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1、20XX 年中考数学复习专题讲座四：探究型问题 一、中考专题诠释 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类 二、解题策略与解法精讲 由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无
2、固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律 2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用 三、中考考点精讲
3、考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件 例 1 （2012自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合（1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目 例 3 （2012盐城）
4、如图所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1与 E 重合），试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量关系（不需要证明）例 4（2012丽水）在直角坐标系中
5、，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC （1）如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=x2，试判断抛物线 y=x2经过平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的
6、具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例 5 （2012青海）如图（*），四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现 AE=EF，这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形全等，但ABE和ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点 E 是边 BC 的中点，因此可以选取 AB的中点 M，连接 EM 后尝试着去证AEMEFC
7、 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图 1，取 AB 的中点 M，连接 EM AEF=90 FEC+AEB=90 又EAM+AEB=90 EAM=FEC 点 E，M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点 AM=EC 又可知BME 是等腰直角三角形 AME=135 又CF 是正方形外角的平分线 ECF=135 AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论（3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E 是
8、边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由 例 6（2012永州）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3），l 为过点（0，2）且与 x 轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过 P 作 PHl，H 为垂足（1）求二次函数 y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使 y0 的对应的 x 的取值范围；（3）对应当 m=0，m=2 和 m=4 时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并
9、猜想一个结论，证明对于任意实数 m，此结论成立；（4）试问是否存在实数 m 可使POH 为正三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目 例 7 （2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x轴、y 轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=6，点 C 的坐标为（9，0）（1）求点 B 的坐标；（2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=2，OD=2BD，求直线 DE 的解析式；（3）若点 P 是（2）中直线 DE
10、 上的一个动点，是否存在点 P，使以 O、E、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 例 8 （2012北海）如图，在平面直角坐标系中有 RtABC，A=90，AB=AC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）（1）求 d 的值；（2）将ABC 沿 x 轴的正方向平移，在第一象限内 B、C 两点的对应点 B、C正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线 BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线 BC 交 y 轴于点 G问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图象上的点 P，使得四边形 PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点
11、 M 和点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 四、中考真题演练 1（2012广东）如图，直线 y=2x6 与反比例函数 y=的图象交于点 A（4，2），与 x 轴交于点 B（1）求 k 的值及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 2（2012乐山）如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数（x0）的图象交于点 M，过 M 作 MHx 轴于点 H，且 tanAHO=2（1）求 k 的值；（2）点 N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使得 PM+PN最小？若存在
12、，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 3（2012莆田）如图，一次函数 y=k1x+b 的图象过点 A（0，3），且与反比例函数（xO）的图象相交于 B、C 两点（1）若 B（1，2），求 k1k2的值；（2）若 AB=BC，则 k1k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 4（2012长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A（2，0）、C（1，2），反比例函数 y=（k0）的图象经过点 B （1）求 k 的值（2）将平行四边形 OABC 沿 x 轴翻折，点 C 落在点 C处，判断点 C是否在反比例函数 y=（k0）的图象上
13、，请通过计算说明理由 7（2012宜宾）如图，抛物线 y=x22x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上（1）求抛物线顶点 A 的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧），试判断ABD 的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 8（2012温州）如图，经过原点的抛物线 y=x2+2mx（m0）与 x 轴的另一个交点为 A过点 P（1，m）作直线 PMx 轴于点 M，交抛物线于点 B记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（B、C 不重合
14、）连接 CB，CP（1）当 m=3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（2）当 m1 时，连接 CA，问 m 为何值时 CACP？（3）过点 P 作 PEPC 且 PE=PC，问是否存在 m，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的 m 的值，并定出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由 9（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 B（2，1），且过点 A（0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x于点 C，交 x 轴于点 G，EFx 轴，垂足为点 F，点 P 在抛物线上，
