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1、 1 第二章 导数与微分(一)1设函数 xfy，当自变量x由0 x改变到xx0时，相应函数的改变量y(C)Axxf0 B xxf0 C 00 xfxxf D xxf0 2设 xf在0 x处可，则 xxfxxfx000lim(A)A 0 xf B0 xf C 0 xf D 02xf 3函数 xf在点0 x连续，是 xf在点0 x可导的(A)A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4设函数 ufy 是可导的，且2xu，则dxdy(C )A 2xf B 2xf x C 22xf x D 22xfx 5若函数 xf在点a连续，则 xf在点a(D)A左导数存在；B右导
2、数存在；C左右导数都存在 D有定义 6 2 xxf在点2x处的导数是(D)A1 B0 C-1 D不存在 7曲线545223xxxy在点1,2 处切线斜率等于(A )A8 B12 C-6 D6 8设 xfey 且 xf二阶可导，则 y(D )A xfe B xfexf C xfxfexf D xfxfexf 2 9若 0,2sin0,xxbxexfax 在0 x处可导，则a，b的值应为(A )A2a，1b B 1a，2b C2a，1b D2a，1b 2 10若函数 xf在点0 x处有导数，而函数 xg在点0 x处没有导数，则 xgxfxF，xgxfxG在0 x处(A )A一定都没有导数 B一定都
3、有导数 C恰有一个有导数 D至少一个有导数 11 函 数 xf与 xg在0 x处 都 没 有 导 数，则 xgxfxF，xgxfxG在0 x处(D )A一定都没有导数 B一定都有导数 C至少一个有导数 D至多一个有导数 12已知 xgfxF，在0 xx 处可导，则(A )A xf，xg都必须可导 B xf必须可导 C xg必须可导 D xf和 xg都不一定可导 13xarctgy1，则 y(A )A211x B211x C221xx D 221xx 14设 xf在点ax 处为二阶可导，则 hhafhafh0lim(A )A 2af B af C af 2 D af 15设 xf在ba,内连续，
4、且bax,0，则在点0 x处(B )A xf的极限存在，且可导 B xf的极限存在，但不一定可导 C xf的极限不存在 D xf的极限不一定存在 16设 xf在点ax 处可导，则 hhafafn0lim af。17函数1 xy导数不存在的点1x。18设函数 22sinxxf，则4f 2 。19设函数 xyy 由方程0yxeexy所确定，则 0 y 1 。3 20曲线xyln在点 1,eP处的切线方程exey11。21若 tyttxxf1ln22，则0tdxdy 1/2 。22若函数xxeyxsincos，则dyxexcos2。23若 xf可导，xfffy，则 y xfxffxfff。24曲线5
5、31225xy在点51,0处的切线方程是03251xy。25讨论下列函数在0 x处的连续性与可导性：(1)xysin 解：0sin0sinlim0 xx xysin在0 x处连续 又 1sinlimsinlim00lim0000 xxxxxfxffxxx 1sinlimsinlim00lim0000 xxxxxfxffxxx 00ff，故xysin在0 x处不可导。(2)0,00,1sinxxxxy 解：001sinlim0fxxx，函数在0 x处连续 又 xxxxxxfxfxxx1sinlim01sinlim00lim000不存在。故 xf在0 x处不可导。26已知 0,0,sinxxxxx
6、f，求 xf。4 解：0 x时，1,10,cosxxxxf可以求得 10 f 0,10,cosxxxxf。27设1ln44xxeey，求y及0 xy。解：1ln4211lnln21xxxexeey 121421xxxeee 28设 xfxeefy 且 xf 存在，求dxdy。解：xfeefeeefeefeefyxfxxfxxxfxxfx xfefeefexxxxf 29已知1111ln33xxy，求y。解：|ln311ln211ln3323xxxxy xxxxxxx31133123111233323 30已知xxxy，求y。解：1ln1ln1lnlnxxxxeexyxxxxx 31设7777
7、xxy，求2xdy。解：7ln17717721767171xxxyxx 32设54132xxxy，求y。解：两边取自然对数可得：5 xxxxy1ln53ln4|2|ln1ln 两边对x求导得：1153142211xxxyy 153422113254xxxxxxy 33设 2xfy 若 xf 存在，求22dxyd。解：xxfdxdy22，2222224xfxxfdxyd。(二)1设函数 xf在点 0 可导，且 00 f，则 xxfx0lim(B)A xf B 0f C不存在 D 2若 30 xf，则xxxfxxfx3lim000(B )A-3 B6 C-9 D-12 3若函数 xf在点a可导，则
