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1、 1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1在等
2、差数列 na中，22a，3104,aa则 A12 B14 C16 D18 2设2,|20,UR Mx xx，则UM=A0，2 B0,2 C,02,D,02,3曲线223yxx 在点（1，2）处的切线方程为 A31yx B35yx C35yx D2yx 4从一堆苹果中任取 10 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在114.5,124.5)内的频率为 A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 5已知向量(1,),(2,2),ak baba且与共线，那么a b的值为 A1 B2 C3 D4 6设11333124l
3、og,log,log,233abca b c则的大小关系是 Aabc Bcba Cbac Dbca 7若函数1()2f xxn(2)n 在xa处取最小值，则a 2 A12 B13 C3 D4 8若ABC的内角，,A B C满足6sin4sin3sinABC，则cos B A154 B34 C3 1516 D1116 9设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A(0,2)B(1,2)C 2(,1)2 D(2，)10高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1 的同一球面上，则底面ABCD
4、的中心与顶点S之间的距离为 A102 B232 C32 D2 二、填空题，本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答题卡相应位置上 116(12)x的展开式中4x的系数是 12若3cos5a ,且3(,)2a，则tan a 13过原点的直线与圆222440 xyxy相交所得弦的长为 2，则该直线的方程为 14从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动，则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为 15若实数,222,2222,aba babca b ca b cc 满足则的最大值是 三、解答题，本大题共 6 小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1
5、6（本小题满分 13 分，（）小问 7 分，（）小问 6 分）设na是公比为正数的等比数列，12a，324aa。（）求 na的通项公式；（）设 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列nnab的前n项和ns。17（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中：（I）没有人申请 A 片区房源的概率；（II）每个片区的房源都有人申请的概率。18（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）设函数()sinc
6、os3cos()cos().f xxxxx xR 3 （1）求()f x的最小正周期；（II）若函数()yf x的图象按3,42b平移后得到函数()yg x的图象，求()yg x在(0,4上的最大值。19（本小题满分 12 分，（）小题 5 分，（）小题 7 分）设3.2()21f xxaxbx的导数为()fx，若函数()yfx的图像关于直线12x 对称，且(1)0f （）求实数,a b的值 （）求函数()f x的极值 20（本小题满分 12 分，（）小问 6 分，（）小问 6 分）如题（20）图，在四面体ABCD中，平面 ABC平面ACD，,2,1ABBC ACADBCCD （）求四面体 A
7、BCD 的体积；（）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。21（本小题满分 12 分。（）小问 4 分，（）小问 8 分）4 如题（21）图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=22，一条准线的方程是2 2x （）求该椭圆的标准方程；（）设动点 P 满足：2OPOMON ，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为12，问：是否存在定点 F，使得PF与点 P 到直线 l：2 10 x 的距离之比为定值；若存在，求 F 的坐标，若不存在，说明理由。题（21）图 参考答案 5 一、选择题 15 DAACD 610 BCDBA 二、填空题：11240 1243 1320 xy
8、14730 1522log 3 三、解答题：满分 75 分 16（本题 13 分）解：（I）设 q 为等比数列na的公比，则由21322,4224aaaqq得，即220qq，解得21qq 或（舍去），因此2.q 所以na的通项为1*2 22().nnnanN （II）2(12)(1)12.122nnn nSn 1222.nn 17（本题 13 分）解：这是等可能性事件的概率计算问题。（I）解法一：所有可能的申请方式有 34种，而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24种。记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则 44216().813P A 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这
