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1、 范文 范例 学习 指导 word 整理版 第二章 导数与微分 一 导数（一）导数的概念（见2.1）内容要求（）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。（）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。基本题型（）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题 4 分）（1）0)(C （2）21)1(xx （3）xx21)(（4）xxsin)(cos （5）aaaxxln)(（6）1)(xx（）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2（6 分）求xyln在)0,1(点处的切线方程及法线方程
2、。解：xy1，1)1(ky，所以 切线方程为1 xy 法线方程为1xy 3（6 分）求xxy 在)1,1(点处的切线方程。解：43xy，4143xy，43)1(ky 切线方程为1)1(43xy，即4143xy（）科技中一些量变化率的导数表示 4填空题（每题 4 分）（1）若物体的温度T与时间t的函数关系为)(tTT，则该物体的温度随时间的变化速度为 )(tT（2）若某地区t时刻的人口数为)(tN，则该地区人口变化速度为 )(tN 疑难题型（）分段函数在分段点处的导数计算 5.讨论下列函数在0 x处的连续性与可导性 （1）（7 分）|sin|xy 范文 范例 学习 指导 word 整理版 解：在
3、0 x处连续但不可导（2）（7 分）0,00,1sinxxxxy 解：0)0(lim0fyx xxxxxx1sinlim01sinlim00不存在，所以)(xf在0 x处连续但不可导 6（8 分）已知：0,0,)(2xxxxxf，求).(),0(),0(),0(xffff 解：)0(f=10lim)0()0(lim00 xxxfxfxx )0(f00lim)0()0(lim200 xxxfxfxx，不存在)0(f 0,10,2xxxxf）（）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7（7 分）设1)0(,0)0(ff，求xxfxfx)3()2(lim0 解：xxfxfx)3()2(lim0=
4、xfxffxfx)0()3()0()2(lim0 =xfxfx)0()2(lim0+xfxfx)0()3(lim0 =)0(2 f5)0(3f 8（7 分）对任取的yx,，总有)()()(yfxfyxf，且)(xf在0 x处可导，求证：)(xf在),(上处处可导。解：)()()(yfxfyxf，取0 yx 0)0(f x)x(f)x(f)x(flimx)x(f)xx(flim)x(fxx00)0()0()(lim0fxfxfx 即)(xf在),(上处处可导。范文 范例 学习 指导 word 整理版 （二）初等函数求导（见 A 2.2,2.3）；（B 2.2）内容要求（）记忆基本导数表，掌握四则
5、求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。（）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数 n 阶导数的一般表达式。基本题型（）初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9.求下列函数的一阶导数（每题 4 分）（1）22xyx，xxyxx1222ln2 （2）xeyxcos3 )sin(cos3xxeyx （3）xxyln xxxxxxxxy2ln22ln，（4）xxyarccosarcsin 22222)(arccos1arccosarcsin)(arccos1arcsin11.arccosxxxxxxxxxy 22)(arccos12xx（5）22xy 2ln222ln212
6、2xxyxx（6）xeyx6cos2 )6sin126(cos212xxeyx（7）11arctanxxy 11)1()1()1()11(11222xxxxxxy （8）)ln(22axxy，2222221)1(1axaxxaxxy 10.求下列函数在给定点处的函数值（每题 6 分）（1）cos21sin，求4dd 解：sin21cossinddsin21cos 范文 范例 学习 指导 word 整理版 4dd)2(824282（2）xxy，求).1(y 解：xxxxxxxy4122211，823)1(y（3）|sin|11|sin|11xxy，求).3(y 解：)2,0(x，xxxy2sec
7、2sin11sin11 xxytansec42，3163tan3sec4)3(2y（4）)tanln(secxxy，求).6(y 解：xxxxxxysec)sectan(sectansec12 3326sec)6(y 11.求下列函数的二阶导数（每题 7 分）（1）xxyln1 12xxy，232xxy （2）xytan xy2sec，xxytansec22（3）xeyx2 2222xexeyxx，322)244(xxxeyx（4）)ln(22axy 222axxy，222222)ax()xa(y（5）xxy11ln 111111212xxxy 22)1(2xxy （6）)ln(22axxy，
8、221axy，2322)(axxy 范文 范例 学习 指导 word 整理版 提高题型（）有关抽象函数的求导问题 12（7分）设 函 数)(xf和)(xg可 导，且0)()(22xgxf，试 求：.)()(22xgxfdxd 解：2222.)()(gfggffxgxfdxd 13（7 分）设)(xf二阶可导，设)(cos)(sin22xfxfy，求).(),(xyxy 解：)(cos2sin)(sin2sin)(22xxfxxfxy=)(cos)(sin2sin22xfxfx)(cos)(sin2sin)(cos)(sin2cos2)(22222xfxfxxfxfxxy 14（7 分）试从yd
