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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届高三下学期 4 月调研文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知R为实数集，集合|(,1)(1,0)(1,)Ax x ，1|(1)()02Bxxx，则集合()RCAB为 A.10,1 B.10,2 C.1 1,2 D.1 10,2【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等
2、式得集合 B，再根据集合并集以及补集概念求结果.【详解】由(,1)(1,0)(1,)A ，1(,1)(,)2B ，所以AB 1(,1)(1,0)(,)2 ，所以 1()10,2RCAB ，故选 D【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决 (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图 2.已知复数211iabii（i是虚数单位，,a bR），则ab（）A.2 B.-1 C.0 D.2【答案】A【解析】努力
3、的你，未来可期!精品 分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：212 1222111112iiiiiiiiii ，结合题意可得：1abii ，即：1,1ab ，据此可得：2ab.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.将甲、乙两个篮球队 5 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A.甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙 B.甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C.甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D.甲乙
4、两队得分的极差相等【答案】C【解析】【分析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案【详解】26282931315x甲29；28293231305x乙30，xx甲乙，A错误；甲的中位数是 29，乙的中位数是 30，2930,B错误；甲的极差为 31265，乙的极差为 32284，54，D错误；排除可得 C 选项正确，故选C【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除努力的你，未来可期!精品 法的解题技巧，属于基础题.4.已知各项均为正数的等比数列 na的前n项和为.nS若12S，3S，2S成等差数列，则数列 na的公比为()A.13 B.1
5、2 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为(0)q q，运用等差中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得结果【详解】设各项均为正数的等比数列 na的公比设为q，因为12S，3S，2S成等差数列，所以可得31222SSS，即为211111122aa qa qaaa q，化为2210qq，解得12q 或1q (舍去),故选 B【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和等差中项性质，考查方程思想，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题 5.执行如图所示的程序框图，输出S的值为 努力的你，未来可期!精品 A.15 B.16 C.24 D.25【答案】B【解析】【分析】执行循环
6、，根据条件对应计算 S，直至5i 时结束循环,输出结果.【详解】进入循环，当1i 时，15，i为奇数，1S；当2i 时，25，i为偶数，1+23S；当3i 时，35，i为奇数，3+58S；当4i 时，45，i为偶数，8+816S；当5i 时，55，结束循环，输出16S.故选 B【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.已知直线20axy与圆2214xya相交于 两点，且线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦，
7、则实数a A.2 B.努力的你，未来可期!精品 C.1或 2 D.1【答案】D【解析】由题设可知直线20axy经过圆心(1,)Ca，所以2201aa，应选答案 D 7.函数 21xxf xe的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由于 fxf x所以函数不是偶函数，判处,C D选项当2x 时，23121e3f，排除B选项，故选A 点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像考查了特殊值法解选择题的技巧首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称然后利用特殊点来排除也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐
8、标为负数来选出正确选项 8.已知向量3,4a，2b，若5a b，则向量a与b的夹角为（）A.6 B.4 C.3 D.23【答案】D【解析】努力的你，未来可期!精品 由题可知：51cos102aba b，所以向量a与b的夹角为23 9.椭圆 C：22143xy的左右顶点分别为12,A A，点 P 在 C 上且直线2PA斜率的取值范围是 2,1，那么直线1PA斜率的取值范围是（）A.1 3,2 4 B.3 3,8 4 C.1,12 D.3,14【答案】B【解析】设 P 点坐标为00(,)xy，则2200143xy，2002PAykx，1002PAykx，于是122200222003334244PA