15、且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点 M，PCM 为等边三角形（1）求该抛物线的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）试判断 CE 与 EF 是否相等，并说明理由；（4）连接 PE，在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N，使CMN 与CPE 全等？若存在，试求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 10（2012泰安）如图，半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的坐标为（1，0）若抛物线 y=x2+bx+c 过 A、B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点 P，使得PBO=POB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理
16、由；（3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB 的面积为 S，求 S 的最大（小）值 12（2012岳阳）（1）操作发现：如图，D 是等边ABC边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以 DC 为边在BC 上方作等边DCF，连接 AF你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点 D 运动至等边ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想 AF 与 BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点 D 在等边ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合）连接 DC，以 D
17、C 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF，连接 AF、BF，探究 AF、BF与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论 如图，当动点 D 在等边边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论 13（2012烟台）（1）问题探究 如图 1，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向ABC 外作正方形 ACD1E1和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使AHK=ACD1作 D1MKH，D2NKH，垂足分别为点 M，N试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓
18、展延伸 如图 2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB于点 H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作 D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点 M，ND1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 如图 3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图 3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）14（2012湘潭）如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，将ABC 沿直线 BC 向右平移，使 B点与 C 点重合，得到DCE，连接 BD，交 AC 于 F（
19、1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段 BD 的长 15（2012苏州）如图，已知抛物线 y=x2（b+1）x+（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意
20、两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 16（2012泉州）如图，O 为坐标原点，直线 l 绕着点 A（0，2）旋转，与经过点 C（0，1）的二次函数 y=x2+h 的图象交于不同的两点 P、Q（1）求 h 的值；（2）通过操作、观察，算出POQ 的面积的最小值（不必说理）；（3）过点 P、C 作直线，与 x 轴交于点 B，试问：在直线 l 的旋转过程中，四边形 AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状 17（2012绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索【思考题
21、】如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 B 将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x，则 B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=0.4=2 而 A1B1=2.5，在 RtA1B1C 中，由+=得方程 ，解方程得 x1=，x2=，点 B 将向外移动 米（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑 0.4 米”改为“下滑 0.9 米”，那么该题的答案会是 0.9 米吗？为什么？【
22、问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题 20（2012广州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F为 AD 的中点，CEAB 于 E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求 CE 的长；（2）当 6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE2CF2取最大值时，求 tanDCF 的值 21（2012厦门）已知：O是ABC的外接圆，AB为O的直径，弦CD交AB于E，BCD=BAC （1）求证：AC=
23、AD；（2）过点 C 作直线 CF，交 AB 的延长线于点 F，若BCF=30，则结论“CF 一定是O 的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例 23（2012德州）如图所示，现有一张边长为4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数
24、关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 24（2012北京）操作与探究：（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是3，则点 A表示的数是 ；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合，则点 E 表示的数是 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中
25、，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0），得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 25（2012日照）在 Rt ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，AB=5（）探究新知 如图，O 是 ABC 的内切圆，与三边分别相切于点 E、F、G（1）求证：内切圆的半径 r1=1；（2）求 tan OAG 的值；（）结论应用（1）如图，若半径为
26、r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与 AC、AB 相切，O2与 BC、AB 相切，求 r2的值；（2）如图，若半径为 rn的 n 个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与 AC、AB 相切，On与 BC、AB 相切，O1、O2、On均与 AB 相切，求 rn的值 26（2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸 ABCD（ABBC）对开，如图 1 所示，所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（ABBC）进行如下操作：第一步：沿过 A 点的直线折叠，使 B 点落在 AD 边上点 F
27、 处，折痕为 AE（如图 2 甲）；第二步：沿过 D 点的直线折叠，使 C 点落在 AD 边上点 N 处，折痕为 DG（如图 2 乙），此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处；第三步：沿直线 DM 折叠（如图 2 丙），此时点 G 恰好与 N 点重合 请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC=，问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012次对开后所得标准纸的周长 2718（2012连云港）已知梯形 ABCD，AD BC，ABBC
28、，AD=1，AB=2，BC=3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE=nPA（n 为常数），以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由