《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习3.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何学问点整理 一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l/mml/l 方法二：用面面平行实现；l符号表示：；nCll/l/2. 线面相交方法三：用平面法向量实现；l如 n 为平面的一个法向量,nl且All,就l/；符号表示：3.面面平行：3. 线在面内方法一：用线线平行实现；l符号表示：l/lm/m 且相交/方法二：用二平行关系：l,m1.线线平行：l ml,m 且相交方法一：用线面平行实现；线面平行实现；l ml/ll/ll/mm/ml,m且相交mml三垂直关系：方法二：用面面平行实现；1. 线面垂直：l/方法一：用线线垂直实现；lA
2、Cmll/mmlABAl方法三：用线面垂直实现；AACABAC,AB如l,m,就l /m；l方法二：用面面垂直实现；方法四：用向量方法：如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就l /m2.线面平行：Blml方法一：用线线平行实现；mlm ,l1 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二：向量法；转化为向量的夹角2. 面面垂直：lmlPACA运算结果可能是其补角：方法一：用线面垂直实现；cosABACllABAClB二线面角1定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ,方法二：运算所成二面角为直角；作 P
3、O于 O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA 在面内的3.线线垂直：射影,PAO 图中为直线 l 与面所成的角；方法一：用线面垂直实现；PllAOmmOA2范畴：0, 90方法二：三垂线定理及其逆定理；当0时, l或l/PPO当90 时, llAlOl3求法：方法一：定义法；方法三：用向量方法：步骤 1：作出线面角,并证明；如向量 l 和向量 m 的数量积为0,就lm；步骤 2：解三角形,求出线面角；三夹角问题；一异面直线所成的角： 三 二面角及其平面角1 范畴：0, 901定义：在棱l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线（射线） m、 n,就射线m 和 n 的夹2求法：nP角为二面
4、角l的平面角；方法一：定义法；AO步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角；m步骤 2：解三角形求出角；常用到余弦定理nPl余弦定理：c2范畴：0, 180cosa2b2c2ab3求法：2ab方法一：定义法；运算结果可能是其补角 步骤 1：作出二面角的平面角三垂线定理 ,并证明；2 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角；方法二：截面法；步骤 1：过点 P 作 PO 于 O,线段 PO 即为所求；步骤 2：运算线段 PO 的长度； 直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法 步骤 1
5、：如图,如平面POA 同时垂直于平面和,就2线面距、面面距均可转化为点面距；且m/,交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角；3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离；步骤 2：解三角形,求出二面角；mPAnO如图, m 和 n 为两条异面直线,n方法三：坐标法运算结果可能与二面角互补n1n2就异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面之间的距离；方法二：直接运算公垂线段的长度；方法三：公式法；步骤一：运算cosur uur n n 2ur uurur n 1 nuur 2n 1 n 2BaAmm/ m ,cdn步骤二： 判定与ur uur n n 2bDm的关系, 可能相等或
6、者互补；C四距离问题；如图, AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段,1点面距；就异面直线m 和 n 之间的距离为：方法一：几何法；dc2a2b22abcosPAOA D 1AC C 1B B 13 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高考题典例考点 1 点到平面的距离A2,D为CC中点例 1 如图,正三棱柱ABCA B C的全部棱长都为（）求证：AB 平面 1A BD；（）求二面角A D 1B 的大小；（）求点 C到平面A BD 的距离解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO QABC为正三角形,AOBC
7、A C A D 1A 1别 为BC,CC 1Q 正三棱柱ABCA BC中,平面 ABC 平面BCC B ,1 1AO 平面BCC B连结B O,在正方形 1BB C C中, O,D分O F 的中点,B OBD,AB 1BDD C 1在正方形ABB A 中,1 1AB1A B 1,AB 平面 1A BDB AB 1于 F , 连 结（）设AB与A B 交于点 G ,在平面A BD中,作GFA D为二面角B的平面角AF ,由（）得AB 平面A BD 1AFA D,AFG在AA D 1中,由等面积法可求得AF4 5,5又QAG1AB 12,sinAFGAG2102AF4 545所以二面角AA D 1
8、B 的大小为arcsin10A BD6,SBCD14（）A BD中,BDA D5,A B2 2,S在正三棱柱中,A 到平面 1BCC B 的距离为 1 13 3SBCD2设点 C 到平面1A BD 的距离为 d d由VA 1BCDV CA BD 1,得1SBCDg31SA BD 1g d,33SA BD2点 C 到平面A BD 的距离为22考点 2 异面直线的距离4 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC 的长为 2,且垂直于底面 .E、D分别为 BC、
9、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如下列图,取 BD 的中点 F,连结 EF ,SF,CF ,EF 为 BCD 的中位线,EF CD, CD 面 SEF , CD到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,CD26,EF1CD6,DF2,SC233,解得h2332VSCEF11EFDFSC116222333232在 RtSCE中,SE2 SCCE223在 RtSCF 中,SF2 SCCF2424230又EF6 ,SSE
10、F3由于VCSEFV SCEF1SSEFh,即13h233C 1故 CD 与 SE 间的距离为233. 的距离 . 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图,在棱长为2 的正方体AC 中, G 是AA 的中点,求BD 到平面GB 1D 1思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. D1O 1解答过程 ：解析一BD 平面GB 1D 1,A 1B 1BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求H O B C 点 O 平面GB 1D 1的距离 , G D B 1D 1A 1C 1,B 1D 1A 1A,B 1D 1平面A 1ACC 1, A 又B 1D 1平面GB
11、 1D 1平面A 1ACC 1GB 1D 1,两个平面的交线是O1G, 5 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作OHO 1G于 H,就有 OH平面GB 1D 1,即 OH 是 O 点到平面GB 1D 1的距离 . 在O1 OG中,SO 1OG1O1 OAO1222. , 22又SO1 OG1OHO 1G13OH2,OH236. 22即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 解析二BD 平面GB 1D 1,BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求点B 平面GB 1D 1的距离 . 设点