9、PAxykkxx，故123 14PAPAkk.2 2,1PAk 13 3,8 4PAk.故选 B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系 10.如图，已知三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，且1CC 底面ABC，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1AB和BM所成的角为()A.2 B.C.D.3【答案】A【解析】分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2，构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出 BM，利用勾股定理求出 A2M，从而求解 努力的你，未来可期!精品【详解】设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2（如图）平移 AB1至 A2B，连接 A2M，MBA2即为 AB1
10、与 BM 所成的角，在A2BM 中，22252()22aA BaBMaa，222313()22aA Maa，222222,2A BBMA MMBA，故选A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做 11.已知定义在 R 上的函数 f x满足 11f，且 12fx 恒成立，则不等式 22122xf x的解集为()A.,1 B.1,C.,11,D.1,1【答案】D【解析】令2tx，则 22122xf x，即为 122tf t，即 1022tf t 设 1122g xfxx，则 12gxfx，因为对于任意的xR，都有 12fx成立，所以对任意xR，都有 0g
11、x，所以 1122g xfxx为单调递增函数，且 1111022gf，所以 1022tf t 的解集为1t，即21x，即11x 所以不等式 22122xf x的解集为(1,1)，故选 D.点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解努力的你，未来可期!精品 答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.12.已知函数 sin
12、,03fxAxxR A，02，yf x的部分图像如图所示，,P Q分别为该图像的最高点和最低点，点PR垂x轴于R，R的坐标为1,0，若23PRQ，则 0f（）A.12 B.32 C.34 D.24【答案】B【解析】【详解】过Q作QHx轴，设(1,),(,)PA Q aA，由图象，得221)63a，即|1|3a，因为23PRQ，所以6HRQ，则3tan33AQRH，即3A，又(1,3)P是图象的最高点，所以12 32k，又因为02，所以6，则3(0)3sin62f.故选 B.第II卷 非选择题（共 90 分）努力的你，未来可期!精品 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、13.已知7cos,(,2)25 ，则sincos22 _【答案】15【解析】1 cos41 cos31(,)sin,cos,sincos22225225225 14.已知正数,x y满足2230 xxy，则2xy的最小值是_.【答案】3.【解析】试题分析：由题意得，232xyx，当且仅当1xy时，等号成立，故填：3.【考点】本题主要考查基本不等式求最值.15.已知双曲线22221xyab（0a，0)b）的左右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线的左支上，2PF与双曲线右支交于点Q，若1PFQ为等边三角形，则该双曲线的离心率是_【答案】7【解析】由双曲线的定义可得21212|2,|2PFPFQF
14、a QFQFa，1|4QFa 在12QFF中，由余弦定理得222121212|2|cos120FFQFQFQF QF，即222141642 42()2caaaa ，整理得227ca，解得7e 答案：7 努力的你，未来可期!精品 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,a b c的方程或不等式，利用222bca 和e=ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，边长为2cm，,E F G H都在圆O上，,ABEBCFCDGDAH分别是以,AB BC
15、CD DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,AB BC CD DA为折痕折起,ABEBCFCDGDAH，使得,E F G H重合，得到一个四棱锥，则该四棱锥体积为_3cm 【答案】8 23【解析】分析:利用折叠后的几何性质，确定四棱锥的高即可.详解:如图，连接 OF，与 BC 交于 I，正方形 ABCD 的边长为 2，则 OI=1，FI=4 13，则所得正四棱锥的高为22312 2，四棱锥的体积 V=42122 23=8 23，努力的你，未来可期!精品 故答案为8 23 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用
16、公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如表 1：该省某市 2016 年 11 月AQI指数频数分布如表 2：M 0,200 200,400 400,600 600,800 800,1000 频数 3 6 12 6 3 （1）设100Mx，根据表 1