9、ydx1导出：.)(322yydyxd 解：3222)(1.)()1()1()(yyyyydxdyyydyddydxdyddyxdx （）有关 n 阶导数的计算题型（自学）15.求下列函数 n 阶导数的一般表达式（每题 7 分）（1）axy1 1)()(!)1(nnnaxny （2）3212xxy )(ny)1()1()1()3(!)1(41nnnxxn)1131(41)(xxxy，22)1)(1()3)(1(41)(xxxy )(xy33)1)(2)(1()3)(2)(1(41xx )(xy44)1()3()3)(2)(1(41xx（3）)1ln(xy nnnxny)1()!1()1(1)(
10、（4）)2cos1(21sin2xxy)22cos(21)(nxynn（5）xxey xnenxy)()(（二）隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题（A 见2.4）；（B 见2.3）内容要求 范文 范例 学习 指导 word 整理版 （）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。（）学会对数求导法。*（）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。基本题型（）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题 16.求由下列方程所确定的隐函数)(xyy 的导数dxdy：（1）（7 分）0333axyyx 解：0)(33322xyyayyx，axyxayaxy
11、xayy22223333（2）（7 分）yxey1 解：yxeeyyy，21yexeeyyyy 17（7 分）求曲线323232ayx在点)42,42(aa处的切线方程及法线方程。解：方程求导得：032323131yyx，3xyy，1k 切线方程为 axy22,法线方程为 xy 18（7 分）设xxxy)1(，求.dxdy 解：xxxy1lnln，xxxyy11)1ln(ln=xxx)1(xxx111ln 19求下列参数方程所确定的函数的导数.dxdy（1）（7 分）cos)sin1(yx 解：sincosddy，cossin1ddx cossin1sincosdxdy（2）（7 分）ttyt
12、xarctan)1ln(2 范文 范例 学习 指导 word 整理版 解：2221111tttdtdy，212ttdtdx 222tttdxdy 20（7 分）求曲线teytexttcos2sin2在点)1,0(处的切线方程及法线方程。解：tetedtdyttsincos222，ttedtdxt2cos22sin ttttdxdy2cos22sinsincos2，0,1,0tyx，122dxdyk 切线方程为01 yx 法线方程为 01 yx 综合应用题型（）有关变化率及*相关变化率的实际问题 21（8 分）设质点的位移函数0,5.123ttttS，其中t和S的单位为s和m，问：（1）何时质点
13、达到sm5的速度？（2）求st3时，质点运动的加速度。解：（1）)2(151332ttttdtds （2）213ta)/(2sm 22（8 分）在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为202.05tm，其中t的单位为h，求h1后葡萄糖量的变化率。解：04.004.011tttdtdm 23（8 分）在温度不变的条件下，压缩气体的体积与压强之间的关系为CpV，求体积关于压强的变化率。解；2CpdpdvpCv*24（8 分）设一球状雪球正在融化，其体积以min13cm的速率减小，问雪球直径为cm10时，直径的减小率为多少？范文 范例 学习 指导 word 整理版 解：23261ttDDVDV )min(5
14、01102110102cmDDDtDt*25（8 分）设 12：00 时甲船位于乙船西km100处，甲船以hkm35的速度向南航行，而乙船以hkm25的速度向北航行，求 16：00 时两船距离的增加率。解：./4.55)60(100260602,)60(100422422hkmttStStt*26（8 分）一架巡逻直升机在距地面km3的高度以hkm120的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为km5，并且此距离以hkm160的速率减少，试求出汽车行进的速度。解：9)41204(2ttS，1609)1204()120)(1204(
15、020ttvttvvttS 即 )/(80160)120(54hkmvv 提高题型（）涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型 27（7 分）设)tan(yxy确定了)(xyy，求).(xy 解：)1)(sec2yyxy，)(sin12yxy )cot()(csc2)(2yxyxxy)(cot)(csc2)1(32yxyxy 28（7 分）设tytxarctan)1ln(2，求.22dxyd 解：211tdtdy，212ttdtdx，tdxdy21 322222411221)(tttttydxddxyd 29（7 分）设52arctan2tetyytx确定了)(xyy，求).0(y 范文
16、范例 学习 指导 word 整理版 解：（1）211txt，yteyyetyyyyttttt220)2(222)2,0,0(23)0()1(2)1)(22ytxyytteyxydxdyttt（2）0)2)(222(22ttttttetyyytyyyyy ttteytyytyy2)(24)22(211)1(2)(24020ttttyteytyyy，代入公式得 211)0(y 30（7 分）设)(xyy 由方程yyfexe)(所确定，其中f二阶可导，且1 f，求.22dxyd 解：yyfx)(ln，22).()(1).(1yyyfyyfxyyyfx )(11yfxy，)(1)(11)(222yfy
