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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第二课三角函数的图象与性质及其应用 核心速填 1三角函数的性质(1)正 弦 函 数：定 义 域 为R，值 域 为 1,1，奇 函 数，单 调 增 区 间：22k，22k(kZ)；单调减区间：22k，322k(kZ)(2)余弦函数：定义域为R，值域为 1,1，偶函数，单调增区间：2k，2k(kZ)；单调减区间：2k，2k(3)正切函数：定义域为xx2k，kZ；值域为 R，奇函数，单调增区间：2k，2k2函数yAsin(x)的图象及简单应用A，对函数yAsin(x)图象的影响(1)对ysin(x)，x R的图象的影响：(2)(0)对y sin
2、(x)的图象的影响：(3)A(A0)对yAsin(x)的图象的影响：体系构建 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题型探究 三角函数图象的画法和解析式的确定(1)函数ytan12x3在一个周期内的图象是()(2)已知函数f(x)Asin(x)其中xR，A0，0，|2的部分图象如图 1-3 所示小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图 1-3求f(x)的解析式；请写出g(x)f x3的表达式，并求出函数yg(x)的图象的对称轴和对称中心.【导学号：84352150】(1)A(1)ytan12x3的周期T122，排除 B，D 当x0 时，tan 33.故选
3、A.(2)由图可知A3，T47123，T?2，f(x)3sin(2x)，232，6，f(x)3sin2x6.由(1)知g(x)fx33sin2x36 3sin2x2 3cos 2x，令 2xk(kZ)，所求的对称轴为直线xk2(kZ)，令 2x2k(k Z)，xk24(kZ)，所求的对称中心为k24，0(kZ)规律方法 五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线ysin x的图象的对称轴方程为xk 2，kZ，对称中心为k，kZ，ycos x的图象的对称轴方程为xk，k Z，对称中心为k2，0，k Z，ytan x的图象的对称中心
4、为k2，0，kZ由已知条件确定函数yAx的解析式，需要确定A，其中A，易求，下面介绍求 的几种方法平衡点法由yAxAsinx知它的平衡点的横坐标为，所以我们可小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1 f(,)，则可求 确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程利用单调性将函数yAx的图象与ysin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出.跟踪训练 1已知函数yAsin(x)(0)的振幅为4，周期为6，初相为3.(1)写出这个函数的解析式；(2)用“五点法”在所
5、给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象 解(1)由已知得A4，2T13，3，因此这个函数的解析式为y4sin13x3.(2)列表：x 524112713x302322y4sin13x304040 描点画图，其图象如图所示：三角函数的图象变换问题(1)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C把C1上各
6、点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2(2)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为()A2B4C0 D4(1)D(2)B(1)因为ysin2x23cos 2x232cos 2x6，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移12个单位长度，得到曲线ycos 2x12cos 2x6.故选 D.(
7、2)ysin(2x)的图象沿x轴向左平移8个单位后得ysin2x8 sin2x4.若该函数为偶函数，则4k2，kZ，故 k4.当k0 时 4.故选 B.规律方法 1函数y sin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2对称变换(1)yf(x)的图象 关于x轴对称yf(x)的图象(2)yf(x)的图象 关于y轴对称yf(x)的图象(3)yf(x)的图象 关于，对称yf(x)的图象 跟踪训练 2将函数y2sin2x6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()【导学号：84352151】Ay2sin2x4By2sin2x
8、3Cy2sin2x4Dy2sin2x3D 函数y2sin2x6的周期为，将函数y2sin2x6的图象向右平移14个周期即4个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2x462sin2x3，故选小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学D.三角函数的性质(1)若函数f(x)3sin(2x)(0 0)是偶函数，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A.0，2B.2，C.4，2D.34，(2)已知函数f(x)2sin2x6a1(其中a为常数)求f(x)的单调区间；若x 0，2时，f(x)的最大值为4，求a的值.【导学号：84352152】思路探究(1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再
9、依据单调性求增区间，最后与 0，求交集(2)由 2k22x62k 2，kZ求增区间由 2k22x62k32，kZ 求减区间先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值(1)B(1)因为函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，所以 2，f(x)3sin2x23cos 2x，令 2k 2x2k，得k2xk，可得函数f(x)的增区间为k2，k，kZ，所以f(x)在 0，上的单调递增区间为2，.(2)由22k2x622k，kZ，解得3kx6k，kZ，函数f(x)的单调增区间为3k，6k(kZ)，由22k2x6322k，k Z，解得6kx23k，kZ，函数f(x)的单调减区间为6k，23k(kZ
10、)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学0 x2，62x676，12sin2x61，f(x)的最大值为2a14，a1.母题探究：1.求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合 解当f(x)取最大值时，2x62 2k，2x32k，x6k，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是x x6k，kZ.2在本例(2)的条件下，求不等式f(x)1 的解集 解由f(x)1 得 2sin2x621，所以 sin2x612所以 2k562x62k6，k Z.解得k2xk6，kZ.所以不等式f(x)1 的解集为x k2xk6，kZ.三角函数的实际应用(1)如图1-4，某港口一天6
11、 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y3sin6x k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 _图 1-4(2)如图 1-5，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率.【导学号：84352153】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图 1-5(1)8(1)根据图象得函数最小值为2，有 3k2，k5，最大值为3k8.(2)当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为t，则POxt.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为yrsin(t)
12、，即为所求的函数关系式，点P的运动周期为T2，频率为f1T2.规律方法 三角函数模型构建的步骤收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象制作散点图，选择函数模型进行拟合利用三角函数模型解决实际问题根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.跟踪训练 3某地昆虫种群数量在七月份113 日的变化如图1-6 所示，且满足yAsin(x)b(0，0)根据图中数据求函数解析式图 1-6 解由图象可知ymax900，ymin700，且Abymax，Abymin，所以Aymaxymin29007002100，bymaxymin2 800，且T 122，所以 6，将(7,900)代入函数解析式得67 22k，kZ.所以 232k，k Z.因为 0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以 23，因此所求的函数解析式为：y100sin6x23800.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学END小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学END小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学END