圆的有关概念及性质.pdf

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1、第二十三讲 圆的有关概念及性质 基础知识回顾 一、圆的定义及性质：1、圆的定义：形成性定义：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段 OA 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 名师提醒：1、在一个圆中,圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥 2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧,弧可分为 、三类 3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形,有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是 名师提醒：圆不仅是中心对称图

2、形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合 二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 2、推论：平分弦 的直径 ,并且平分弦所对的 名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线 3、垂径定理常用作计算,在半径 r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个 三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量

3、 它们所对应的其余各组量也分别 名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆或直弦所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线 五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四

4、边形的对角 名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 考点一：垂径定理 例 1 如图,AD 为O 的直径,作O 的内接正三角形 ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作 OD 的中垂线,交O 于 B,C 两点,2、连接 AB,AC,ABC 即为所求的三角形 乙：1、以 D 为圆心,OD 长为半径作圆弧,交O 于 B,C 两点 2、连接 AB,BC,CAABC 即为所求的三角形 对于甲、乙两人的作法,可判断 A A甲、乙均正确 B甲、乙均错误 C甲正确、乙错误 D甲错误,乙正确 对应训练 1如图,O 是ABC 的外接圆,B=60,OPAC 于点 P,OP=23,则O 的半径为 A43 B63

5、 C8 D12 考点二：圆周角定理 例 2 如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 N,点 M 在O 上,1=C 1 求证：CBMD；2 若 BC=4,sinM=23,求O 的直径 对应训练 37 如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是O 的直径,D 为O 上一点,ODAC,垂足为 E,连接BD 1 求证：BD 平分ABC；2 当ODB=30时,求证：BC=OD 考点三：圆内接四边形的性质 例 3 如图,C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标为 0,3,M 是第三象限内 OB上一点,BMO=120,则C 的半径长为 A6 B5 C3 D32 对应训练 3、如图,四

6、边形 ABCD 是圆内接四边形,E 是 BC 延长线上一点,若BAD=105,则DCE 的大小是 A115 Bl05 C100 D95 聚焦中考 1如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不成立的是 ACM=DM B CBDB CACD=ADC DOM=MD 2 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图 1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm 3如图,在半径为 5 的O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧AB上一点不与 A,B 重合,则 cosC 的值为 4如图,点 A、B、C 在O

7、 上,AOC=60,则ABC 的度数是 备考真题过关 一、选择题 1如图,以 M-5,0 为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点,P 是M 上异于 A、B 的一动点,直线 PA、PB 分别交 y 轴于 C、D,以 CD 为直径的N 与 x 轴交于 E、F,则 EF 的长 A等于 42 B等于 43 C等于 6 D随 P 点位置的变化而变化 2如图,在半径为 5 的O 中,AB、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且 AB=CD=8,则 OP的长为 3如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于 E,已知 CD=12,BE=2,则O 的直径为 A8 B10 C16 D20 4如图,C

8、D 是O 的直径,AB 是弦不是直径,ABCD 于点 E,则下列结论正确的是 AAEBE B ADBC CD=12AEC DADECBE 5已知：如图,OA,OB 是O 的两条半径,且 OAOB,点 C 在O 上,则ACB 的度数为 A45 B35 C25 D20 6如图,AB、CD 是O 的两条弦,连接 AD、BC若BAD=60,则BCD 的度数为 A40 B50 C60 D70 7ABC 为O 的内接三角形,若AOC=160,则ABC 的度数是 A80 B160 C100 D80或 100 8如图,在ABC 中,AB 为O 的直径,B=60,BOD=100,则C 的度数为 A50 B60

