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1、1.5.2二项式系数的性质二项式定理1.51二项式定理教学目标：学问与技能：进一步驾驭二项式定理和二项绽开式的通项公式过程与方法：能解决二项绽开式有关的简洁问题情感、看法与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发觉一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的驾驭及运用教学难点：二项式定理及通项公式的驾驭及运用授课类型：新授课课时支配：3课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合学问的详细运用，是学习概率的重要基础这部分学问具有较高应用价值和思维训练价值中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通
2、项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应当让学生驾驭有关学问，同时在求绽开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特别化方法等等的运用；重视学生正确情感、看法和世界观的培育和形成二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础通项公式，杨辉三角，特别化方法等意义重大而深远，所以也应当是重点二项式定理的证明是一个教学难点这是因为，证明中符号比较抽象、须要恰当地运用组合数的性质2、须要用到不太熟识的数学归纳法在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创建让学生活动的机会，以让学生在干脆体验中建构自己的学问体系；尽量引导学生的
3、发展和创建意识，以使他们能在再创建的氛围中学习教学过程：一、复习引入：；的各项都是次式，即绽开式应有下面形式的各项：，绽开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的状况有种，即种，的系数是；恰有个取的状况有种，的系数是，恰有个取的状况有种，的系数是，恰有个取的状况有种，的系数是，有都取的状况有种，的系数是，二、讲解新课：二项式定理：的绽开式的各项都是次式，即绽开式应有下面形式的各项：，绽开式各项的系数：每个都不取的状况有种，即种，的系数是；恰有个取的状况有种，的系数是，恰有个取的状况有种，的系数是，有都取的状况有种，的系数是，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项绽开式，它有项，
4、各项的系数叫二项式系数，叫二项绽开式的通项，用表示，即通项二项式定理中，设，则三、讲解范例：例1绽开解一：解二：例2绽开解：例3求的绽开式中的倒数第项解：的绽开式中共项，它的倒数第项是第项，例4求（1），（2）的绽开式中的第项解：（1），（2）点评：，的绽开后结果相同，但绽开式中的第项不相同例5（1）求的绽开式常数项；（2）求的绽开式的中间两项解：，（1）当时绽开式是常数项，即常数项为；（2）的绽开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，例6（1）求的绽开式的第4项的系数；（2）求的绽开式中的系数及二项式系数解：的绽开式的第四项是，的绽开式的第四项的系数是（2）的绽开式的通项是，的系数，的二项式
5、系数例7求的绽开式中的系数分析：要把上式绽开，必需先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理绽开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理绽开解：（法一），明显，上式中只有第四项中含的项，绽开式中含的项的系数是（法二）：绽开式中含的项的系数是例8已知的绽开式中含项的系数为，求绽开式中含项的系数最小值分析：绽开式中含项的系数是关于的关系式，由绽开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解解：绽开式中含的项为，即，绽开式中含的项的系数为，当时，取最小值，但，时，即项的系数最小，最小值为，此时例9已知的绽开式中，前三项系数的肯定值依次成等
6、差数列，（1）证明绽开式中没有常数项；（2）求绽开式中全部的有理项解：由题意：，即，舍去）若是常数项，则，即，这不行能，绽开式中没有常数项；若是有理项，当且仅当为整数，即绽开式中有三项有理项，分别是：，例10求的近似值，使误差小于解：，绽开式中第三项为，小于，以后各项的肯定值更小，可忽视不计，一般地当较小时四、课堂练习：1.求的绽开式的第3项.2.求的绽开式的第3项.3.写出的绽开式的第r+1项.4.求的绽开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理绽开：（1）；（2）.6.化简：（1）；（2）7绽开式中的第项为，求8求绽开式的中间项答案：1.2.3.4.绽开式的第4项的二项式
7、系数，第4项的系数5.（1）；（2）.6.（1）；（2）7.绽开式中的第项为8.绽开式的中间项为五、小结：二项式定理的探究思路:视察归纳猜想证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业：P36习题1.3A组1.2.3.4七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b)=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)的，其中（r=0,1,2,n）叫做，叫做二项绽开式的通项，它是绽开式的第项，绽开式共有个项.驾驭二项式定理和二项绽开式的通项公式，并能用它们解决与二项绽开式有关的简洁问题。培育归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维实力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培
8、育学生数学探究实力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发觉一般性问题的解决方法。二项式定理是指这样一个绽开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等绽开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系好像不太多，而在高等数学中它是很多重要公式的共同基础，依据二项式定理的绽开，才求得y=xn的导数公式y=nxn1，同时=e2.718281也正是由二项式定理的绽开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cos+isin，微分方程中二阶变系数方程
9、及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且干脆由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(xx0)2+(xx0)n+(0，1)以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深化到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动好玩正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合学问来求绽开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必定上得累赘，学生必定感
