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1、 .下载可编辑.2017 学年春季学期 高等数学（二）期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间 110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号 A、B、C 或 D 填入下表中 1已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（）.(A)0ab (B)0ab (C)0a b (D)0a b 2.极限2222001lim()sinxyxyxy().(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 3下列函数中，dff 的是().（A）(,)f x yxy （B）00(,),f x yxyc c为实数 （C）
2、22(,)f x yxy （D）(,)exyf x y 4函数(,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是(,)f x y的().（A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点 （C）极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点 5 设 平 面 区 域22:(1)(1)2Dxy，若1d4DxyI，2d4DxyI，33d4DxyI，则有（）.（A）123III （B）123III （C）213III （D）312III 6设椭圆L：13422yx的周长为l，则22(34)dLxys（）.(A)l (B)l 3 (C)l 4 (D)l12 7设级数1nna为交错级数，0()nan，则（）.(A)该级数收敛
3、 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数1nna发散，则级数21nna也发散 （B）若级数21nna发散，则级数1nna也发散 （C）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛 （D）若级数1|nna收敛，则级数21nna也收敛 二、填空题(7 个小题，每小题 2 分，共 14 分)1.直线3426030 xyzxyza 与z轴相交，则常数a为 .2设(,)ln(),yf x yxx则(1,0)yf_ _.3函数(,)f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4设22:2D xyx，二重积分(
4、)dDxy=.5设 f x是连续函数，22(,)|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐标系下 的三次积分为 .6.幂级数11(1)!nnnxn的收敛域是 .7.将函数21,0()1,0 xf xxx以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛 于 .题号 一 二 三 四 总分 得分 阅卷人 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 阅卷人 得分 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 .下载可编辑.三、综合解答题一（5 个小题，每小题 7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1设(,)xuxf xy，其中f有
5、连续的一阶偏导数，求ux，uy 解：2求曲面e3zzxy在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy 解：4 设是由曲面1,xxyxyz及0z 所围成的空间闭区域，求23d d dIxy zx y z.解：5求幂级数11nnnx的和函数()S x，并求级数12nnn的和 解：阅卷人 得分 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 .下载可编辑.四、综合解答题二（5 个小题，每小题 7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的
6、直角三角形 解 2计算积分22()dLxys，其中L为圆周22xyax(0a)解：3 利用格林公式，计算曲线积分22()d(2)dLIxyxxxyy，其中L是由抛物线2yx和2xy所围成的区域D的正向边界曲线 4 计算dx S，为平面1zyx在第一卦限部分.解：5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d dd dd dx yy zz x蝌，其中为圆锥面222zxy介于平面0z 及1z 之间的部分的下侧.解：阅卷人 得分 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 x O 2yx 2xy y D .下载可编辑.2017 学年春季学期 高等数学（二）期末考试试卷(A
7、)答案及评分标准 一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）1已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（D ）(A)0ab；(B)0ab；(C)0a b；(D)0a b 2.极限2222001lim()sinxyxyxy(A )(A)0；(B)1；(C)2；(D)不存在.3下列函数中，dff 的是(B )；（A）(,)f x yxy；（B）00(,),f x yxyc c为实数；（C）22(,)f x yxy；（D）(,)exyf x y.4函数(,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是(,)f x y的(B ).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值
8、点，非驻点；（D）非驻点，非极值点.5 设 平 面 区 域 D：22(1)(1)2xy，若1d4DxyI，2d4DxyI，33d4DxyI，则有（A ）（A）123III；（B）123III；（C）213III；（D）312III 6设椭圆L：13422yx的周长为l，则22(34)dLxys（D ）(A)l；(B)l 3；(C)l 4；(D)l12 7设级数1nna为交错级数，0()nan，则（C ）(A)该级数收敛；(B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（D ）（A）若级数1nna发散，则级数21nna也发散；（B）若级数2
9、1nna发散，则级数1nna也发散；（C）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛；（D）若级数1|nna收敛，则级数21nna也收敛 二、填空题(7 个小题，每小题 2 分，共 14 分)1.直线3426030 xyzxyza 与z轴相交，则常数a为 3 。2设(,)ln(),yf x yxx则(1,0)yf_1_ 3函数(,)f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 2 4设22:2D xyx，二重积分()dDxy=5设 f x是连续函数，22(,)|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐标系下的三次积分为 22392000dd()dfz 6.幂级数11(1)
10、!nnnxn的收敛域是 (,).7.函数21,0()1,0 xf xxx，以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于 22 .三、综合解答题一（5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B A D C D .下载可编辑.1设(,)xuxf xy，其中f有连续的一阶偏导数，求ux，uy 解：12uxfxffxy 4 分 222uxfyy .7 分 2求曲面3zezxy在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程 解：令,e3zF x y zzxy，2 分(,)(,e1)zxyzFFFy xn，(2,
11、1,0)(1,2,2)n，4 分 所以在点(2,1,0)处的切平面方程为(2)2(1)20 xyz，即 2240 xyz；6 分 法线方程为21122xyz.7 分 3.交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy；解：0sinddxyxyy=00sinddyyyxy 4 分=0sin d2y y 7 分 4设是由曲面1,xxyxyz及0z 所围成的空间区域，求23d d dIxy zx y z 解：注意到曲面zxy经过x轴、y轴，2 分=(,):0,0,01x y zzxyyxx 4 分 故12323000d d ddddxxyIxy zx y zxyxy zz=3641 7 分 5求
12、幂级数11nnnx的和函数()S x，并求级数12nnn的和 解：11()nnS xnx，(0)1S，由已知的马克劳林展式：11,|11nnxxx，2 分 有11()()(1)1nnS xxx=21(1)x，|1x，5 分 12nnn=11122nnn=11()22S=2 7 分 四、综合解答题二（5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形 解 设两个直角边的边长分别为x，y，则221xy，周长1Cxy，需求1Cxy在约束条件221xy下的极值问题 2 分 设拉格朗日函数22(,)1(1)
13、L x yxyxy，4 分 令22120,120,1,xyFxFyxy 解方程组得22xy为唯一驻点，6 分 又最大周长一定存在，故当22xy时有最大周长.7 分 2计算积分22()dLxys，其中L为圆周22xyax(0a)解：L的极坐标方程为 cosa，22；2 分 则22d()ddsa，4 分 所以 3222322222()ddcosd2Laxysaa 7 分 或解：L的形心(,)(,0)2ax y，L的周长a，22()dLxys=dLax s=ax a=32a 3利用格林公式，计算曲线积分22()d(2)dLIxyxxxyy，其中L是 由抛物线2yx和2xy所围成的区域D的正向边界曲线
14、 解：22()d(2)dLIxyxxxyy Ddxdy 3 分 210ddxxxy 5 分 13 7 分 4 计算dx S，为平面1zyx在第一卦限部分.解：在xoy面上的投影区域为)0,0(1:yxyxDxy，2 分 又,1,1,1:yzxzyxz故dxdydS3，4 分 x O 2yx 2xy y D .下载可编辑.所以11003336xyxDxdSxdxdydxxdy.7 分 或解：由对称性，113()336xdSxyz dSdS 5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d dd dd dx yy zz x蝌，其中为锥面222zxy介于平面0z 及1z 之间的部分的下侧。解：补曲面22:1,1D xyz（取上侧），2 分 由高斯公式知 d dd dd dDx yy zz x蝌0，4 分 故d dd dd dx yy zz x蝌 d dd dd dDx yy zz x蝌 221xydxdy=7 分