9、C70 D80 二、填空题 9如图,AB 为O 的直径,CD 为O 的一条弦,CDAB,垂足为 E,已知 CD=6,AE=1,则0的半径为 10如图,AB 是O 的弦,OCAB 于 C若 AB=23,0C=1,则半径 OB 的长为 11如图,在O 中,直径 AB 丄弦 CD 于点 M,AM=18,BM=8,则 CD 的长为 12已知：如图,在O 中,C 在圆周上,ACB=45,则AOB=13如图,矩形 OABC 内接于扇形 MON,当 CN=CO 时,NMB 的度数是 14如图,已知点 A0,2、B23,2、C0,4,过点 C 向右作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动点,连接 AP,以

10、 AP 为边在其左侧作等边APQ,连接 PB、BA若四边形 ABPQ 为梯形,则：1 当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是 ；2 当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是 15如图,ABC 内接于O,AB、CD 为O 直径,DEAB 于点 E,sinA=12,则D 的度数是 三、解答题 16 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图已知图中 ABCD 为等腰梯形ABDC,支点 A 与 B 相距 8m,罐底最低点到地面 CD 距离为 1m设油罐横截面圆心为 O,半径为 5m,D=56,求：U 型槽的横截面阴影部分的面积参考数据：sin53,tan56,3,结果保留整数 17

11、如图,O 的半径为 17cm,弦 ABCD,AB=30cm,CD=16cm,圆心 O 位于 AB,CD 的上方,求 AB 和 CD 的距离 18在O 中,直径 ABCD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于点 F,且 CFAD求D 的度数 19如图,A,P,B,C 是半径为 8 的O 上的四点,且满足BAC=APC=60,1 求证：ABC 是等边三角形；2 求圆心 O 到 BC 的距离 OD 20如图ABC 中,BC=3,以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D,若 D 是 AC 中点,ABC=120 1 求ACB 的大小；2 求点 A 到直线 BC 的距离 21如图,已知 AB 是O 的

12、弦,OB=4,OBC=30,点 C 是弦 AB 上任意一点不与点 A、B 重合,连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D,连接 AD、DB 1 当ADC=18时,求DOB 的度数；2 若 AC=23,求证：ACDOCB 第二十三讲 圆的有关概念及性质 基础知识回顾 三、圆的定义及性质：3、圆的定义：形成性定义：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段 OA 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 名师提醒：1、在一个圆中,圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥 2、弦与弧：弦：连接

13、圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧,弧可分为 、三类 3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形,有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是 名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合 四、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 2、推论：平分弦 的直径 ,并且平分弦所对的 名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦

14、的 线 3、垂径定理常用作计算,在半径 r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个 三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”六、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆或直弦所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 名师提醒：1

15、、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是 4、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线 七、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 考点一：垂径定理 例 1 如图,AD 为O 的直径,作O 的内接正三角形 ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作 OD 的中垂线,交O 于 B,C 两点,2、连接 AB,AC,ABC 即为所求的三角形 乙：1、以 D 为圆心,OD 长为半径作圆弧,交O 于 B,C 两点 2、连接 AB,BC,CAABC 即为所求的三角

16、形 对于甲、乙两人的作法,可判断 A A甲、乙均正确 B甲、乙均错误 C甲正确、乙错误 D甲错误,乙正确 对应训练 1如图,O 是ABC 的外接圆,B=60,OPAC 于点 P,OP=23,则O 的半径为 A A43 B63 C8 D12 考点二：圆周角定理 例 2 如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 N,点 M 在O 上,1=C 1 求证：CBMD；2 若 BC=4,sinM=23,求O 的直径 证明：C 与M 是BD所对的圆周角,C=M,又1=C,1=M,CBMD；2 解：连接 AC,AB 为O 的直径,ACB=90,又CDAB,BC=BD,A=M,sinA=sinM,在 RtA

17、CB 中,sinA=BCAB,sinM=23,BC=4,AB=6,即O 的直径为 6 对应训练 37 如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是O 的直径,D 为O 上一点,ODAC,垂足为 E,连接BD 1 求证：BD 平分ABC；2 当ODB=30时,求证：BC=OD 证明：1ODAC OD 为半径,CDAD,CBD=ABD,BD 平分ABC；2OB=OD,OBD=0DB=30,AOD=OBD+ODB=30+30=60,又ODAC 于 E,OEA=90,A=180-OEA-AOD=180-90-60=30,又AB 为O 的直径,ACB=90,在 RtACB 中,BC=12AB,OD=CDADA