12、B 到平面GB 1D 1的距离为 h,将它视为三棱锥BGB 1D 1的高,就VBGB 1D1VD 1GBB1,由于SGB1D 112236,VD 1GBB11122242323h426,63即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 小结 ：当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是依据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 名师归纳总结 考点 4 异面直线所成的角AOC可以通过 RtAOB以直线 AO 为轴旋转第 6 页,共 9 页例 4 如图,在 RtAOB中,OAB,斜边AB4
13、 Rt6得到,且二面角BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点AOzA（I）求证：平面 COD平面 AOB；（II）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小D解答过程 ：（I）由题意, COAO , BOAO,BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,OEBCOBO ,又QAOIBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOBA C（II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DE,D6 / 9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角在 RtCOE中,COBO2,OE1BO1,
14、CECO2OE252又DE1AO3在 RtCDE中,tanCDECE5152DE33异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan153小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“ 特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二；补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0 , . 2考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 S ABCD 中,底面 ABCD
15、为平行四边形, 侧面 SBC 底面 ABCD 已知ABC 45 o,AB 2,BC 2 2,SA SB 3S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SOBC,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC C B 底 面D AABCD,得 SO 底面 ABCD 由于 SASB,所以 AOBO ,S又ABC45o, 故AOB为 等 腰 直 角 三 角 形 ,OBAOBO,由三垂线定理,得SABCC（）由（）知SABC,依题设 ADBC,DA故 SAAD,由ADBC2 2,SA3,AO2,得SO1,SD11SAB 的面积S 11ABg2 SA1AB2222
16、连结 DB ,得DAB的面积S 21AB ADsin135o22设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于V DSABVSABD,得1h S 11SO S 2,解得h233设 SD 与平面 SAB所成角为,就sinh222SD1111（2）当直线和平所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为arcsin2211小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1）先判定直线和平面的位置关系；7 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,运算常用
17、解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值. Q 考点 6 二面角例 6如图, 已知直二面角PQ, APQ , B,C, CACB ,C BAP45o ,直线 CA 和平面所成的角为 30o（I）证明 BCPQP A （II）求二面角 BACP 的大小B 过程指引 ：（I）在平面内过点 C 作 COPQ于点 O ,连结 OB 由于,IPQ,所以 CO,C H 又由于 CACB ,所以 OAOB P O A Q B 而BAO45o ,所以ABO45o,AOB90o,从而 BOPQ,又 COPQ,所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQBC（II）由（ I）知, BOP
18、Q,又,IPQ,BO,所以 BO 过点 O 作 OHAC于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BHAC故BHO 是二面角 BACP 的平面角由（ I）知, CO,所以CAO 是 CA 和平面所成的角,就CAO30o ,不妨设AC2,就AO3,OHAOsin 30o32在 RtOAB中 ,ABOBAO45o , 所 以BOAO3, 于 是 在 RtBOH中 ,tanBHOBO32故二面角 BACP 的大小为 arctan2 OH32小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由
19、二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱；解法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小 . 8 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 7 利用空间向量求空间距离和角D 1例 7 如图,已知 ABCD A B C D 是棱长为 3的正方体,A 1C 1 B 1点 E 在 AA 上,点 F 在 CC 上,且 AE FC 1 1F E（1）求证：E, , ,D 1 四点共面；M（2）如点 G 在 BC 上
20、,BG 2,点 M 在 BB 上, GMBF,DH A垂 足 为3 C G BH ,求证： EM 平面 BCC B ；（3）用 表示截面 EBFD 和侧面 BCC B 所成的锐二面角的大小,求 tan过程指引 ：（1）如图,在 DD 上取点 N ,使 DN 1,连结 EN , CN ,D 1A 1就 AE DN 1,CF ND 1 2C 1 B 1由于 AEDN,ND 1CF,所以四边形 ADNE ,CFD N 都为平行四 F N EM边形从而 ENAD,FD 1CND AH又由于 ADBC,所以 ENBC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此 C G B推知 CNBE,从而 FD 1BE因
21、此,E, ,F,D 1 四点共面（2）如图, GMBF,又 BMBC,所以BGMCFB,BC 2 3BM BG g tanBGM BG g tanCFB BG g 1CF 3 2由于 AEBM,所以 ABME 为平行四边形,从而 ABEM又 AB 平面 BCC B ,所以 EM 平面 BCC B （3）如图,连结 EH 由于 MHBF,EMBF,所以 BF 平面 EMH ,得 EHBF于是EHM是所求的二面角的平面角,即EHM由于MBHCFB,所以 MH BM g sinMBH BM g sinCFBBM gBC BC2CF 2 13 2 32 2 313,tan EMMH 139 / 9名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页