Z智能教化平台进行教学，在本节课从进入课堂到结束，始终有多媒体教学的参

29、加，如在讲解反比例函数的性质时运用多媒体展示可以给学生以直观的感受，并给学生留下深刻的印象，老师也能娴熟地操作电脑，可以看出老师扎实的基本功。其次，在本节课的教学中，老师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探究、合作沟通的气氛中进行，如在得出反比例函数的性质时，就在小组内进行了广泛沟通，由学生自己去探究，去发觉新学问，这样可以激发学生求知的欲望，达到事半功倍的目的。同时老师也主动的参加进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。 教学反思： 本节课由于在课前进行了大量的打算工作，包括对教材的钻研、教学内容的设计、多媒体课件的制作、学生学情的了解，因此在教学中比较顺当，对重难点内容也有效的进行了突破，尤其是电脑的引入，极大的调动了学生的学习主动性。学生由于成了课堂的主子，所以在课堂上保持了高涨的热忱，因此这堂课的效果也较好。 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页