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1、三角函数的图象与性质及其应用(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)1.设函数 f(x)=cos(2x-)，xR，则 f(x)是()A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数【解析】选 B.因为 f(x)=cos(2x-)=cos(-2x)=-cos2x，所以 f(x)是最小正周期为的偶函数.【补偿训练】下列函数中，最小正周期为的是()A.y=sin B.y=tan C.y=cos D.y=tan【解析】选 B.A，C 最小正周期为，B 最小正周期为，D 最小正周期为.2.(2015朔州高一检测)函数 y=s
2、in的单调增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选 C.y=sin=-sin，由 2k+2x-2k+，kZ，解得 k+xk+，kZ，所以函数 y=sin的单调增区间是，kZ.3.把函数 f(x)=sin的图象向右平移个单位可以得到函数 g(x)的图象，则 g等于()A.-B.C.-1 D.1【解析】选 D.函数 f(x)=sin的图象向右平移个单位，可以得到函数 g(x)=f的图象，所以 g(x)=sin=sin(-2x+)=sin2x，所以 g=sin=1.【补偿训练】将函数 y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平
3、移个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A.y=sin B.y=sin C.y=sin x D.y=sin【解析】选 D.将函数 y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到y=sin，再将所得图象向左平移个单位，得到 y=sin=sin的图象.4.(2015重庆高一检测)已知函数 f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是()A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin【解析】选 B.由图象知 A=2，=4=2，故=1，所以 f(x)=2sin(x+)，把 x=，y=-2 代入上式得-2
4、=2sin，故 sin=-1，所以+=2k+，kZ，=2k+，kZ，又 00 时，f(x)=cos3x-sin2x，则当 x0 时，f(x)的表达式为_.【解析】当 x0，因为 x0 时 f(x)=cos3x-sin2x，所以 f(-x)=cos3(-x)-sin2(-x)=cos3x+sin2x，又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)=-f(-x)=-cos3x-sin2x.答案：f(x)=-cos3x-sin2x 9.已知函数 g(x)=2sin+1，当 x时方程 g(x)=m 恰有两个不同的实根 x1，x2，则x1+x2=_.【解析】由 g=2sin+1=3 知函数 g
5、(x)的一条对称轴为 x=，又，所以有=，所以 x1+x2=.答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)10.(2015北京高一检测)已知函数 f(x)=2sin.(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在一个周期上的图象(先列表，再画图).(2)求 f(x)的单调增区间.(3)求 f(x)在上的取值范围.【解析】(1)函数 f(x)=2sin的周期 T=3，列表如下：x+0 2 x-2 f(x)0 2 0-2 0 描点画图如图所示.(2)函数 y=sinx 的单调递增区间为2k-，2k+(kZ).由 2k-x+2k+(kZ)，得 3k-1x3k+(kZ).所以 f(x)的单调增区间为(
6、kZ).(3)因为 x，所以x+，所以 sin 所以 2sin-1，2，即 f(x)在上的取值范围是-1，2.【补偿训练】已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0，0，|，xR)图象的一部分如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式.(2)将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位，得函数 g(x)的图象.当 x时，求函数 y=g(x)的最大值与最小值及相应的 x 的值.【解析】(1)由图象知 A=2，T=8，因为 T=8，所以=.又图象过点(-1，0)，所以 2sin=0.因为|0，0，0 的 x 的集合.(3)函数 f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到？【解析】
7、(1)由函数图象可知函数的最大值为 A+c=4，最小值为-A+c=-2，所以 c=1，A=3，因为 T=12-4=8，所以函数的周期 T=.由=得，=，所以 y=3sin+1，因为(12，4)在函数图象上，所以 4=3sin+1，即 sin=1，所以+=+2k，kZ，得=-+2k，kZ，因为 0，所以 3sin+1.解得 x(kZ).所以 f(x)的 x 的集合为(-+k，+k)(kZ).(3)先将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后将所得图象横坐标伸长到原来的倍，然后，再将所得图象纵坐标伸长到原来的 3 倍，然后，再将所得函数图象上所有各点图象向上平移 1 个单位，即得所求函数的图象.