8、 hhafafh32lim0(A )A af 32 B af 23 C af 32 D af 23 4设 1,11,222xxxxxf则 xf在1x处(C )A不连续 B连续，但不可导 C连续，且有一阶导数 D有任意阶导数 5函数 0,210,11xxxxxf在0 x处(C )A不连续 B连续不可导 6 C连续且仅有一阶导数 D连续且有二阶导数 6要使函数 0,00,1sinxxxxxfn在0 x处的导函数连续，则n应取何值？(D )A0n B1n C2n D3n 7设函数 xf有连续的二阶导数，且 00 f，10 f，20 f，则极限 20limxxxfx等于(D )A1 B0 C2 D-1
9、 8 设 xf在0 x的某领域内有定义，00 f，且当0 x时，xf与x为等价无穷小量，则(B )A 00 f B 10 f C 0f 不存在 D不能断定 0f 的存在性 9设 xf为奇函数，且 20 xf，则0 xf(C )A-2 B21 C2 D21 10设函数 4321xxxxxxf，则 0f(B )A0 B24 C36 D48 11 已知0 x时，0fxf是x的等价无穷小量，则 hhffh200lim0(C )A-2 B-1 C2 D不存在 12若 xf在0 x可导，则 xf在0 x处(B )A必可导 B连续但不一定可导 C一定不可导 D不连续 13若 uf可导，且 xefy sin，
10、则dy dxefefexxxcos。14设 xy是由方程xyysin(10，常数)所定义的函数，则 7 y3cos1sinyy。15若 xf在ax 处可导，则hmhafnhafh0lim afnm。16 若为二阶可微函数，则 2lnxy的 xy 2222241xxx 22222244xxxxx。17已知 0,00,sin12xxxxxf则 0f 1 ，2f24。18已知tttaytttaxsincoscossin，则43tdydx -1 。4322tdyxda328。19若112xy，则 5y 5111121xx 65651!5111!5121xx。20若 0,00,12xxxarctgxxf
11、，则 0f 0，0,10,11222xxxxxxarctgxf，xxfx0lim 0 。21已知 0,10,122xxxexfx，求 xf。解：0 x时，324322121212222xxexeexxexfxxxx 3202001lim11lim00lim022xxexxexfxffxxxxx texexxxetttxxxxx1lim2322lim322lim02020222 8 21lim20tte 0,20,212322xxxxexfx 22设 xgaxxf22，其中 xg在ax 处连续，求 af。解：aagaxxgaxaxafxfafaxax2limlim22。23如果 xf为偶函数，且
12、 0f 存在，证明 00 f。证：0f 存在，000fff，而 00lim0lim00lim0000ftftftftfxfxfftttxx 00ff，00 f。24设 xf对任意的实数1x、2x有 2121xfxfxxf，且 10 f，试证 xfxf。证：x，00fxfxf，可得 10 f。从而 xxfxfxxfxfxfxxfxxfxfxxx1limlimlim000 xffxfxfxfxfx00lim0。25已知21lnxxarctgxy，求y。解：arctgxxxxxarctgxxxxarctgxy222122111ln1 26已知xxysin21sin2arcsin2x，求y。解：xxx
13、xysin21sin2sin21sin2112 9 22sin21sin2cossin2cos2cos2sin2xxxxxx xxsin23sin2233 27设 xxxaaayarccos12，求dy。解：dxaaadyxxxarccos12 dxaaaaaaaaxxxxxx222211arccos12ln2ln dxaaaaxxxarccos1ln22 28设xexxy1sin，求y。解：|1|ln1|sin|ln|ln1lnxexxxxy xxeexxxyy12sincos1211 xxxeectgxxxexsomxy12111 29设tttytxcossincosln，求dxdy，32
