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1、精品教案可编辑【金版学案】2016-2017 学年高中数学第 1 章 三角函数章末知识整合 苏教版必修 4 精品教案可编辑专题一三角函数基本概念的应用例 1 若角的终边与函数y 2|x|的图象重合，求的各三角函数值分析：由于y 2|x|2x，x 0，2x，x0的图象为三、四象限中的两条射线，故可根据三角函数的定义来求解解：因为角的终边与函数y 2|x|的图象重合，所以是第三或第四象限的角若为第三象限的角，取终边上一点P(1，2)，r|OP|5，从而sin yr255，cos xr55，tan yx2.若在第四象限，可取点P(1，2)，易得：sin 255，cos 55，tan 2.精品教案可编
2、辑规律方法三角函数的基本概念是本单元内容的基础知识，是研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点，同学们要注意考试中对基本概念、基本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查，解题的关键是对有关概念的正确理解和灵活应用变式训练 函数f(x)sin x2，1x0，ex1，x0，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A 1 B22C1，22D1，22解析：此题可运用代入排除法因为f(1)f(a)2，f(1)e01，所以f(a)1，选项中提供的a的可能值有三个，分别为1，22，22，因此把这三个数代入f(x)中，值为 1 的即为所求f(1)e01，f22e221，f22sin2 1.精品
3、教案可编辑所以a的所有可能值为1，22.答案：C专题二同角三角函数的基本关系与诱导公式例 2 已知2tan（）1tan（2）4，求(sin 3cos)(cos sin)的值解：法一：由已知2 tan 1 tan 4，所以 2tan 4(1 tan)，解得 tan 2，所 以(sin 3cos)(cos sin)4sin cos sin2 3cos24sin cos sin23cos2sin2cos24tan tan23tan218434115.法二：由已知2tan 1tan 4，解得 tan 2，即sin cos 2，所以 sin 2cos.所以(sin 3cos)(cos sin)(2cos
4、 3c os)(cos 2cos)cos2cos2sin2cos21tan2115.精品教案可编辑规律方法1三角函数式的化简求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式2解题中的常用技巧：(1)弦切互化，减少或统一函数名称(2)“1”的代换，如：1sin2cos2(常用于解决有关正弦、余弦齐次式的化简求值问题中)，1tan4等(3)若式子中有角k2，kZ，则先利用诱导公式化简变式训练 (2015福建卷)若 sin 513，且为第四象限角，则tan 的值等于()A.125B125C.512D512解析：法一：因为为第四象限的角，故 cos 1sin21（513）21213，精品教案可
5、编辑所以 tan sin cos 5131213512.法二：因为是第四象限角，且sin 513，所以可在的终边上取一点P(12，5)，则 tan yx512.答案：D专题三三角函数的图象及其变换例 3 已知函数f(x)Asin(x)A 0，0，|2的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0 3，2)(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向x轴正方向平移3个单位长度，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式，并用五点作图的方法画出g(x)在长度为一个周期的闭区间
6、上的图象分析：由题目可以获取以下主要信息：要求的函数的形式是f(x)Asin(x)A0，0，|2；图象与y轴交点是(0，1)相邻的一个最大值点和最小值点分别是(x0，2)和(x0 3，2)，其中x00.解答本题可先由已知求出A，然后再根据图象变换得到函数yg(x)解：(1)由f(x)Asin(x)在y轴上的截距为1，最大值为2，得A2，12sin，所以 sin 12，6.精品教案可编辑又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0 3，2)所以T2(x0 3)x0 6，所以2T13.所以函数的解析式为f(x)2sinx36.(2)压缩后函数的解析式为y2sinx6，再平移得g(x)
7、2sinx362sinx6.列表、作图如下：x602322x623765313 6g(x)020 20精品教案可编辑规律方法三角函数图象是本章的重点内容，它是研究三角函数性质的根据，重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之间的内在联系主要考查两个方面的问题：一是根据图象写函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值对于yAsin(x)b(A0，0)的解析式求解问题：ymaxM，yminm，则AMm2，bMm2；由T2求得的值；的值采取代入特殊点(顶点或平衡点)坐标法求得二是关于三角函数图象的平移和伸缩，此类问题关键要搞清在x轴方向的左右平移或伸缩是对解析中的字母x的变
