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1、 高中数学人教 A 选修 2-2 导数及其应用一测试题 数学选修 2-2导数及其应用(一)第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数()yf x在区间(,)a b内可导,且0(,)xa b则000()()limhf xhf xhh 的值为()A.0()fx B.02()fx C.02()fx D.0 2、一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 3、曲线xxy43在点(1,
2、3)处的切线倾斜角为()A.34 B.2 C.4 D.6 4、曲线3()2f xxx在0p处的切线平行于直线41yx,则0p点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)D.(1,0)和(1,4)5、若()sincosf xx,则()f等于()A.cos B.sin C.sincos D.2sin 6、若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直,则l的方程为()A.430 xy B.450 xy C.430 xy D.430 xy 7、对正整数n,设曲线)1(xxyn在2x 处的切线与y轴交点的纵坐标为na,则 数列1nan的前n项和的公式是()A.2n B.22n
3、C.12n D.122n 8、已知32()967,f xaxxx若(1)4f ,则a的值等于()A.193 B.163 C.103 D.133 9、二次函数()yf x的图象过原点,且它的导函数()yfx的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()yf x的图象的顶点所在象限是()A.第一 B.第二 C.第三 D.第四 10、已知函数)(xfy 的图象在点M(1,f(1)处的切线方程是xy21+2,则(1)(1)ff 的值等于()A.1 B.52 C.3 D.0 19、(12 分)已知aR,函数2()()f xxxa,若(1)1f.(1)求a的值并求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线
4、方程()yg x;(2)设()()()h xfxg x,求()h x在0,1上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数3()f xaxbxc(0)a 为奇函数,其图象在点(1,(1)f处的切线与直线1870 xy垂直,导函数()fx的最小值为12.(1)求a,b,c的值;(2)设2()()f xg xx,当0 x 时,求()g x的最小值.21、(12 分)设函数()bf xaxx,曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为74120 xy.(1)求()f x的解析式;(2)证明:曲线()yf x上任一点处的切线与直线0 x 和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14
5、 分)已知关于x的方程sin(0,1)xk kx在(3,0)(0,3)内有且仅有 4 个根,从小到大依次为1234,x xx x.(1)求证:44tanxx;(2)是否存在常数k,使得234,xx x成等差数列?若存在求出k的值,否则说明理由.参考答案 1.B 000000()()()()limlim22hhf xhf xhf xhf xhhh 0000()()2lim2()2hf xhf xhfxh.2.C ()21,(3)23 15s tts .3.A 21334,|1,tan1,4xyxky .4.D 设切点为0(,)P a b,22()31,()314,1fxxkfaaa ,把1a ,
6、代 入 到3()2f xxx得4b ;把1a,代 入 到3()2f xxx得0b,所以0(1,0)P和(1,4).5.B ()sin,()sinfxx f.6.A 与直线480 xy垂直的直线l为40 xym,即4yx在某一点的导数为4,而34yx,所以4yx在(1,1)处导数为4,此点的切线为430 xy.7.D 11222,:222(2)nnnxynynx 切线方程为,令0 x,求出切线与y轴交点的纵坐标为01 2nyn,所以21nnan,则数列1nan的前n项和12 1 2221 2nnnS 8.B 2()3186fxaxx,由(1)4,f 得31864a,即163a.9.C 设2(),
7、()2f xaxbx fxaxb,()fx的图象是过第一、二、三 象 限 的 一 条 直 线,故20,0ab,又 22()24bbf xa xaa,即项点2,24bbaa在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以f(1)=25221,切点 处 的 导 数 为 切 线 斜 率,所 以1(1)2f,所 以(1)(1)ff 3 11.D 2sincossinxxxxxx 12.A ()xxfxeae,()fx是奇函数(0)10fa,1a,有()xxfxee,设 切 点 为00(,)xy,则0003()2xxfxee,得02xe或012xe(舍去),0ln2x.13.3x 22(1)(1)yxx
8、xxxxxy32)1()1(2 14.520 xy 易 判 断 点(1,-3)在 曲 线32242yxxx上,故切线的斜率211|344|5xxkyxx,切线方程为351yx,即520 xy 15.(2,15)231022yxx ,又点 P 在第二象限内,2x ,得点 P 的坐标为(2,15)16.),1()0,1(可得()()f xfxx,由导数的定义得,当 01x时,()(1)()1f xff xxx,又0)1(f,()(1)()xf xxf x,()0f x;当1x 时,同理得()0f x.又)(xf是奇函数,画出它的图象得()0f x(1,0)(1,)x.17.解:依题意有:)2(22
9、2)(,)1(xxaxxfaf,l的方程为02)1(2ayxa l与圆相切,811211)1(4|2|2aaa a的值为118.18.解:(1)()()f xfxcos(3)3sin(3)xx 52sin(3)6x,又0,()()f xfx是奇函数,6.(2)由(1)得()()f xfx2sin(3)2sin3xx .()()f xfx的最大值为 2,最小值为2.19、解:(1)2()32fxxax,由(1)1f 得321a,所以1a;当1a 时,32()f xxx,(1)0f,又(1)1f,所以曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程为01(1)yx,即()1g xx;(2)由(1)得2
10、2113()313()612h xxxx,又(0)1h,(1)1h,113()612h,()h x在0,1上有最大值 1,有最小值1312.20.解:(1)()f x为 奇 函 数,()()fxf x,即33axbxcaxbxc,0c,又2()3fxaxb的最小值为12,12b;又直线1870 xy的斜率为118,因此,(1)318fab,2a,2a,12b,0c 为所求.(2)由(1)得3()212f xxx,当0 x 时,2()()f xg xx662()2 24 6xxxx,()g x的最小值为4 6.21.解:(1)方程74120 xy可化为734yx.当2x 时,12y.又2()bf
11、xax,于是1222744baba，解得13ab,故3()f xxx.(2)设00(,)P xy为曲线上任一点,由231yx 知曲线在点00()P xy，处的切线方程为 002031()yyxxx,即00200331()yxxxxx.x y O 23令0 x 得06yx,从而得切线与直线0 x 的交点坐标为060 x，.令yx得02yxx,从而得切线与直线yx的交点坐标为00(22)xx，.所以点00(,)P xy处的切线与直线0 x,yx所围成的三角形面积为016262xx.故曲线()yf x上任一点处的切线与直线0 x,yx所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由 原 方
12、 程 得sin(0)xkx x,设 函 数()sinf xx,()g xkx(0)x,它们的图象如图所示:方程得sin(0)xkx x在(3,0)(0,3)内有 且仅有 4 个根,4x必是函数()g xkx与()sinf xx在 5(2,)2内 相 切 时 切 点 的 横 坐 标,即 切 点 为44(,sin)xx,()g xkx是()sinf xx的切线.由()cosfxx,4coskx,又44sin xkx,于是44tanxx.(2)由题设知23xx,又234,xx x成等差数列,得3242xxx,3413xx.由33sin xkx,得4411sin33xkx,即441sin3sin3xx.由题设45(2,)2x,得425(,)336x,413sin(,)322x,有43 3 33sin(,)322x,即43 3 3sin(,)22x,与4sin1x 矛盾!故不存在常数k使得234,xx x成等差数列