14、2tdxyd。解：ttttttttxydxdyttcoscossinsincoscos ttttttttttxttdxydttsincossincoscossinsincos1cos22 361232123321322tdxyd。10 30函数 xyy 由方程22lnyxxyarctg确定，求dxdy。解；两边对x求导得：2222222111yxyyxxyxyxy，解得：yxyxy。(三)1可微的周期函数其导数(A )A一定仍是周期函数，且周期相同 B一定仍是周期函数，但周期不一定相同 C一定不是周期函数 D不一定是周期函数 2若 xf为ll,内的可导奇函数，则 xf(B )A必有ll,内的奇
15、函数 B必为ll,内的偶函数 C必为ll,内的非奇非偶函数 D可能为奇函数，也可能为偶函数 3设 xxxfn1sin(0 x)且 00 f，则 xf在0 x处(C )A令当 001sinlimlim00fxxxfnxx时才可微 B在任何条件下都可微 C当且仅当2n时才可微 D因为x1sin在0 x处无定义，所以不可微 4设 xaxxf，而 x在ax 处连续但不可导，则 xf在ax 处(C )A连续但不可导 B可能可导，也可能不可导 C仅有一阶导数 D可能有二阶导数 5若 xf为可微分函数，当0 x时，则在点x处的dyy 是关于x的(A )A高阶无穷小 B等价无穷小 C低价无穷小 D不可比较 6
16、函数 xfy 在某点处有增量2.0 x，对应的函数增量的主部等于0.8，则 xf(C )11 A4 B0.16 C4 D1.6 72)1(21lncos1lim20 xxedxcxbatgx，其中022ca，则必有(D )Adb4 Bdb4 Cca4 Dca4 8设21lnlim220 xbxaxxx，则(A )A1a，25b B0a，2b C0a，25b D1a，2b 9设 1,1,3223xxxxxf则 xf在点1x处的(B )A左、右导数都存在 B左导数存在，但右导数不存在 C左导数不存在，但右导数存在 D左、右导数都不存在 10设 xf在,内可导，且对任意1x，2x，当21xx 时，都
17、有 21xfxf，则(D )A对任意x，0 xf B对任意x，0 xf C函数xf 单调增加 D函数xf 单调增加 11设 xf可导，xxfxFsin1，若使 xF在0 x处可导，则必有(A )A 00 f B 00 f C 000 ff D 000 ff 12设当0 x时，12bxaxex是比2x高阶的无穷小，则(A )A21a，1b B1a，1b C21a，1b D1a，1b 13 设函数 xf在区间,内有定义，若当,x时，恒有 2xxf，则0 x是 xf的(C )12 A间断点 B连续而不可导点 C可导的点，且 00 f D可导的点，且 00 f 14设0 x时，xtgxee与nx是同阶
18、无穷小，则n为(C )A1 B2 C3 D4 15函数 xxxxxf322不可导点的个数是(B )A3 B2 C1 D0 16 已知函数 xyy 在任意点x处的增量21xxyy且当0 x时，是x的高阶无穷小，0y，则1y(D )A2 B C4e D4e 17 设 0,0,cos12xxgxxxxf其中 xg是有界函数，则 xf在0 x处(D )A极限不存在 B极限存在，但不连续 C连续，但不可导 D可导 18在区间,内，方程0cos2141xxx(C )A无实根 B有且仅有一个实根 C有且仅有两个实根 D有无穷多个实根 19mtytxln，则mdxdyt1，2n时，!111111nnmmmdx
19、ydnxnn。20若 xf是可导函数，且 1sinsin2xxf，40 f，则 xf的反函数 yx当自变量取4 时的导数值为1sinsin12。21若 xf在ex 点处且有连续的一阶导数，且 12eef，则xxefdxdcos0lim 1 。22 设 xgxxf1331，其中 xg在点1x处连续，且61 g，则1f 1996 。13 23设 1,01,11cos1xxxxxfa则当a的值为 0 时，xf在1x处连续，当a的值为 2 时，xf在1x可导。24已知22xexy 则 04y 24 ，05y 0 。25若 xxxf2cos2，则 010f 22940 。26 0,0,2sin2xaxx
20、exxfax，在,上连续，则a -2 。27xxxsin2031lim6e。28设 xxy1sincos22，则 y xxxxxx2sincos11sinsin22222。29曲线321tytx在2t处的切线方程为538xy。30设82limxxaxax，则02xaxax2ln。31设322xexy，则0 xy31。32设211lnxxy，则 0 xy222211121xxx。3320211limxxxx41。34xtgxxx11lim2031。35曲线teytexttcos2sin在点(0,1)处的法线方程为021xy。36设函数 xyy 由方程xyxyxsinln32确定，则0 xdxdy
