《苏教版数学高一《二次函数与一元二次方程》同步导学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版数学高一《二次函数与一元二次方程》同步导学案.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、打印版 打印版 二次函数与一元二次方程 1.二次函数的零点的概念 一元二次方程20axbxc0a 的根也称为二次函数2yaxbxc（a0）的零点 2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20axbxc（a0）有两个不相等的实数根1x，2x判别式0 对应的二次函数2yaxbxc（a0）的图象与x轴有两个交点为1,0 x，2,0 x对应的二次函数2yaxbxc（a0）有两个不同的零点1x，2x；（2）一元二次方程20axbxc（a0）有两个相等的实数根1x=2x判别式0 对应的二次函数2yaxbxc（a0）的图象与x轴有唯一的交点为（1x，0）对应的二次函数2yaxbxc（a
2、0）有两个相同零点1x=2x；（3）一元二次方程20axbxc（a0）没有实数根判别式0 对应的二次函数2yaxbxc（a0）的图象与x轴没有交点对应的二次函数2yaxbxc（a0）没有零点 函数的零点的概念 一般地，对于函数()yf xxD，我们把使()0f x 的实数x叫做函数()yf x xD的零点 函数的零点与对应方程的关系 方程()0f x 有实数根函数()yf x的图象与x轴有交点函数()yf x有零点 例 1：求证：一元二次方程22370 xx有两个不相等的实数根【解】证法 1 =234 27650 一元二次方程22370 xx有两个不相等的实数根 证法 2 设2()237f x
3、xx，函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2 03 0770f 函数()f x的图象与x轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370 xx有两个不相等的实数根 方程化为2365()416x再证明也可仿照证点评:例 1 还可用配方法将(1)23720f 来推证 法 2，由抛物线开口向上及例 2：右图是一个二次函数()yf x的图象（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较(4)(1)ff，(0)(2)ff与0的大小关系 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x ，21x （2）由（1）可设()f x=(3)(1)a xx(1)4f 1a ()(3)(1
4、)f xxx 即这个二次函数的解析式为2()23f xxx （3）(4)5f ，(1)4f，(0)3f，(2)5f，打印版 打印版(4)(1)200ff，(0)(2)150ff 点评:例 2 进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想 例 3：当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2270 xaxa的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程2340axxa的两根都小于1；（3）方程22(4)2530 xaxaa的两根都在区间 1,3上；（4）方程227(13)20 xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（5）方程022 axx至少有一个
5、实根小于1 分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a的不等式（组）【解】设22()70f xxaxa，其图象为开口向上的抛物线若要其与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f，即24270aa，13a 当0a 时，0 x 满足题意 当0a 时，设2()34f xaxxa.若要 方程两根都小于 1，只要 2339 160443310223(1)005aaaaaafaa 或或 304a 综上，方程的根都小于 1 时，304a 设22()(4)253f xxaxaa则方程两个根都在 1,3 上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02faafaaa
6、aaaf 01a （4）设22()7(13)2f xxaxaa，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030aaffaafaa 122403aaaaa 或或 21a 或34a（5）设2()2f xxax，若方程的两个实根都小于1，则有 打印版 打印版 2802 22 21223(1)0aaaaaaf 或2 23a 若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，则有(1)30fa,3a 若方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2，1 2a ，3a 综上，方程至少有一实根小于1时，2 2a 点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带
7、，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力 1.函数2()2f xxax(01)x的最大值是2a，则 （D）A01a B02a C20a D10a 2.设2()f xxbxc，(0)4f,(1)(1)fxfx，则 （B ）A()()xxf bf c B()()xxf bf c C()()xxf bf c D()()xxf bf c 3.若关于x的方程2
8、(2)210 xmxm 有一根在(0,1)内，则m_1223m_ 4.若二次函数2()(1)5f xxax在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f的取值范围是_7,_ 例 4:已知m，n是方程22(2)xk xk 350k(kR)的两个实根，求22mn的最大值和最小值 分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系要求22mn的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k为自变量的22mn的函数解析式【解】因为方程22(2)350 xk xkk(kR)有两个实根，所以22(2)4(35)kkk 2316160kk，解得443k 又(2)mnk，235m nkk，所以222()2mnmnmn 22
9、(2)2(35)kkk 22106(5)19kkk 而 2451943f kkk 是减函数，因此当4k 时，22mn取最大值18，当43k 时，22mn取最小值509 点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k的取值范围，否则无法确定函打印版 打印版 数()f k的单调性 1 若方程2210axx 在0,1内恰有 一解，则a的取值范围是（B）A1a B1a C11a D01a 2已知()()()2f xxa xb()ab，并且、是方程()0f x 的两个根()，则实数a、b、的大小关系可能是（A）Aab Bab Cab Dab 3不等式223222xkxkxx 对一切实数x都立，则k的取值范围是210k.4 已知二次函数2()f xaxbxc和一次函数()g xaxb，其中abc，且(1)0f，（1）求证：两函数()f x、()g x的图象交于不同两点A、B；（2）求线段AB在x轴上投影11AB长度的取值范围 答案：（1）(1)0fabc，abc，0a,0c 由2yaxbxcyaxb 得2()0axba xcb，因为2()40baac 所以两函数()f x、()g x的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)A x y，22(,)B xy，则211|A B 2212()(2)4cxxa0abc，abc，122ca 11|AB（23，32）打印版 打印版