17、的数据，求出y关于x的线性回归方程；（附参考公式：ybxa，其中1221niiiniix ynxybxnx，aybx）（2）小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与AQI指数由相关关系，如表 3：M 0,200 200,400 400,600 600,800 800,1000 努力的你，未来可期!精品 日均收入（元）2000 1000 2000 6000 8000 根据表 3 估计小李的洗车店该月份平均每天的收入【答案】(1)2141204yx (2)2400 元【解析】试题分析：首先根据表格数据计算44211,iiiiix yx yx，再计算b，a，求出回归直线方程；再根据表
18、 3 可知，该月 30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元，有 6 天每天亏损约 1000 元，有 12天每天收入约 2000 元，有 6 天每天收入约 6000 元，有 3 天每天收入约 8000 元，计算出该月份平均每天的收入.试题解析：（1）1973 154x ，10.53.56.59.54y 5，419 0.57 3.53 6.51 9.558iiix y ，42222219731140iix，2584 5 5211404 520b ，214155204 a，所以y关于x的线性回归方程为2141240yx （2）根据表 3 可知，该月 30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元，
19、有 6 天每天亏损约 1000 元，有 12 天每天收入约 2000 元，有 6 天每天收入约 6000 元，有 3 天每天收入约 8000 元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为120003 100062000 126000680003240030 元 18.已知数列na中，11a，112nnnnaaaa.（1）求数列na的通项公式；（2）若1nnnba a，求数列 nb前n项和nT.努力的你，未来可期!精品【答案】（1）121nan；（2）21nnTn.【解析】【详解】试题分析：(1)由递推公式可得：1na是公差为 2 的等差数列，据此有：121nan.（2）结合通项公式裂项有：1n
20、nnba a 1112 2121nn，据此可得21nnTn.试题解析：（1）由112nnnnaaaa可得1112nnaa，又由11a，1na是公差为 2 的等差数列，又111a，112121nnna，121nan.（2）112121nnnba ann 1112 2121nn，111111123352121nTnn 11122121nnn.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的 19.如图所示，三棱柱111ABCABC中，已知AB 侧面11BB C C，1ABBC，12BB，
21、160BCC （1）求证：1BC 平面ABC；（2）E是棱1CC上的一点，若三棱锥EABC的体积为312，求CE的长 努力的你，未来可期!精品【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】【分析】（1）推导出1ABBC，由余弦定理得13BC，由勾股定理得1BCBC，由此能证明1C B 平面ABC（2）由11313312EABCA EBCBCEBCEVVSABS，能求出1CE 【详解】（1）AB 平面11BB C C，1BC 平面11BBC C，1ABBC，在1CBC中，1BC，112CCBB，160BCC，由余弦定理得：2222211112cos122 1 2cos603BCBCCCBC CCB
22、CC ，解得13BC.22211BCBCCC，1BCBC，又BCABB，1C B平面ABC（2）AB 面11BB C C，11313312EABCA EBCBCEBCEVVSABS，31113(sin)422322BCESCE dCEBCCE，解得：1CE 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 20.已知函数2(2)2()xxa xaf xe，0a（e为自然对数的底数）.()讨论()f x的单调性；努力的你，未来可期!精品 ()当0 x 时，不等式()f x
23、e恒成立，求实数a的值.【答案】（）当0a 时，()f x在(,)上为减函数；当0a 时，则()f x在(,0,)a上为减函数；在,0a上为增函数；（）1a.【解析】试题分析：对函数求导，借助导数研究函数单调性，由于0a，对参数a进行分类讨论，根据 fx的符号说明函数的单调性；由于 1fe，由 10f ，可以求出1a，可知：f x在,1 上为减函数；f x在1,0上为增函数；满足 f xe，得出结论.试题解析：()xax xfxe，令 1200,fxxxa；0a 时，则 0fx（当且仅当0 x 时取等号）f x在,上为减函数；当0a 时，则 ,0,0 xafxf x 在,0,a上为减函数；,0
24、0 xafxf x在,0a上为增函数；()22211xxxa xfxfee，由于不等式 f xe恒成立，说明 f x的最小值为e，当1x 时，1fe 说明 101fa；下面验证：当1a 时，由()可知：f x在,1 上为减函数；f x在1,0上为增函数；当1x 时，f x有最小值 1fe，即有 f xe.故1a 适合题意.【点睛】利用导数研究函数的单调性首先求出函数的导数，令导数为零，解出x，划分区间研究导数的正负，给出单调区间和单调性，有参数要对参数分类进行讨论；不等式恒成立的基本解法是分离参数，利用极值原理解决，但本题提供最值并易于发现极值点，所以较简单一些.21.已知抛物线 C:22(0
