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1、备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 1 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 知识通关 1绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x|0 a=0 a0|xa x|aa x|xa或x0)和|ax+bc(c0）型不等式的解法：|ax+bccax+bc;ax+b|cax+bc或ax+b c.(3)x a+x b|c和|xa|+|x bc型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2绝对值三角不等式(1)定理 1：如果a，b是实数，
2、则a+b|a+|b，当且仅当ab0 时，等号成立.（2)定理 2：如果a,b，c是实数，那么|a c|a b|+bc|，当且仅当（a b）(b c)0 时,等号成立。（3）推论 1：|a b|a+b|.(4)推论 2：|a|b|a b.基础通关 理解绝对值的几何意义，并会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：方法 解读 适合题型 1 公式法 利 用 公 式0 xaaxa a 和|f xg x或|f xg x 备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 2 xaxa或0 xa a 直接求解不等式 2 平方法 利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值，需保证不等式两
3、边同正或同负 22|f xg xfxgx 3 零点分段法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组）求解|,|f xg xa|f xg xa 4 几何法 利用绝对值的几何意义，画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解,xaxbc|xaxbc 5 图象法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数 如|f xg xa可 构 造|yf xg xa 或|yf xg x与ya 题组一 绝对值不等式的解法 用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数
4、形结合思想的应用【例 1】已知函数 123f xxx。(1）画出 yf x的图象；（2）求不等式 1f x 的解集 备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 3【解析】（1）.23,4,231,23,1,4)(xxxxxxxf)(xfy 的图象如图所示.题组二 绝对值不等式性质的应用(1）利用绝对值不等式性质定理时要注意等号成立的条件:当ab0 时,ab|a|b|；当ab0 时,|ab|a|b;当(ab)(bc）0 时,ac|ab|bc|。（2）对于求y|xa|xb|或y|xa|xb型的最值问题时利用绝对值三角不等式更方便(3)对于含绝对值的不等式，不论是分段
5、去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏【例 2】已知函数()|21|f xx，()|g xxa（1)当1a 时，解不等式()()f xg x；（2）若()2()1f xg xa恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1)依题意，|21|1|xx，两边同时平方得2244121xxxx,即2360 xx,解得0 x 或2x，故不等式()()f xg x的解集为|02x xx或(2）由()2()1f xg xa恒成立，即|21|22|1xxaa恒成立,备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 4|21|22|(21)(22)|21|xxaxxaa，max(|21|2
6、2|)|21|xxaa，|21|1aa，解得203a，即实数a的取值范围为2,03。能力通关 1含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律:（1）根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，然后利用数形结合解决.（2）巧用“|a|b|ab|a|+b|求最值。求a|b|的范围:若ab为常数M，可利用|a|b|ab|M|ab|M确定范围。求a+b的最小值:若ab为常数M,可利用a|+|b|ab=|M,从而确定其最小值.（3）f（x）a恒成立f(x）maxa，f(x）a恒成立f（x)mina。即不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决 2含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
7、（1）分离参数法 运用“maxmin()(),()(),f xaf xa f xaf xa”可解决恒成立中的参数范围问题。求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“|ababab”求最值.（2）更换主元法 不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换，常可得到简捷的解法。(3)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.不等式恒成立问题【例 1】设函数()|1|2|f xxx。（
8、1）解不等式xxf 5)(；备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 5（2）若11)(axf对Rx恒成立，求实数a的取值范围。【解析】(1)因为32,1()1,1223,2x xf xxxx,当1x 时,xx523，解得2x；当12x时，x51，无解；当2x 时，xx532，解得38x.所以不等式xxf 5)(的解集为),382,(.(2）依题意只需11)(minaxf，而()|1|2|(1)(2)|1f xxxxx，所以111a，所以0a或21a,故实数a的取值范围是),21)0,(。【例 2】已知函数()|26|1|f xxx。（1）求不等式()8f x