8、换变式训练 如图是函数yAsin(x)k|2的一段图象精品教案可编辑(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过ysin x变换得来的？解：(1)由图象知A12 32212，k12 322 1，T 2236，所以2T2.所以y12sin(2x)1.当x6时，262，所以6.所以所求函数解析式为y12sin 2x6 1.(2)把ysin x向左平移6个单位长度，得到ysinx6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y sin2x6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y12sin 2x6，最后把函数y12sin 2x6的图象向下平移1 个单位长度，得到y12精品教案可编
9、辑sin 2x61.专题四三角函数的性质及应用例 4 已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|2)的图象在y轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0，2)和x032，2(x00)上，f(x)分别取得最大值和最小值(1)求f(x)的解析式(2)在区间214，234上是否存在f(x)的对称轴？请说明理由解：(1)因为A2，T2x032x032，所以T3，即2|3.0，所以23.这时f(x)2sin23x.把点(0，1)代入，得2sin 1.而|2，所以6.所以f(x)2sin23x6.(2)因为x214，234，所以23x6113，4，sin23x6 32，0.故 sin23x6 1，即在区间21
10、4，234上不存在f(x)的对称轴精品教案可编辑规律方法三角函数的图象和性质密不可分，在解决三角函数的综合问题时，应借助于图象特征，充分利用三角函数的有关性质进行求解如单调区间、最值、周期性、对称性等变式训练 已知函数f(x)2sin2x6a1(其中a为常数)(1)求f(x)的单调增区间；(2)若x 0，2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合解：(1)由22k 2x622k，kZ，得k3xk6，kZ，所以函数f(x)的增区间为k3，k6，kZ.(2)因为 0 x2，所以6 2x676.所以12 sin 2x61.所 以f(x)的最大值为2a1 4.所以a1
11、.精品教案可编辑(3)当f(x)取最大值时，2x622k，所以 2x3 2k.所以x6k，kZ.所以x的取值集合是x x6k，kZ.专题五数形结合思想例 5 已知函数f(x)Asin(x)A0，0，|2在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为_，方程f(x)lg x0 的实根个数为_ 解析：根据图中的特殊点，可确定f(x)解析式中的待定系数A，.研究方程f(x)lg x0 的实数根即是研究函数yf(x)与ylg x图象的交点个数显然A2.由图象过点(0，1)则f(0)1，即 sin 12，又|2，则6.又1112，0 是图象上的点，则f11 120，即 sin11 126 0，由图象可知，
12、11 12，0 是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个精品教案可编辑交点所以11126 2.所以2.因此所求函数的解析式为f(x)2sin2x6.如图所示，在同一平面直角坐标系中作函数f(x)2sin2x6和函数y lg x的示意图因为f(x)的最大值为2，令 lg x2，得x100，令1112k100(k Z)，得k 30(k Z)，而111231 100，所以在区间(0，100内有 31 个形如1112k，1712k(kZ，0k30)的区间，在每个区间上yf(x)与ylg x的图象都 有 2 个交点，故这两个函数图象在11 12，100 上的交点个数为2 31 62(个)，另外在0，1112
13、上还有 1 个交点，所以方程f(x)lg x0 共有实根63 个精品教案可编辑答案：f(x)2sin2x663规律方法数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法本章中应用数形结合通常有两种形式：一是利用单位圆解决角的范围或三角不等式问题；二是利用三角函数图象求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方程中的字母参数的范围问题变式训练 已知函数ysin x2|sin x|，x0，2 的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围解：y sin x2|sin x|3sin x，x0，sin x，x ，2.精品教案可编辑观察图象可知，0k1，所以k的取值范围是(0，1)专题六函数与
14、 方程思想例 6 是否存在 2，2，(0，)，使等式 sin(3)2cos2，3cos()2cos()同时成立？若存在，求出、的值；若不存在，则请说明理由分析：本题属探索性问题，应将，满足的关系当作条件去求，；因条件式较烦琐，故先化简，再求出与的一个三角函数值和其范围，进而求角解：由条件得sin 2sin，3cos 2cos.22，得 sin23cos22，所以 sin212.又因为2，2，所以4或4.将4代入，得cos 32.又(0，)，所以6，代入可知符合题意将4代入，得cos 32.又(0，)，所以6，代入可知不符合题意综上可知，存在4，6满足条件精品教案可编辑规律方法函数、方程、不等式三者密不可分在三角问题中，已知条件等式，求一个三角函数值的问题，常采用方程的思想，把某一三角函数看作未知数，解三角方程在求三角函数值时要注意求该角的范围变式训练 设有函数f(x)asinkx3和g(x)btankx3(a 0，b0，k0)若它们的最小周期之和为32，且f2g2，f43g41.求两函数解析式解：由题 意2kk32，得k2.由asin 223btan223，asin 2433btan243 1，解得a2b，a 2b2，得a1，b12.因此f(x)sin 2x3，g(x)12tan2x3.