17、fxyfxy )(1)(11)()(1)(122222yfyfxyfyfxyf 322)(1)(1)(yfxyfyf 31（7 分）设)()()(tftf tytfx，且0)(tf，求.22dxyd 解：)()()()(ttftfttftfdtdy，)(tfdtdx tdxdy，)(1)(22tfydxddxyd 二 微分（A 见2.5）；（B 见2.4）内容要求 （）理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。（）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。范文 范例 学习 指导 word 整理版 （）自学微分在近似计算中的应用。基本题型 （）求函数的微分题型 32.求下列函数的
18、微分 （1）（5 分）xxy1sin dxxxxxxdy)1cos11sin21(2（2）（5 分）)3cos(xeyx dxxxedyx)3sin()3cos(（3）（5 分）12xxy，dxxxxxdxydy2222111 dxx232)1(1 33.在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立（每空 3 分）（1）dxxCxd234)34(（2）xdxCxdsin)cos(（3）dxxCxd11)1(ln(（4）dxeCedxx22)21(34.填空（每空 3 分）（1）xd ln x xd1 （2）211xd 212xx xd arctan 提高题型 （）涉及微分在近似计算中的应用
19、题型（自学）35（7 分）计算球体体积时，要求精确度在 2%以内，问这时测量直径 D 的相对误差不能超过多少？解：336134DrV，则DVVVVDD3 DVVD31，oooDooVVD67.623131 36（7 分）已知单摆的振动周期glT2，其中2980scmg，l为摆长)(cm，设原摆长为cm20，为使周期T增大s05.0，摆长约需加长多少？范文 范例 学习 指导 word 整理版 解：)(232.2,2,4222cmTlgTlgTltlT 第二章 导数与微分计算测试题 一、选择题（74 分）1 函数)(xfy 在0 x处连续是)(xfy 在0 x处可导的-（B）A 充分但非必要条件
20、B 必要但非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充也不必要条件 2 设xxf1cos)(，则)1(f-（C ）A 2 B 2 C 0 D 1 3 设xexf)2(，则)(xf-（A ）A 2xe B 2xe C 2xe D 2xe 4 设yxyln，则 y-（C ）A y11 B y11 C yy1 D yy1 5 设xysin，则 y-（C）A xsin B xcos C xsin D xcos 6 设xxfarctan)(，则xfxfx)1()1(lim0-（C）A 1 B 1 C 21 D 21 7 若函数0,sin0,)(2xxxxxf，则在0 x处-范文 范例 学习 指导 word
21、 整理版 （D ）A 导数为0 B 导数为1 C 导数为2 D 导数不存在 二、填空题（34 分）1曲线1sin3xeyx在点)2,0(处的切线方程为 22 xy 212xd 221xx xd ln 3设xxxf2)(，则)(xf)2ln2(2xxx .三、计算题（47 分）1设)tanln(secxxy，求.y 解：xxxxxxysec)sectan(sectansec12,xxytansec 2设)(xyy 由01lnyxy所确定，求).0(y 解：eyx,0，0yyxyy，.2ey 3（1）设taytax33sincos，求.dxdy （2）tteyex23 求.dxdy （3）22ln
22、arctanyxxy 求.dxdy 解：（1）tdxdytan （2）tedtdy 2，tedtdx3，tedxdy232 （3）2222221.)(11yxyyxxyxyxy 222222.yyxxyyxyxyyxxyxyyxx )1()(2yxyxy 范文 范例 学习 指导 word 整理版 )()1(2yxyxy 4设)(xf在),(上可导，且)1()1()(22xfxfxF，求).1()1(FF 解：)1(22).1()(22xxfxxfxF 0)0(2)0(2)1(ffF，0)0(2)0(2)1(ffF 0)1()1(FF 四、（9 分）设)(xyy 是由方程1sinyxey所确定的
23、隐函数，求函数曲线)(xyy 在点)0,1(M处的切线方程及法线方程。解：0cosyxeeyyyy，21)1(y 切线方程为 )1(21xy 法线方程为 )1(2xy 五、（8 分）设)2005()2)(1()(xxxxxf，求).0(f 解：)2004()1()2005()2()2005()1()(xxxxxxxxxf!2005)2005()2)(1()0(f 另解：xfxffx)0()(lim)0(02005)2005()1(lim0 xxxxx！*六、（8 分）一探照灯距公路最近点 A 处 500 m，照到一辆汽车正经过 A 点，若汽车以 60 km/h 的速度向前行驶，要使探照灯跟踪该
24、汽车（如图），问当汽车距探照灯 1000 m 时，探照灯转动的角速度是多少？A 公路 60000t 汽车 500 1000 探照灯 范文 范例 学习 指导 word 整理版 解：,)120(1120,120arctan50060000arctan2tttt 当1000)60000(50022tS时，1203t，故)/(301203hradtt 七、（7 分）（两题中任选作一题）（1）讨论函数0,00,1)(1xxexxfx在0 x点的连续性及可微性。解：01lim)(lim100 xxxexxf，01lim)(lim100 xxxexxf 所以)(xf在点0 x处连续，111lim)0(10hhef，01lim)0(10hehfhh 因而在点0 x处不可微。（2）设函数)(tf在1t点处具有连续的一阶导数，且2)1(f，求)(coslim0 xfdxdx。解：xxxfxfdxd21).sin)(cos)(cos )2sin()(coslim)(coslim00 xxxfxfdxdxx 1)21()1(f