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1、长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 高 2013 届第三次模拟考试 数学（文）试题 命题学校：师大附中 审题学校：西安中学 第卷(选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)1.若集合|01xAxx,2|2 Bx xx,则AB【】.A.|01xx B.|01xx C.|01xx D.|01xx 2.若复数z满足izz)1(,则复数z的模为【】.A.1 B.22 C.2 D.2 3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【】.A.80 B.40 C.380 D.340 4.若ABC的 三 个 内 角 满 足sin:sin:sin5:1
2、1:13ABC,则ABC【】.A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.函数()lg|sin|f xx是【】.2的奇函数 A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为2的偶函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为6.按右面的程序框图运行后,输出的S应为【】.A.26 B.35 C.40 D.57 7.若数列na满足151a,且2331nnaa,则使01kkaa的k值 为 i5?否 开始 S=0,i=1 T=3i1 S=S+T i=i+1 是 输出 S 结束 【】.A.22 B.21 C.24 D.23 8.“1a”是“
3、直线1l:012yax与2l:04)1(yax平行”的【】.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.设1F,2F分别为双曲线22221xyab(0,0)ab的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足212PFFF,且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【】.A.34 B.35 C.45 D.441 10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成1.0米,2.0米,3.0米,8.1米或9.1米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a米时,机器人每
4、相邻两个迈步动作恰需间隔a秒 若设这个机器人以x(9.1,8.1,3.0,2.0,1.0 x)米的步长跑50米(允许超出50米)所需的时间为)(xf秒,则)5.0()6.1(ff【】.A.1.0 B.2.1 C.8.0 D.4.0 第卷(共 100 分)二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.圆22(4)15xy与抛物线24yx的交点个数为_.12.若向量(cos,sin)a,(3,1)b,则|ab的最大值为 .13.若实数yx,满足14xy,且23xy,则yxp32 的取值范围是_.14.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,若记向量()mn，a=与向量(12)，b
5、的夹角为,则为 锐角的概率是 .15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数cba,满足4222cba,则cba543的最大值为_.B.(几何证明选讲)以Rt ABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E,点D在BC上,且DE与圆O相切.若56A,则BDE_.C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)3cos(4与直线1)6sin(的两个交点之间的距离为_.三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a.17cos13sin17cos13sin22；15
6、cos15sin15cos15sin22；12cos18sin12cos18sin22；48cos)18sin(48cos)18(sin22；55cos)25sin(55cos)25(sin22.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题 12 分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学
7、被抽中的概率.18.(本题 12 分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,棱PD 底面ABCD,PDDC,E是PC的中点(1)证明:/PA平面BDE；(2)证明:平面BDE 平面PBC.2 18 19910 17 036898832 16 2588 15 9甲班乙班EPDCBA19.(本题 12 分)在数列na中,123a,且对任意的*Nn都有121nnnaaa.(1)求证:11na是等比数列；(2)若对任意的*Nn都有1nnapa,求实数p的取值范围.20.(本题 13分)已知椭圆C:12222byax)0(ba的离心率为36,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于BA,两点,N为弦
8、AB的中点,O为坐标原点.(1)求直线ON的斜率ONk；(2)对于椭圆C上的任意一点M,设OBOAOM(,)RR,求证:122.21.(本题 14 分)设函数)1ln()(2xaxxf有两个极值点21,xx,且21xx.(1)求实数a的取值范围；(2)当83a时,判断方程41)(xf的实数根的个数,并说明理由.高 2013 届第三次五校联考数学(文)参考答案 一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C C D A B A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.4 12.3
9、13.(3,8)14.16 15.A.210 B.68 C.32 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a.17cos13sin17cos13sin22；15cos15sin15cos15sin22；12cos18sin12cos18sin22；48cos)18sin(48cos)18(sin22；55cos)25sin(55cos)25(sin22.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数a；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式计算:43