10、到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采纳课前预习；自学辅导；还是学生探讨，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发觉情境？看来这些方法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法变更算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而MM教化方式即数学方法论的教化方式却能依据习题理论留意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得非常简洁，心理学家皮亚杰一再强调“相识起因于主各体之间的相互作用”1只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一样的时候，才能完成相识的主动建构，也就
11、是学生获得真正的理解.MM教化方式遵循“爱好与实力的同步发展规律”和“教，学，研相互促进的规律”2在教学中追求简易，重视直观，并奇妙地在应用抽象使问题变得非常好玩，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.二项式定理导学案 第11课时1.3.1二项式定理（一）学习目标1用两个计数原理分析的绽开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明；2驾驭二项绽开式的通项公式；能应用它解决简洁问题.学习过程一、学前打算试试：用多项式乘法法则得到下列式子的绽开式，并说出未合并同类项之前的项数与各项的形式.（1）；（2）；（3）。 二、新课导学探究新知（预习教材P29P31，找出怀疑之处）问题：如何利用两
12、个计数原理得到的绽开式？你能由此猜想一下的绽开式是什么吗？ 应用示例例1求的绽开式。 例2绽开，并求第3项二项式系数和第6项系数。 例3（1）求的绽开式的第4项的系数；（2）求的绽开式中的系数。 反馈练习（课本P31练1-4）1.写出的绽开式. 2求的绽开式的第3项.3写出的绽开式的第项. 4的绽开式的第6项的系数是（）A、B、C、D、三、当堂检测1.求的绽开式。 2求的绽开式中的系数。 3求二项式的绽开式中的常数项。 四、课后作业1用二项式定理绽开：. 3求下列各式的二项绽开式中指定各项的系数：（1）的含的项；（2）的常数项。 二项式定理学案 1.5.1二项式定理一、学问要点1.二项式定理：
13、2.通项：3.二项式系数与项的系数：二、典型例题例1.绽开下列各式： 例2.求的绽开式中第4项的二项式系数和系数.例3.求的二项绽开式中的常数项. 例4.已知在的绽开式中，第6项为常数项.求；求含的项的系数；求绽开式中全部的有理项. 三、巩固练习1.的绽开式为.2.的绽开式中第3项的二项式系数是，第3项的系数为.3.写出的绽开式第项()为.4.的绽开式中含的项为.5.的绽开式中的常数项为. 四、课堂小结 五、课后反思 六、课后作业1.绽开式中项的系数为.2.的绽开式中，含的项的系数是.3.在绽开式中，项的系数是15，则实数=.4.化简=.5.的绽开式中的常数项为.6.若的绽开式中，第2项小于第
14、1项，且不小于第3项，则的取值范围是.7.绽开式中，含项的系数为.8.若的绽开式中的第3项与第5项的系数相等，求绽开式中的系数. 9.二项式的绽开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，求绽开式中的常数项. 10.求绽开式中的全部的含的有理项. 订正栏： 排列组合二项式定理1排列组合二项式定理1 教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简洁的应用问题,提高学生理解和运用两个原理的实力;(5)通过对加法
15、原理与乘法原理的学习,培育学生周密思索、细心分析的良好习惯。教学建议一、学问结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是精确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是简单理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有很多干脆应用。两个原理回答的,都是完成一件事的全部不同方法种数是多少的问题,其区分在于:运用加法原理的前提条件是,做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是
16、,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简洁的说,假如完成一件事情的全部方法是属于分类的问题,每次得到的是最终结果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次:第一是对两个计数原理的相识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区分.知道什么状况下运用加法计数原理,什么状况下运用乘法计数原理.(建议利用一课时).其次是对两个计数原理的运用.可以让学生做一下习题(建议利用两课时):用0,1,2,9可
17、以组成多少个8位号码;用0,1,2,9可以组成多少个8位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;用0,1,2,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生驾驭两个计数原理的综合应用,这个过程应当贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以干脆利用两个原理求解,另外干脆计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.老师要引导学生仔细地分析题意,恰当的分类、分步,用好、用活两个基本计数原理.教学设计示例加法原理和乘法
18、原理教学目标正确理解和驾驭加法原理和乘法原理,并能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题,从而发展学生的思维实力,培育学生分析问题和解决问题的实力.教学重点和难点重点:加法原理和乘法原理.难点:加法原理和乘法原理的精确应用.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入新课从本节课起先,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理.它们探讨对象独特,探讨问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧学问的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它干脆有关.至于在日常的工作、生活上,只要涉及支配调配的问题,就离不开它.今日我们先学习两个基本原理.(二
19、)讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题:问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子加法原理):加法原理:做一件事,完成它可以有几类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在其次类方法中有m2种不同的方法,在第n类方法中有mn种不同的
20、方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题(打出片子问题2):问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有32=6种不同的走法.一般地,有如下基本原理(找出片子乘法原理):乘法原理:做一件事,完成它须要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.