9、x的解集；(2）若对任意的12,x x，2221()2xfmxx恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1）若3x,则原不等式可化为26 18xxx ，则511x ，无解;若31x，则原不等式可化为26 18xxx ，则1x,无解；若1x，则原不等式可化为2618xxx ，则1x.综上所述,不等式()8f xx的解集为1,.（2）令 22g xxmx，依题意可知 minmaxf xg x。而()|26|1|3|1|4f xxxxx ,由 2222g xxmxxmm ，所以 2maxg xm。所以24m，即22m，故m的取值范围是 2,2。备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不
10、等式及其应用 文 6 不等式存在性问题【例 3】已知函数 22,f xxxa aR(1)当1a 时,解不等式 5f x;（2）若存在0 x满足 0023f xx，求实数a的取值范围 (2）22222422244,f xxxxaxxaxaxa 原命题等价于 min23,43,f xxa即 71a .不等式中的最值问题 【例 4】设函数 12f xxx，32g xxx.（1)求函数 f x的最小值；(2)若对任意的xR，不等式 g af x恒成立，求实数a的取值范围。【解析】（1)12123f xxxxx，当且仅当120 xx，即1,2x 时取等号，此时 min3f x.（2）对任意的xR，不等式
11、 g af x恒成立 min3g af x 2323aaa,或23323aaa,或3323aaa 备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 7 12a，或23a，或34a14a.所以实数a的取值范围为 1,4.【例 5】已知函数()|23|1|f xxx.（1）解不等式()2f x；（2)若正数,a b c满足123()3abcf，求123abc的最小值。【解析】（1）当1x时，()32143f xxxx，由()2f x，即4 32x，解得23x，显然21,3所以23x;当312x时，()3212f xxxx，由()2f x，即22x,解得0 x.又312x,
12、所以此时不等式无解；当32x 时，()23134f xxxx 。由()2f x，即342x，解得2x.显然322，所以2x.综上,不等式()2f x 的解集为2(,)(2,)3.（2)由题意得17223()3333abcf。所以123233123()abcabbcac1223366(149)3bacacbabacbc 1223366(14222)3bacacbabacbc12.当且仅当12abc时等号成立。所以123abc的最小值为12.不等式综合性问题【例 6】已知函数()|2|(f xxxm mR）（1）若0m，解不等式()1f xx;(2)若方程()f xx 有三个不同的解，求实数m的取
13、值范围 备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 8 (2）因为()|2|f xxxm，所以方程()f xx 有三个不同的解等价于函数()|2|g xxx的图象与直线yxm 有三个不同的交点，作图可知,当直线yxm 经过点(0,2)A时，2m；当直线yxm 经过点(2,2)B时，0m.所以实数m的取值范围是(2,0)。高考通关 1已知函数f（x)|xa|x2|。（1）当a3 时，求不等式f（x)3 的解集；（2)若f（x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【解析】（1）当a3 时,不等式f(x）3 化为|x3|x2|3。()备战 2019 高考数学 选择
14、题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 9 当x2 时，由（*)式，得 52x3，x1.当 2x3 时，由（*）式知，解集为。当x3 时，由（）式，得 2x53，x4。综上可知,f（x)3 的解集是xx4 或x1.（2）原不等式等价于|x4|x2xa,(*)当 1x2 时，（*）式化为 4x(2x）xa|,解得2ax2a。由条件，1,2是f(x）x4的解集的子集，2a1 且 22a,则3a0,故满足条件的实数a的取值范围是3,0.2已知函数()2|3|f xxx.（1）解关于x的不等式()4f x.（2）若对于任意的xR，不等式2()2f xtt恒成立，求实数t的取值范围.（2）由（1）
15、知，33,0()3,0333,3xxf xxxxx。作出函数()f x的图象,如图，显然()(0)3f xf.备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 10 故由不等式2()2f xtt恒成立可得223tt，解得13t 。所以t的取值范围为 1,3。3已知函数()|2|f xxm。(1）若1m ，求不等式()|3|6f xx的解集；（2）若关于x的不等式2()+|42|3f xxm在 R 上恒成立，求实数m的取值范围.（2）依题意,关于x的不等式2|2|+|42|3xmxm在 R 上恒成立 而2x+m+4 2x|m4，所以2|43mm，即243mm或243mm
16、，解得413m，所以m的取值范围是4 1,3 4已知函数()|f xxm，()|g xxn，其中0,0mn.(1）若函数)(xf的图象关于直线2x对称,求不等式)()2(xfxf的解集；(2）若函数)()()(xgxfxh的最小值为 1，求nm11的最小值及其相应的m和n的值.【解析】（1）函数)(xf的图象关于直线2x对称，2m，()|2|f xx，不等式)()2(xfxf可化为|x|2|x，即22)2(xx,化简得044 x，解得1x，不等式)()2(xfxf的解集为|1x x。备战 2019 高考数学 选择题 专题 03 含绝对值的不等式及其应用 文 11（2)()|f xxm,()|g
17、 xxn，)(xh|xmxn,由绝对值不等式的性质可得|()()|xmxnxmxnmn，函数)()()(xgxfxh的最小值为nm，1nm，由mnnm2得41mn,4111mnmnnmnm，当且仅当1nmnm，即21 nm时等号成立，nm11的最小值为 4,此时21 nm.5已知函数()|1|f xx（1）若0 xR使不等式(2)(3)f xf xt成立，求满足条件的实数t的取值集合T;（2)若二次函数223yxx与函数2()(2)ymf xf x的图象恒有公共点，求实数m的取值范围【解析】（1）由题意得1,1(2)(3)1223,121,2xf xf xxxxxx,则 11f x，由于0 xR使不等式12xxt 成立，则有1t，即|1Tt t.【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,存在性问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，逻辑思维能力，化归与转化思想