10、30sin21115cos15sin15cos15sin22a.4 分(2)猜想的三角恒等式为:43)30cos(sin)30(cossin22.6 分 证明:)30cos(sin)30(cossin22 22sin(cos30 cossin30 sin)sin(cos30 cossin30 sin)222233131sincossincossinsincossin42422 22333sincos444.12 分 17.(本题 12 分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方
11、差；(3)从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.2 18 19910 17 036898832 16 2588 15 9甲班乙班解:(1)由茎叶图可知：对比两班身高集中于179160之间的数据可知乙班平均身高应高于甲班,而其余数据可直接看出身高的均值是相等的,因此乙班平均身高应高于甲班；3 分 (2)由题意知甲班样本的均值为 158162163 168168170171 17917918217010 x,故甲班样本的方差为2222221(158 170)(162 170)(163 170)(168 170)(168 170)(17
12、0 170)10 2222(171 170)(179 170)(179 170)(181 170)57 7 分 (3)设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为A,从乙班的10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件,故42()105P A.12 分 18.(本题 12 分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,棱PD 底面ABCD,PDDC,
13、E是PC的中点(1)证明:/PA平面BDE；(2)证明:平面BDE 平面PBC.证明:(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO.底面 ABCD 是正方形,O为AC的中点,又E为PC的中点,/OEPA,OE 平面BDE,PA平面BDE,/PA平面BDE.6 分(2)PDDC,E是PC的中点,DEPC.PD 底面ABCD,PDAD.又由于ADCD,PDCDD,故AD 底面PCD,所以有ADDE.又由题意得/ADBC,故BCDE.于是,由BCPCC,DEPC,BCDE可得DE 底面PBC.故可得平面BDE 平面PBC.12 分 19.(本题 12 分)在数列na中,123a,且对任意的*Nn都
14、有121nnnaaa.(1)求证:11na是等比数列；(2)若对任意的*Nn都有1nnapa,求实数p的取值范围.证:(1)由121nnnaaa,得11111111(1)222nnnnnnaaaaaa .又由123a,得111102a.EPDCBA 因此,11na是以11112a 为首项,以12为公比的等比数列.5 分 解:(2)由(1)可得111111()222nnna,即221nnna,111221nnna,于是所求的问题:“对任意的nN都有1nnapa成立”可以等价于问题:“对任意的*Nn都有11111122122112122121nnnnnnnnnapa 成立”.若记11()121nf
15、 n,则()f n显然是单调递减的,故1 116()(1)1215f nf.所以,实数p的取值范围为65p.12 分 20.(本题 13分)已知椭圆C:12222byax)0(ba的离心率为36,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于BA,两点,N为弦AB的中点.(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率ONk；(2)对于椭圆C上的任意一点M,设OBOAOM(,)RR,求证:122.解:(1)设椭圆的焦距为c2,因为36ac,所以有32222aba,故有223ba.从而椭圆C的方程可化为:22233byx 易知右焦点F的坐标为(0,2b),据题意有AB所在的直线方程为:bxy2.由,有:032642
16、2bbxx.设),(),(2211yxByxA,弦AB的中点),(00yxN,由及韦达定理有:.422,423200210bbxybxxx 所以3100 xykON,即为所求.6 分(2)显然OA与OB可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量OM,有且只有一对实数,使得等式OBOAOM成立.设),(yxM,由(1)中各点的坐标有:),(),(),(2211yxyxyx,故2121,yyyxxx.8 分 又因为点M在椭圆C上,所以有22212213)(3)(byyxx整理可得:2212122222212123)3(2)3()3(byyxxyxyx.由有:43,22322
17、121bxxbxx.所以 06936)(234)2)(2(332222212121212121bbbbxxbxxbxbxxxyyxx 又 点BA,在椭圆C上,故有22222221213)3(,3)3(byxbyx.将,代入可得:122.13 分 21.(本题 14 分)设函数)1ln()(2xaxxf有两个极值点21,xx,且21xx.(1)求实数a的取值范围；(2)当83a时,判断方程41)(xf的实数根的个数,并说明理由.解:(1)由)1ln()(2xaxxf可得12212)(2xaxxxaxxf)1(x.令axxxg22)(2)1(x,则其对称轴为21x,故由题意可知21,xx是方程0)
18、(xg的两个均大于1的不相等的实数根,其充要条件为0)1(084aga,解得210 a.7 分 (2)由83a可知431x,412x,从而易知函数)(xf在)43,1(上单调递增,在)41,43(上单调递减,在),41(上单调递增.由)(xf在43,1(上 连 续、单 调 递 增,且412ln43169)143ln(83)43()43(2f,以 及4112211ln83)11()11(844244eeeeef,故方程41)(xf在43,1(有且只有一个实根；由于)(xf在)41,43(上单调递减,在),41(上单调递增,因此)(xf在),43(上的最小值4143ln83161)141ln(83)41()41(2f,故方程41)(xf在),43(没有实数根.综上可知,方程41)(xf有且只有一个实数根.