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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷）文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 2224 题为选考题,其他题为必考题第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M 0,1,2,3,4，N 1,3,5，P MA2 个B4 个C6 个D8 个【答案】B【解析】P M2复数N，则P的子集共有N=1,3，故P的子集有22 4个5i12iA2iB1 2iC2iD1 2i【答案】C【解析】5i5i(12i)2i12i(12i)(12i)3下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是Ay
2、xBy|x|1Cy x 1Dy 2【答案】B【解析】y x为奇函数，y x 1在(0,)上为减函数，y 2函数，故选 B32|x|32|x|在(0,)上为减x2y21的离心率为4椭圆168A1132BCD3232【答案】D第1 1页共1212页x2y2c212222221可知a 16，b 8，c a b 8，e 2，【解析】由168a2e 225执行右面的程序框图,如果输入的N是 6,那么输出的p是A120B720C1440D5040【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的p 123456 720，选 B6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同
3、，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A1123BCD3234【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加 1 组记为“甲 1”，则基本事件为“甲 1，乙1；甲 1，乙2；甲1,乙 3；甲2,乙 1；甲2，乙2；甲2,乙 3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3,乙 3”,共 9 个记事件 A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件 A 有“甲 1，乙 1；甲 2,乙2；甲 3，乙 3”,共 3 个因此P(A)31937 已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则cos2=A4334BCD5555【答案】B第2 2页共1212页cos2sin21
4、tan23【解析】由题知tan 2，cos2,选 Bcos2sin21 tan258在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为正视图俯视图ABCD【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为 D9 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点，则ABP的面积为_A18B24C36D48【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2px，则焦点坐标为(2pp,0),将x 代入y2 2px可得22即2p=12,p=6 点P在准线上，到AB的距离为p=6，所以ABPy2
5、p2，|AB|=12，面积为1612 362x10在下列区间中,函数f(x)e 4x3的零点所在的区间为_A(111 11 3,0)B(0,)C(,)D(,)444 22 4【答案】C11111111【解析】因为f()e443 e42 0，f()e243 e21 0,所以44221 1f(x)ex4x3的零点所在的区间为(,)4 2第3 3页共1212页11设函数f(x)sin(2xAy f(x)在(0,By f(x)在(0,Cy f(x)在(0,Dy f(x)在(0,【答案】D)cos(2x)，则442)单调递增，其图象关于直线x)单调递增，其图象关于直线x 4对称对称对称222)单调递减，
6、其图象关于直线x)单调递减,其图象关于直线x 422对称【解析】因为f(x)sin(2x)cos(2x)=2sin(2x)=2cos2x，442k所以y 2cos2x,在(0,)单调递减,对称轴为2x k，即x（k Z Z)2212已知函数y f(x)的周期为 2，当x1,1时f(x)x2，那么函数y f(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有_A10 个B9 个C8 个D1 个【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10 个第卷本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 1313 题题第第 2121 题为必考题题为必考题,每个试题考生都必须做每个试题考生都必须
7、做答第答第 2222 题题第第 2424 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，小题，每小题每小题 5 5 分分13已知a a与b b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a a b b与向量ka a b b垂直，则k=【答案】1【解析】a a b b与ka a b b垂直，（a a b b)（ka a b b)=0，第4 4页共1212页化简得(k 1)(a ab b1)0，根据a a、b b向量不共线，且均为单位向量得a ab b 1 0，得k 1 0，即k 114若变量x，y满足约束条件【答案】6【解析】画出区域
8、图知，3 2x y 9,则z x2y的最小值是_6 x y 9当直线z x2y过2x y 3的交点（4，-5）时，zmin 6x y 915ABC中，B 120,AC 7,AB 5，则ABC的面积为_【答案】15 34ABACAB535 3得sinC，sin B sinCsin BAC7214【解析】根据cosC 1(5 3211)，1414所以sin A sin(BC)sin BcosC sinCcosB31115 33 321421414113 315 3 AB ACsin A 75221443，则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的16因此SABC=16已知两个圆锥有公共底面，
9、且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的比值为_【答案】13【解析】设球心为O1,半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，第5 5页共1212页则有r334r12r22，即r2r1,所以O1O2r12r221，1622r1h21设两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2,则1h2r r1312r1三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）11，公比q 331an(）Sn为an的前n项和，证明:Sn;2已知等比数列an中，a1（）设bn log3a1log3
10、a2【解析】(）因为anlog3an,求数列bn的通项公式11n11()n.333111(1n)1n33,Sn31213所以Sn1 an,2（）bn log3a1log3a2log3an(1 2 n)n(n 1)2n(n 1).2所以bn的通项公式为bn 18（本小题满分 12 分）如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为平行四边形，DAB 60,AB 2AD，PD 底面ABCD第6 6页共1212页（)证明：PA BD;（)若PD AD 1，求棱锥D PBC的高【解析】（）因为DAB 60,AB 2AD,由余弦定理得BD 3AD从而BD AD AB，故 BDAD又 PD底面 ABCD，可得