18、B,BC=OD 考点三：圆内接四边形的性质 例 3 如图,C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标为 0,3,M 是第三象限内 OB上一点,BMO=120,则C 的半径长为 A6 B5 C3 D32 解：四边形 ABMO 是圆内接四边形,BMO=120,BAO=60,AB 是O 的直径,AOB=90,ABO=90-BAO=90-60=30,点 A 的坐标为 0,3,OA=3,AB=2OA=6,C 的半径长=2AB=3故选 C 对应训练 3、如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,E 是 BC 延长线上一点,若BAD=105,则DCE 的大小是 A115 Bl05 C100

19、 D95 解：四边形 ABCD 是圆内接四边形,BAD+BCD=180,而BCD+DCE=180,DCE=BAD,而BAD=105,DCE=105故选 B 聚焦中考 1如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不成立的是 D ACM=DM B CBDB CACD=ADC DOM=MD 2 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图 1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2 所示,已知 AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 30 cm 3 如图,在半径为 5 的O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧AB上一点不与 A,B 重合,则 cos

20、C 的值为 45 4如图,点 A、B、C 在O 上,AOC=60,则ABC 的度数是 .150 备考真题过关 一、选择题 1如图,以 M-5,0 为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点,P 是M 上异于 A、B 的一动点,直线 PA、PB 分别交 y 轴于 C、D,以 CD 为直径的N 与 x 轴交于 E、F,则 EF 的长 C A等于 42 B等于 43 C等于 6 D随 P 点位置的变化而变化 2如图,在半径为 5 的O 中,AB、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且 AB=CD=8,则 OP的长为 C 3如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于 E,已知 CD=12,B

21、E=2,则O 的直径为 D A8 B10 C16 D20 4如图,CD 是O 的直径,AB 是弦不是直径,ABCD 于点 E,则下列结论正确的是 D AAEBE B ADBC CD=12AEC DADECBE 5 已知：如图,OA,OB 是O 的两条半径,且 OAOB,点 C 在O 上,则ACB 的度数为 A A45 B35 C25 D20 6如图,AB、CD 是O 的两条弦,连接 AD、BC若BAD=60,则BCD 的度数为 C A40 B50 C60 D70 7ABC 为O 的内接三角形,若AOC=160,则ABC 的度数是 D A80 B160 C100 D80或 100 82012泸州

22、如图,在ABC 中,AB 为O 的直径,B=60,BOD=100,则C 的度数为 A50 B60 C70 D80 二、填空题 9如图,AB 为O 的直径,CD 为O 的一条弦,CDAB,垂足为 E,已知 CD=6,AE=1,则0的半径为 5 10如图,AB 是O 的弦,OCAB 于 C若 AB=23,0C=1,则半径 OB 的长为 2 11如图,在O 中,直径 AB 丄弦 CD 于点 M,AM=18,BM=8,则 CD 的长为 24 12已知：如图,在O 中,C 在圆周上,ACB=45,则AOB=90 13如图,矩形 OABC 内接于扇形 MON,当 CN=CO 时,NMB 的度数是 30 1

23、4如图,已知点 A0,2、B23,2、C0,4,过点 C 向右作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动点,连接 AP,以 AP 为边在其左侧作等边APQ,连接 PB、BA若四边形 ABPQ 为梯形,则：1 当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是 233 ；2 当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是 0 或2 3 15如图,ABC 内接于O,AB、CD 为O 直径,DEAB 于点 E,sinA=12,则D 的度数是 30 三、解答题 16 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图已知图中 ABCD 为等腰梯形ABDC,支点 A 与 B 相距 8m,罐底最低点到地面 CD