21、2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的全部不同的方法种数.比较两个基本原理,想一想,它们有什么区分?两个基本原理的区分在于:一个与分类有关,一个与分步有关.看下面的分析是否正确(打出片子题1,题2):题1:找110这10个数中的全部合数.第一类方法是找含因数2的合数,共有4个;其次类方法是找含因数3的合数,共有2个;第三类方法是找含因数5的合数,共有1个.110中一共有N=4+2+1=7个合数.题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路须要8时,中路须要4时,南路须要6时,B村到C村的北路须要5时,南路须要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同
22、的走法?第一步从A村到B村有3种走法,其次步从B村到C村有2种走法,共有N=32=6种不同走法.题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的留意事项,这样支配,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培育学生的学习实力)进行分类时,要求各类方法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类方法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满意这个条件,才能干
23、脆用加法原理,否则不行以.假如完成一件事须要分成几个步骤,各步骤都不行缺少,须要依次完成全部步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以干脆应用乘法原理.也就是说:类类互斥,步步独立.(在学生对问题的分析不是很清晰时,老师刚好地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清楚和明确,不再简洁地认为什么样的分类都可以干脆用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深化理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简洁问题了.例1书架上
24、放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?(让学生思索,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,老师巡察指导,并适时口述解法)(1)从书架上任取一本书,可以有3类方法:第一类方法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;其次类方法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类方法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.依据加法原理,得到的取法种数是N=m1+m2+m3=3+5+6=14
25、.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,须要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;其次步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.依据乘法原理,得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90.故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类方法:第一类方法是数学书、语文书各取1本,须要分两个步骤,有35种方法;其次类方法是数学书、英语书各取1本,须要分两个步骤,有36种方法;第三类方法是语文书、英语书各取1本,有56种方法.一共得到不同的取法种数是N=
26、35+36+56=63.即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.例2由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?解:要组成一个三位数,须要分成三个步骤:第一步确定百位上的数字,从14这4个数字中任选一个数字,有4种选法;其次步确定十位上的数字,由于数字允许重复,共有5种选法;第三步确定个位上的数字,仍有5种选法.依据乘法原理,得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100.答:可以组成100个三位整数.老师的连续发问、启发、引导,帮助学生找到正确的解题思路和计算方法,使学生的分析问题实力有所提高.老师在其次个例题中给出板书示范,能帮助学生进一步加深对两个
27、基本原理实质的理解,周密的考虑,精确的表达、规范的书写,对于学生周密思索、精确表达、规范书写良好习惯的形成有着主动的促进作用,也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.(四)归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理:分类时用加法原理,分步时用乘法原理.应用两个基本原理时须要留意分类时要求各类方法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.(五)课堂练习P222:练习14.(对于题4,老师有必要对三个多项式乘积绽开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222:练习5,6,7.补充题:1.在全部的两位数中,个位数字小于十位数字的共有多少个?(提示:按十位上数字的大小可
28、以分为9类,共有9+8+7+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2.某学生填报高考志愿,有m个不同的志愿可供选择,若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿,求该生填写志愿的方式的种数.(提示:须要按三个志愿分成三步,共有m(m-1)(m-2)种填写方式)3.在全部的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?(提示:可以用下面方法来求解:(1),(2),(3),(1),(2),(3)类中每类都是99种,共有99+99+99=399=243个只有两个数字相同的三位数)4.某小组有10人,每人至少会英语和日语中的一门,其中8人会英语,5人会日语,(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人,有多少种不同的选法?(提示:由于8+5=1310,所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=52+53+23)数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页