9、是 4 次独立重复试验.记“申请 A 片区房源”为事件 A，则1().3P A 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为 004441216(0)()().3381PC （II）所有可能的申请方式有 34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 1212334243()C C CC C或种.记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从而有 12123342434443644()().99333C C CC AP BP B或 6 18（本题 13 分）解：（I）21()sin 23cos2f xxx 13sin2(1cos2)22133si
10、n2cos22223sin(2).32xxxxx 故()f x的最小正周期为 2.2T （II）依题意3()()42g xf x 33sin2()4322sin(2)3.6xx 当0,2,()466 3xxg x 时为增函数，所以()0,4g x在上的最大值为3 3().42g 19（本题 12 分）解：（I）因322()21,()62.f xxaxbxfxxaxb故 从而22()6(),66aafxxb 即()yfx关于直线6ax 对称，从而由题设条件知1,3.62aa 解得 又由于(1)0,620,12.fabb 即解得 （II）由（I）知32()23121,f xxxx 2()6612f
11、xxx 6(1)(2).xx 令12()0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx 即解得 7 当(,2),()0,()(,2)xfxf x 时故在上为增函数；当(2,1),()0,()(2,1)xfxf x 时故在上为减函数；当(1,),()0,()(1,)xfxf x时故在上为增函数；从而函数1()2f xx 在处取得极大值2(2)21,1fx在处取得极小值(1)6.f 20（本题 12 分）解法一：（I）如答（20）图 1，过 D 作 DFAC 垂足为 F，故由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC，即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高，设 G 为边 CD 的中点，
12、则由 AC=AD，知 AGCD，从而 22221152().221115.224AGACCGAG CDAC DFCD AGDFAC由得 由2213,3,.22ABCRt ABCABACBCSAB BC中 故四面体 ABCD 的体积15.38ABCVSDF （II）如答（20）图 1，过 F 作 FEAB，垂足为 E，连接 DE。由（I）知 DF平面 ABC。由三垂线定理知 DEAB，故DEF 为二面角 CABD 的平面角。在2222157,2(),44Rt AFDAFADDF中 在Rt ABC中，EF/BC，从而 EF：BC=AF：AC，所以7.8AF BCEFAC 在 RtDEF 中，2 1
13、5tan.7DFDEFEF 解法二：（I）如答（20）图 2，设 O 是 AC 的中点，过 O 作 OHAC，交 AB 于 H，过 O 作 OMAC，交 AD 于 M，由平面 ABC平面 ACD，知 OHOM。因此以 O 为原点，以射线 OH，OC，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系 Oxyz.已知 AC=2，故点 A，C 的坐标分别为 A（0，1，0），C（0，1，0）。设点 B 的坐标为11(,0),|1B x yABBCBC 由，有 8 2211221111111,(1)1,33,22().11,22xyxyxxyy 解得舍去 即点 B 的坐标为3 1(,0)
14、.22B 又设点 D 的坐标为22(0,),|1,|2,DyzCDAD由有 222222222222(1)1,(1)4,33,44().1515,44yzyzyyzz 解得舍去 即点 D 的坐标为315(0,).44D从而ACD 边 AC 上的高为215|.4hz 又2231|()(1)3,|1.22ABBC 故四面体 ABCD 的体积115|.328VABBC h （II）由（I）知3 3715(,0),(0,).2244ABAD 设非零向量(,)nl m n是平面 ABD 的法向量，则由nAB 有 330.22lm （1）由nAD，有 71 50.44mn （2）取1m ，由（1），（2）
15、，可得7 157 153,(3,1,).1515lnn即 9 显然向量(0,0,1)k 是平面 ABC 的法向量，从而 71 571 0 915cos,1094931154912 15109tan,77109n kn k 故 即二面角 CABD 的平面角的正切值为2 15.7 21（本题 12 分）解：（I）由22,2 2,2caeac 解得2222,2,2acbac，故椭圆的标准方程为 221.42xy （II）设1122(,),(,),(,)P x y M x yN xy，则由 2OPOMON 得 112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x yx yxyxxyyxx
16、xyyy即 因为点 M，N 在椭圆2224xy上，所以 2222112224,24xyxy，故222222121212122(44)2(44)xyxxx xyyy y 2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).xyxyx xy yx xy y 设,OMONkk分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 12121,2OMONy ykkx x 因此121220,x xy y 所以22220.xy 10 所以 P 点是椭圆22221(2 5)(10)xy上的点，该椭圆的右焦点为(10,0)F，离心率2,:2 102el x直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点(10,0)F，使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。