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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-课时跟踪检测（十二）柱、锥、台的体积 一、基本能力达标 1若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3 B60 cm3 C64 cm3 D125 cm3 解析：选 B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为34560 cm3.2某几何体的三视图如图所示（单位：cm),则该几何体的体积(单位:cm3）是（)A2 B4 C6 D8 解析：选 C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱,直角梯形的两底边长分别为 1,2，高为2，该几何体的体积为V错误!(21)226。学必求其心得，业
2、必贵于专精 -2-3设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为错误!，那么它的体积为(）A6错误!B。错误!C2错误!D2 解析：选 B 由正六棱锥底面边长为 1 和侧棱长为错误!，可知高h2,又因为底面积S错误!,所以体积V错误!Sh错误!错误!2错误!.4某几何体的三视图如图所示（单位:cm)，则该几何体的体积是（)A8 cm3 B12 cm3 C.错误!cm3 D。错误!cm3 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为 2 cm 的正方体，体积V12228（cm3)；上面是底面边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱锥，体积V2错误!222错误
3、!（cm3）,所以该几何体的体积VV1V2错误!(cm3)学必求其心得，业必贵于专精 -3-5一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积为()A24 B28 C44 D48 解析：选 B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V124错误!12482。6 过长方体一个顶点的三条棱长的比是 123,体对角线的长是 214,则这个长方体的体积是_ 解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x,3x，由体对角线长为 2错误!,则x2(2x)2（3x）2（2错误!）2，解得x2。所以三条棱长分别为 2，4,6.所以V长方体24648.答案
4、：48 7一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3。学必求其心得，业必贵于专精 -4-解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为 2，故所求几何体的体积为 V错误!1212122错误!.答案：错误!8 已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为_ 解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3243错误!1224错误!。答案：24错误!9若圆锥的表面积是 15，侧面展开图的圆心角是 60，求圆锥的体积 学必求其心得，业必贵于专精 -5-解:设圆锥的底面
5、半径为r，母线为l，则 2r错误!l，得l6r。又S锥r2r6r7r215，得r错误!，圆锥的高h错误!错误!，V错误!r2h错误!错误!错误!错误!错误!。10如图,棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求锥体的体积 解:VM是棱锥的高，VMMC。在 RtVMC中，MC错误!错误!3(cm)，AC2MC6（cm）在 RtABC中，BC 错误!错误!2错误!(cm)学必求其心得，业必贵于专精 -6-S底ABBC42错误!8错误!(cm2），V锥错误!S底h错误!8错误!4错误!(cm3）棱锥的体积为错误!cm3。二、综合能力
6、提升 1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于（)A B2 C4 D8 解析：选 B 设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为 2r，由题意得S圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以V圆柱r22r2r32。2如图，ABC.ABC是体积为 1 的棱柱，则四棱锥C.AABB的体积是（)A.错误!B。错误!C.错误!D。错误!解析：选 C VC.ABC错误!V柱错误!，VC。AABB1错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -7-3如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为(）A。错误!B。错误!C2错误!D3错误!解析：选 B 根据
7、三视图,可得该几何体是上部为三棱柱、下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面是底边长为 1,底边上的高为 1的等腰三角形，三棱柱的高是 3，长方体的底面是边长为 1 的正方形,长方体的高是 2,所以该几何体的体积为V三棱柱V长方体12113112错误!.故选 B.4某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 错误!（）学必求其心得，业必贵于专精 -8-A。错误!B.错误!C.错误!D。错误!解析：选 A 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为 1,母线长为 3,则高为32122错误!，设其内接正方体
8、的棱长为x,则错误!错误!，x错误!。V新工件x3错误!。又V原工件错误!122错误!错误!,错误!错误!错误!。故选 A。5已知三棱锥S。ABC的棱长均为 4,则该三棱锥的体积是_ 解析：如图，在三棱锥S.ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO错误!4错误!错误!.在 RtSAO中，SO错误!错误!,所以V错误!错误!错误!42错误!.答案:错误!学必求其心得，业必贵于专精 -9-6在三棱柱ABC.A1B1C1中，BAC90，其主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形 设点M,N，P分别是棱AB,BC,B1C1的中点，则三棱锥PA
9、1MN的体积是_ 解析：由三视图易知几何体ABCA1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VPA1MNVA1PMNVA。PMN.又SPMN错误!MNNP错误!错误!1错误!,A到平面PMN的距离h错误!，VA.PMN错误!SPMNh错误!错误!错误!错误!。答案：错误!7如图，三棱台ABC。A1B1C1中,ABA1B112，求三棱锥A1。ABC，三棱锥B。A1B1C，三 棱 锥C。A1B1C1的体积之比 解:设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S。VA1ABC错误!SABCh错误!Sh，VC.A1B1C1错误!SA1B1C1h错误!Sh。又V台错误!h(S4S2S）错误!
10、Sh，学必求其心得，业必贵于专精 -10-VB。A1B1CV台VA1。ABCVC A1B1C1错误!Sh错误!错误!错误!Sh，所求体积比为 124。探究应用题 8一个圆锥的底面半径为 2 cm,高为 6 cm,在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱（1）求圆锥的侧面积(2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值 解：（1)圆锥的母线长为错误!2错误!（cm)，圆锥的侧面积S122错误!4错误!(cm2)（2）画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知错误!错误!，r6x3,圆柱的侧面积S22rx23(x26x)错误!（x3）29，学必求其心得，业必贵于专精 -11-当x3 时，圆柱的侧面积取得最大值,且最大值为 6 cm2。