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1、备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 1 专题 02 参数方程 知识通关 1曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数()()xf tyg t,并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数 2参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系,例如xf（t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg（t)，那么()()xf tyg t就是曲线的参数方
2、程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致(1）参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法；加减消元法;恒等式（三角的或代数的）消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参。如22sincos1等。（2)普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值。一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数；与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数；与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外，也常常用线段的长
3、度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3常见曲线的参数方程 普通方程 参数方程 过点M0(x0，y0),为直线的倾斜角的直线 yy0tan(xx0）00cossinxxtyyt（t为参数)备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 2 圆心在原点，半径为r的圆 x2y2r2 cossinxryr(为参数)中心在原点的椭圆 22221xyab（ab 0）cossinxayb（为参数)【注】(1）在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0)的距离（2）若圆心在点M0（x0，y0)，半径为R，则圆
4、的参数方程为00cossinxxRyyR(为参数）。（3)若椭圆的中心不在原点，而在点M0（x0,y0），相应的椭圆参数方程为00cossinxxatyybt（t为参数）.基础通关 1了解参数方程,了解参数的意义。2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.题组一 参数方程与普通方程的互化（1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数(2）把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形【例 1】已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数)（1）求直线l和圆C的普通
5、方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【解析】（1)直线l的普通方程为 2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216。(2）因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离|2|45ad,解得2错误!a2错误!。题组二 参数方程及其应用（1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 3 题（2）对于形如00 xxatyybt(t为参数）,当a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题 【例 2】已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt(t为参数）
6、。（1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值【解析】(1）曲线C的参数方程为错误!（为参数）直线l的普通方程为 2xy60.（2）曲线C上任意一点P（2cos，3sin)到l的距离为d554cos 3sin 6，则PA错误!2 55|5sin（)6|，其中为锐角，且 tan 错误!.当 sin(）1 时，|PA取得最大值，最大值为22 55.当 sin（)1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.故PA|的最大值与最小值分别为22 55,2 55。能力通关 1直线参数方程的应用：直线的标准参数方程主
7、要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M(x0，y0）的直线l交曲线C于A,B两点,若直线的参数方程为00cossinxxtyyt(t为参数），注意以下两个结论的应用：（1)AB|t1t2|；(2)MA|MB|t1t2|。备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 4 2圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为
8、普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解,可化繁为简 利用参数的几何意义解决问题【例 1】在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为1 cos1 sinxy （为参数）,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()16.（I）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；（II）若(0,1)P，且直线l与曲线C交于,M N两点，求222|+|(|)PMPNPMPN的值。【解析】(I)依题意,曲线C：22111xy，即222210 xyxy,故曲线C的极坐标
9、方程为22 cos2 sin10;因为直线l的极坐标方程为2cos()16，即3 cossin10,所以直线l的直角坐标方程为310 xy.坐标系与参数方程的综合问题【例 2】在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为cos3sinxy（为参数），以原点O为极点，x轴备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 5 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为cos()3 24（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；(2)已知点P在曲线1C上,点Q在曲线2C上，求|PQ的最小值及此时点P的直角坐标 （2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos,3sin),因为曲线
10、2C是直线,所以|PQ的最小值即点P到直线60 xy的距离的最小值，易得点P到直线60 xy的距离为|cos3sin6|2|sin()3|62d，当且仅当2()3kkZ时,d取得最小值，即|PQ取得最小值,最小值为2 2，此时点P的直角坐标为1 3(,)2 2【例 3】在平面直角坐标系中,曲线122cos:sinxCy（为参数)经伸缩变换2xxyy后的曲线为2C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1)求曲线2C的极坐标方程；（2）已知,A B是曲线2C上两点，且6AOB,求3OAOB的取值范围.【解析】（1）曲线122cos:sinxCy化为普通方程为：22214xy，备战
11、 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 6 由2xxyy得2xxyy，代入上式可知：曲线2C的方程为2211xy，即222xyx，曲线2C的极坐标方程为2cos。高考通关 1在平面直角坐标系xOy中,直线21:1xtlyt（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C：4cos。（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;（2）试判断直线l与曲线C是否相交,若相交，请求出弦长；若不相交,请说明理由.【解析】（1）由211xtyt 消去t得230 xy,所以直线l的普通方程为230 xy.由4cos两边同乘以得24 cos，因为222xy,cosx，所以
12、224xyx，配方得22(2)4xy，即曲线C的直角坐标方程为22(2)4xy。备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 7（2）法一：由（1)知，曲线:C22(2)4xy的圆心为)0,2(，半径为 2，由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230 xy的距离|203|5255d,所以直线l与曲线C相交，设交点为A、B，所以|AB5952)55(2222。所以直线l与曲线C相交，其弦长为5952。法二：由（1）知，:l230 xy,:C22(2)4xy,联立方程，得4)2(03222yxyx，消去y得092252xx，因为0304954222，所以直线l与曲线C相交，设交点
13、坐标为),(11yxA，),(22yxB，由根与系数的关系知52221 xx，5921xx，所以5952594)522()21(1|22AB，所以直线l与曲线C相交,其弦长为5952.2在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为232212xtyt（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos6（1）求直线l的极坐标方程；(2）若射线=03与直线l交于点P,与曲线C交于点Q(Q与原点O不重合），求OQOP的值 备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 8【解析】(1）由232212xtyt 消去t得直线l的普通方程为40 xy,把cos
14、,sinxy,代入40 xy得直线l的极坐标方程为cossin4.（2)由题意可得，4813cossin33OP，2cos336OQ，所以OQOP=1333388.3已知在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为)3,1(，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin2cos44。（1）求点P的极坐标1(,)(02)及曲线C的参数方程;（2）过点P的直线l交曲线C于M，N两点，若|MN3，求直线l的直角坐标方程.【解析】(1）在平面直角坐标系xOy中，点P)3,1(是第一象限内的点,12,tan3且02，3，点P的极坐标为(2,)3.曲线C的极坐标方程为sin2cos44
15、，sin2cos442，由222,cos,sinxyxy得yxyx24422，曲线C的直角坐标方程为042422yxyx，即1)1()2(22yx，曲线C的参数方程为2cos1 sinxy(为参数）。（2）显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为)1(3xky,即03kykx,备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 9|MN3，圆C的半径为 1，圆C的圆心(2,1)到直线l的距离为21，2|13|121kk，化简得03815)13(832kk,解得3k或3358k,直线l的直角坐标方程为0323 yx或(85 3)38 380 xy。4已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与
16、x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为31sin()62（1)求直线l的参数方程;（2)设l与曲线2cos(sinxy为参数）相交于A，B两点,求点()1,1P到A，B两点的距离之积（2）易得2cos(sinxy为参数）的普通方程为2244xy，点()1,1P在直线l上,把直线312112xtyt 代入2244xy可得2231(1)4(1)422tt，即27(43)104tt，显然1 247t t，故点()1,1P到A，B两点的距离之积为47 5在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为123xtyt（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D的极坐标方程为(1sin)2.备战 2019 高考数学 选择题 专题 02 参数方程 文 10（）求曲线C的普通方程与曲线D的直角坐标方程；（）若曲线C与曲线D交于,M N两点，求|MN.【解析】(）消掉参数t，得曲线C的普通方程为32yx,即230 xy.曲线D的方程可化为：sin2，显然0，所以化为直角坐标方程为222xyy，化简得244xy。方法二：将曲线C的参数方程化为552 535xmym（m为参数），并代入曲线D的直角坐标方程,得252 5()44(3)55mm,整理得2+8 5400mm.由求根公式解得21,28 5(8 5)4 404 52 102 1m ，故12|4 10MNmm.