11、 BDPD所以 BD平面 PAD。故 PABD（）如图，作 DEPB,垂足为 E已知 PD底面 ABCD，则 PDBC222由（)知 BDAD，又 BC/AD，所以 BCBD故 BC平面 PBD，BCDE则 DE平面 PBC由题设知，PD=1，则 BD=3,PB=2，根据 BEPB=PDBD,得 DE=3，2即棱锥 D-PBC 的高为19(本小题满分 12 分）3.2某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品现用两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面
12、试验结果：A 配方的频数分布表第7 7页共1212页指标值分组频数90，94)894,98)2098,102）42102,106）106，110228B 配方的频数分布表指标值分组频数90，94)494，98）1298,102)42102，106)32106,11010（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；()已知用 B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为2,t 94y 2,94 t 102，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B4,t 102配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润【解析】()由试验结果知,用 A 配
13、方生产的产品中优质品的频率为配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为生产的产品的优质品率的估计值为0.42(）由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 当且仅当其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为 096所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 096用 B 配方生产的产品平均一件的利润为20（本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y x 6x1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；(）若圆C与直线x y a 0交于A,B两点，且OA OB，求a的值【解析】（)曲线y x 6
14、x1与 y 轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3 2 2,0),(32 2,0).故可设 C 的圆心为（3，t）,则有32(t 1)2(2 2)2t2,解得t=1。22228 0.3，所以用 A1003210 0.42，所以用 B 配方10014(2)542424 2.68（元)100第8 8页共1212页22则圆 C 的半径为3 (t 1)3.所以圆 C 的方程为(x3)2(y 1)2 9.（）设 A(x1,y1),B(x2,y2），其坐标满足方程组：x y a 0,22(x 3)(y 1)9.消去 y，得到方程2x2(2a 8)xa22a 1 0.由已知可得，判别式 5616a4a2
15、0.因此，x1,2(82a)5616a 4a24a202a 12,从而x1 x2 4 a,x1x2由于 OAOB，可得x1x2 y1y2 0,又y1 x1 a,y2 x2 a,所以2x1x2a(x1 x2)a2 0.由,得a 1，满足 0,故a 1.21（本小题满分 12 分）已 知 函 数f(x)alnxb,曲 线y f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 为x1xx2y 3 0()求a，b的值；()证明：当x 0，且x 1时,f(x)ln xx1(【解析】（）f(x)x1ln x)bx(x1)2x2第9 9页共1212页 f(1)1,1由于直线x2y 3 0的斜率为，且过点(1
16、,1)，故1即2f(1),2b 1,a1解得a 1,b 1b ,22（）由（）知f(x)ln x1,所以x1xx21ln x1f(x)(2ln x)x 11 x2x考虑函数h(x)2ln xx21x(x 0)，则2222x(x 1)(x 1)2h(x)22xxx所以当x 1时，h(x)0,而h(1)0,故当x(0,1)时，h(x)0,可得1h(x)0;1 x21h(x)0;21 x当x(1,)时，h(x)0,可得从而当x 0,且x 1,f(x)ln xln x 0,即f(x).x 1x 1请考生在第请考生在第(22(22）、（2323）、（2424）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
17、题记）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分分22（本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，D,E分别为ABC的边AB，AC上的点,且不与ABC的顶点重合 已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x 14xmn 0的两个根2第1010页共1212页CEBAD（）证明：C,B,D,E四点共圆；(）若A 90，且m 4,n 6,求C,B,D,E所在圆的半径【解析】()连结DE，根据题意在ADE和ACB中,ADAB mn AEAC，即ADAE 又DAE CAB，从而ADEACBACAB因此ADE ACB 所以C，B，D，E四点共圆CGEAMDB（）m 4,
18、n 6时，方程x214x mn 0的两根为x1 2，x212故AD 2,AB 12取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH 因为C，B，D,E四点共圆，所以C，B,D,E四点所在圆的圆心为H，半径为DH由于A90，故GH/AB，HF/AC,从而HF AG 5，DF 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 223（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1122 52x 2cos，M为C1上(为参数）y 22sin的动点,P点满足OP 2OM，点P的轨迹为曲线C2（)求C2的方程;第1111页共1
19、212页（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|。3与C1的异于极点x 2cos2 x y【解析】()设Px,y,则由条件知M,，由于M点在C1上，所以，即y2 2 22sin2x 4cosy 44sinx 4cos(为参数）y 44sin从而C2的参数方程为()曲线C1的极坐标方程为 4sin，曲线C2的极坐标方程为 8sin射线射线3与C1的交点A的极径为1 4sin与C2的交点B的极径为28sin3，33所以AB 12 2 324（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲设函数f(x)|xa|3x，其中a 0（）当a 1时,求不等式f(x)3x2的解集()若不等式f(x)0的解集为xx 1，求a的值【解析】()当a 1时,fx 3x2可化为x1 2由此可得x 3或x 1，故不等式fx 3x2的解集为x x 3或x 1（)由fx 0得xa 3x 0，此不等式化为不等式组x ax ax ax a或即a或ax xa3x 0a x3x 0 x 42由于a 0，所以不等式组的解集为x x a2由题设可得a 1，故a 22第1212页共1212页