21、 1。14 37xxxx11lnsin31lnsinlim 3 。38设 xfyln且 xf 存在，求22dxyd。解：xfxfy1，xfxfxfxfy221 。39 xyy 是由方程组01sin3232ytettxy所确定的隐函数，求022dxyd。解：26 xxt，即01sin ytey两边对x求导 0cossintyxyytetye，得：teteyyytsin1cos 20ttx，eytt0，（0t时1y）。26sin1costtetexydxdyyytt，0022ttdtdxdtdxdyddxyd 032sin26sin1sin1626cossin26sin1sincostytyyyt
22、yyytytteetettetyettetetye442ee。40设tftf tytfx，其中tf具有二阶导数，且0 tf，求22dxyd。解：ttftftfttftftftf tdxdytt tftftdxydtt 122。41 设yxfy，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求22dxyd。解：对方程yxfy两边求导得：yyxfy1 15 yxfyxfy21，再求导 21111yxfyxfyyxfyxfyyxfy 211yxfyyxf 31yxfyxf。42设 xxf111，且 xfxg111，计算 xf 和 xg。解：xxxf1，xfxfxg1 221111xxxxxf，211xf
23、xfxfxfxfxg 222212111111xxxxxfxf 43设 xfxfxg，求 xg。解：xfxfxfxfxfeexgxfxfxxf1lnlnln 1lnxfxfxfxf。44若223yxy，求22dxyd。解：两边对x求导得：02322yxxyyy，解得：2232xyxyy，再求导得02236222 yxyxyyyyy，解 得：222264xyxyyyyxy(其 中 16 2232xyxyy)45验证函数xxeey满足关系式04121 yyyx。证：xxxxeexxexey 212121 xxxxeexeexy 41413 yyyx4121 xxxxxxeexeexeexx2121
24、41413 xxeex41 0 46设曲线C的参数方程是2tttteeyeex，求曲线C上对应于2lnt的点的切线方程。解：2lnt时，232122ln2lneex，42521222ln2lneey，tttttttteeeeeeeedxdy22 故切线的斜率3212222ln2ln2lneedxdykt，于是所求的切线方程为：233425xy。47设 002,xxbaxxxxxf若若，为了使函数 xf于点0 xx 处连续而且可微，应当如何选取系数a和b？解：由 xf在点0 xx 处连续可知 xfxfxxxx00limlim，得baxx020，0 xx 时，00,2xxaxxxxf，由 xf在
25、点0 xx 处 可 导 得：17 xfxfxxxx00limlim，得ax 02，代入可得：2020200202xxxaxxb，故02xa，20 xb。48设 00,xxbaxxxxfxF若若，其中函数 xf在0 xx 为左方可微分的，应当如何选取系数a和b，使函数 xF在点0 x处连续且可微分。解：由 xF在点0 x处连续可知，xFxFxxxx00limlim得，baxxf00，由 xF在0 xx 为左方可微知 0 xf存在。0 xx 时，axF，从而使 xF在点0 x处可微，需 axf0，代入可得 000 xfxxfb。49设42ln21cos2sin2xtgxxy，求dy。解：dxxtg
26、xxdy421ln21cos2sin2 dxxxctgxxxx42cos214221cos4sincos4cos22423 xdxdxxxx332seccos21cos2sin1 50设 2122cos21coscostuduuttytx，求dxdy，222tdxyd。解：ttttttttttxydxdytt2sin2cos212sincos22222 21221sin21222222ttttttxtdxyd 51求极限xxxxxxsin114lim22。18 解：原式22222sin111114limsin114limtttttttttttxxx 12112 52设 xf满足 xcxbfxaf1，其中a、b、c都是常数，且ba (1)证明 xfxf 证：01xcxbfxaf cxxbfxaf1 a-b得：bcxxacxfba22 xbabxaxf222 显然有 xfxf或 xfxf(2)求 xf，xf 解：bxabacxbxabacxf222222 3222xbaacxf 53设函数 2 ,161221 ,1,2132xxxxxxxf，(1)写出 xf的反函数 xg的表达式；19 8 ,121681 ,1,213xxxxxxxg(2)xg是否有间点、不可导点，若有指出这些点。解：无间断点，但在点1x和8x处不可导。