25、)ypx p的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且54QFPQ.努力的你，未来可期!精品(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点，若 AB 的垂直平分线l与 C 相交于 M,N 两点，且 A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线 l 的方程.【答案】（1）24yx；（2）x-y-1=0 或 x+y-1=0.【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求Q点的坐标，再由54QFPQ及抛物线的焦半径公式列方程可求得p的值，从而可得抛物线 C 的方程；（2）由已知条件可知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的点参式方程：10 xm
26、ym，代入24yx消元得2440ymy设1122,A xyB xy由韦达定理及弦长公式表示AB的中点D的坐标及AB长，同理可得MN的中点E的坐标及MN的长由于MN垂直平分线AB，故,A M B N四点在同一圆上等价于12AEBEMN，由此列方程可求得m的值，进而可得直线l的方程 试题解析：（1）设0,4Q x，代入22ypx，得00888,.22ppxPQQFxppp由题设得85824ppp，解得2p （舍去）或2p，C 的方程为24yx；（2）由题设知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为10 xmym，代入24yx得2440ymy设1122,A xyB xy则124,yym 124y y 故A
27、B的中点为2221221,2,141DmmABmyym又l的斜率为,ml 的方程为2123xymm 将上式代入24yx，并整理得2244 230yymm设3344,M xyB xy则234344,4 23yyy ymm 故MN的中点为22234222412122123,1mmEmMNyymmmm 由于MN垂直平分线AB，故,A M B N四点在同一圆上等价于12AEBEMN，从努力的你，未来可期!精品 而22211,44ABDEMN即2222222244121224122mmmmmmm，化简得210m ，解得1m 或1m 所求直线l的方程为10 xy 或10 xy 考点：1抛物线的几何性质；2
28、抛物线方程的求法；3直线与抛物线的位置关系 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为3cos(2sinxy为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为4sin()6.（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；（2）若过点(2 2,)4A（极坐标）且倾斜角为3的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求APAMAN的值【答案】（1）曲线C的极坐标方程为2222cossin194；曲线D的直角坐标方程为2222 30 xyxy；（2）49 316.【解析】【分析】（1）由
29、曲线C的参数方程，利用三角函数的基本关系式，求得曲线C的普通方程，结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的极坐标方程和曲线D的直角坐标方程；（2）根据题意，求得直线l的参数方程为2cos3(2sin3xttyt为参数），代入曲线C的方程，结合一元二次方程根与系数的关系得121 2,tt t t，即可求解.努力的你，未来可期!精品【详解】（1）由题意，曲线C的参数方程为3cos(2sinxy为参数），即cos3(sin2xy为参数）平方相加，可得曲线C的普通方程为22194xy，将cossinxy代入曲线C的普通方程 可得曲线C的极坐标方程为2222cossin194，又由曲线D
30、的极坐标方程为4sin()6，所以2314sin()4(sincos)622，又由222,cos,sinxyxy 所以222 32xyyx，所以曲线C的极坐标方程为2222cossin194，曲线D的直角坐标方程为2222 30 xyxy.（2）由点(2 2,)4A，则2 2cos242 2sin24xy，即点A（2，2）因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为3，所以直线l的参数方程为2cos3(2sin3xttyt为参数），代入22194xy，可得231(8 18 3)1604tt，努力的你，未来可期!精品 设M，N对应的参数分别为12,t t，由一元二次方程根与系数的关系得121 23272
31、 364,3131ttt t，所以121 249 3216ttAPAMANt t.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.已知函数,1.f xxaa其中（I）=244;af xx当时，求不等式的解集（II）222|12,xfxaf xxx已知关于 的不等式的解集为.a求 的值【答案】（I）|15x xx或（II）3a 【解析】【详解】（I）解法一当 a=2 时，244xx，利用几何意义
32、可知表示数 x 到 2 与 4 的距离之和大于等于 4，又 2 和 4 之间的距离为 2，即数 x 可以 2 和 4 为标准分别向左或者向右移 1 各单位故，不等式的解集为|15x xx或（I）解法二当 a=2 时，26,2()42,2426,4xxf xxxxx 2()44264,1xf xxxxa当时，由得解得 22()44xf xx当时，由得无解，4()44264,5xf xxxx当时，由得解得 故，不等式的解集为|15x xx或 努力的你，未来可期!精品（II）令2,0()(2)2(),()42,02,a xh xfxaf xh xxaxaa xa则 由11()2.22aah xx解得，又知()2|12h xxx的解集为 所以1123122aaa于是解得 第一问的解法一主要运用了绝对值的几何意义，这种方法比较直观简单，解法二主要运用绝对值的意义进行分类讨论解决；第二问主要是含有字母 a,以 a 作为依据分为三段来解决，最后于所给的解集相等进而求得 a 的值【考点定位】本题考查绝对值不等式以及含有参数不等式的分类讨论 努力的你，未来可期!精品