《6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南大学课程考试试卷课程名称：高等数学 A(1)；课程编码：；试卷编号：A；考试时间：120 分钟题号一二三四五六七八九十总分应得分33 48 12 7 100 实得分评卷人一填空题（每小题3 分，共 33 分）1若函数22,0()1,0ln(),0axxf xxbxxx在0 x处连续，则a ,b .2若2,0()(1),0axexf xbxx处处可导，则a ,b .3 设函数()yf x在点0 x处可导，当自变量 x由0 x增加到0 xx时，记y为()f x的增量，dy为()f x的微分，则0limxydyx .考试中心填写：_年_月_日考试用专业班级：学号
2、：装订线（题目不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教4函数()1f xx的带佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为 .5曲线22(1)yx的最小曲率半径 .6曲线1ln(0)yxexx的斜渐近线为 .7.设xe是()f x的一个原函数，则()fx dx .8121(1)1xx dx .9.01min,2xedx .10.曲线1()2xxyee上相应于 x从1到1的一段弧的长度 s .11.已知一阶线性常微分方程()xyp x ye有特解,xyxe则该微分方程的通解为 .二计算题（每小题8 分，共 48 分）1求3101tanlim.1sinxxxx2设2sin1ln tan,2cos224xxy
3、x求.dydx3.方程202tan()secxyxxytdt确定隐函数(),yy x求22.d ydx装订线（题目不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心 4 求21.xdxxx 5.设21(),txf tedx求120().t f t dt6.求微分方程2cosyyx的通解.三.应用题 (12 分)过抛物线2yx上一点2(,)a a作切线，问 a 为何值时所作切线与抛物线241yxx所围成的图形面积最小？装订线（题目不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心四证明题(7 分)设函数()f x在区间,a b上连续，在(,)a b内可导，且有221(),(),2ba
4、f aaf x dxba求证：在(,)a b内至少存在一点,使得()()1.ff高数 A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一.填空题(每小题 3 分，共 33 分)(1)1,;e(2)0,1;(3)0;(4)221111();28xxxo x(5)1;4(6)1;yxe(7);xeC(8);2(9)1(ln 21);2(10)1;ee(11)().xyxC e二.计算题(每小题 8 分，共 48 分)1.解.3311001tantansinlimlim 11sin1sinxxxxxxxxx3()1()0tansinlim1(),()1sinxxxxxxxxx因为1()0lim 1(),xxxe
5、3300()tansin1limlim,(1 sin)2xxxxxxxx所以原式.e解法二.原式xxxxsin1tan1ln1limexp3030)sin1ln()tan1ln(limexpxxxx2203sin1costan1seclimexpxxxxxx)sin1)(tan1(3cos)tan1(sec)sin1(limexp220 xxxxxxxxe解法三.原式xxxxsin1tan1ln1limexp30 xxxxxsin1sintan1limexp30e解法四.原式310sin1sintan1limxxxxx310sin1)cos1(tan1limxxxxx313021limxxxe
6、2.解：3222243sin2cos4sincoscos2sin,2cos4cos2cosxxxxxxxxx21111ln tansec2242224tan24xxx12cos x31.cosdydxx3.解法一.方程两边同时对x求导，得222sec()(1)sec()(1)xyyxyy2sin()yxy2sin()cos()(1)yxyxyy32sin()cos().xyxy解法二.由所给方程可得)tan(yxx两边同时对x求导，得)(sec)1(12yxy2sin()yxy以下同解法一。4解法一.2211(12)32xxdxdxxxxx2221()321142d xxdxxxx23arcs
7、in(21).2xxxC解法二.22111142xxdxdxxxx令11sin,2222xuu则221131sin221142xxdxdxu duxxx31cos22uuC23arcsin(21).2xxxC解法三.2211(12)32xxdxdxxxxx222132)(xxdxxxxdCxxxarcsin325解.2(1)0,()tffte1123001()()3t f t dtf t d t1313001()()33tf tt ft dt213013tt edt212016tt d e1 21.6e6.解.齐次方程0yy的通解为12cossin.yCxCx211coscos222xx非齐次
8、方程12yy的特解11.2y设非齐次方程1cos22yyx的特解为2cos2sin2,yAxBx代入计算得1,0,6AB于是得21cos2.6yx原方程的通解为1211cossincos2.26yCxCxx三解.抛物线2yx在点2(,)a a处的切线方程为22,yaxa这条切线与抛物线241yxx的两个交点的横坐标记为1x和2x(不妨设21(),xx则1x和2x是方程222(2)10 xaxa的两个根，从而得221212211,2(2),2 243xxaxxaxxaa上述切线与抛物线241yxx所围成的平面图形面积2122(412)xxSxxaxadx3224(243)3aa122()82(1)1(1).S aaa令()0S a得唯一驻点1,a当1a时，()0;S a当1a时，()0,S a所以1a为极小值点，即最小值点，也就是说，1a时所围图形面积最小。四.证221()()0.2bbaaf x dxbaf xx dx由积分中值定理知，存在点(,),ca b使得().f cc构造函数()(),xF xef xx对函数()F x在区间,a c上应用罗尔中值定理即可得证。