24、 距离为 1m设油罐横截面圆心为 O,半径为 5m,D=56,求：U 型槽的横截面阴影部分的面积参考数据：sin53,tan56,3,结果保留整数 解：如图,连接 AO、BO过点 A 作 AEDC 于点 E,过点 O 作 ONDC 于点 N,ON 交O于点 M,交 AB 于点 F则 OFABOA=OB=5m,AB=8m,AF=BF=12AB=4m,AOB=2AOF,在 RtAOF 中,sinAOF=AFAO=sin53,AOF=53,则AOB=106,OF=22OAAF=3m,由题意得：MN=1m,FN=OM-OF+MN=3m,四边形 ABCD 是等腰梯形,AEDC,FNAB,AE=FN=3m

25、,DC=AB+2DE在 RtADE 中,tan56=32AEDE,DE=2m,DC=12m S阴=S梯形ABCD-S扇OAB-SOAB=128+123-10636052-1283=20m2 答：U 型槽的横截面积约为 20m2 17如图,O 的半径为 17cm,弦 ABCD,AB=30cm,CD=16cm,圆心 O 位于 AB,CD 的上方,求 AB 和 CD 的距离 解：过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 E,延长 AE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC,ABCD,OFCD,AB=30cm,CD=16cm,AE=12AB=1230=15cm,CF=12CD=1216=8cm,在 RtA

26、OE 中,OE=22221715OAAE=8cm,在 RtOCF 中,OF=2222178OCCF=15cm,EF=OF-OE=15-8=7cm答：AB 和 CD 的距离为 7cm 18在O 中,直径 ABCD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于点 F,且 CFAD求D 的度数 解：方法一：连接 BD ABO 是直径,BDAD 又CFAD,BDCF,BDC=C又BDC=12BOC,C=12BOCABCD,C=30,ADC=60 方法二：设D=x,CFAD,ABCD,A=A,AFOAED,D=AOF=x,ADC=2ADC=2x,x+2x=180,x=60,ADC=60 19如图,A,P,B

27、,C 是半径为 8 的O 上的四点,且满足BAC=APC=60,1 求证：ABC 是等边三角形；2 求圆心 O 到 BC 的距离 OD 解：1 在ABC 中,BAC=APC=60,又APC=ABC,ABC=60,ACB=180-BAC-ABC=180-60-60=60,ABC 是等边三角形；2ABC 为等边三角形,O 为其外接圆,O 为ABC 的外心,BO 平分ABC,OBD=30,OD=812=4 20如图ABC 中,BC=3,以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D,若 D 是 AC 中点,ABC=120 1 求ACB 的大小；2 求点 A 到直线 BC 的距离 解：1 连接 BD,以 B

28、C 为直径的O 交 AC 于点 D,BDC=90,D 是 AC 中点,BD 是 AC 的垂直平分线,AB=BC,A=C,ABC=120,A=C=30,即ACB=30；2 过点 A 作 AEBC 于点 E,BC=3,ACB=30,BDC=90,cos30=CDBC=3CD,CD=3 32,AD=CD,AC=33,在 RtAEC 中,ACE=30,AE=13 32=3 32 21如图,已知 AB 是O 的弦,OB=4,OBC=30,点 C 是弦 AB 上任意一点不与点 A、B 重合,连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D,连接 AD、DB 1 当ADC=18时,求DOB 的度数；2 若 AC=23,求证：ACDOCB 1 解：连接 OA,OA=OB=OD,OAB=OBC=30,OAD=ADC=18,DAB=DAO+BAO=48,由圆周角定理得：DOB=2DAB=96 2 证明：过 O 作 OEAB 于 E,由垂径定理得：AE=BE,在 RtOEB 中,OB=4,OBC=30,OE=12OB=2,由勾股定理得：BE=23=AE,即 AB=2AE=43,AC=23,BC=23,即 C、E 两点重合,DCAB,DCA=OCB=90,DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=23,ACDCOCBC=3,ACDOCB 两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似