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1、1994 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部共 150 分，考试时间 120 分钟 第一卷(选择题共 65 分)一、选择题：本大题共 15 小题；第(1)(10)题每题 4 分，第(11)(15)题每题 5 分，共 65分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 (1)设全集 I=0，1，2，3，4，集合 A=0，1，2，3，集合 B=2，3，4，那么BA ()(A)0(B)0，1(C)0，1，4(D)0，1，2，3，4(2)如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是()(
2、A)(0，+)(B)(0，2)(C)(1，+)(D)(0，1)(3)极坐标方程4cos所表示的曲线是()(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆(4)设是第二象限的角，那么必有()(A)2ctg2tg(B)2ctg2tg(C)2cos2sin(D)2cos2sin(5)某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成()(A)511 个(B)512 个(C)1023 个(D)1024 个(6)在以下函数中，以2为周期的函数是()(A)y=sin2x+cos4x(B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sin
3、2xcos2x(7)正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，那么其体积为()(A)323(B)283(C)243(D)203(8)设 F1和 F2为双曲线42xy2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F1PF2=90，那么F1PF2的面积是()(A)1(B)25(C)2(D)5(9)如果复数 z 满足z+i+zi=2，那么z+i+1的最小值是()(A)1(B)2(C)2(D)5(10)有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承当，乙、丙各需 1 人承当从 10 人中选派 4人承当这三项任务，不同的选法共有()(A)1260 种(B)2025 种(C)2520 种(D)5040 种
4、(11)对于直线 m、n 和平面、，的一个充分条件是()(A)mn，m，n(B)mn，=m，n(C)mn，n，m(D)mn，m，n(12)设函数 f(x)=121x(1x0)，那么函数 y=f1(x)的图像是()(13)过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，那么球面面积是()(A)916(B)38(C)4(D)964(14)函数 y=arccos(sinx)323x的值域是()(A)656，(B)650，(C)323，(D)326，(15)定义在(，+)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果 f(x
5、)=lg(10 x+1)，x(，+)，那么()(A)g(x)=x，h(x)=lg(10 x+10 x+2)(B)g(x)=21lg(10 x+1)+x，h(x)=21lg(10 x+1)x(C)g(x)=2x，h(x)=lg(10 x+1)2x(D)g(x)=2x，h(x)=lg(10 x+1)+2x 第二卷(非选择题共 85 分)二、填空题(本大题共 5 小题，共 6 个空格；每空格 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上)(16)在(3x)7的展开式中，x5的系数是 (用数字作答)(17)抛物线 y2=84x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 (18)sin
6、+cos=51，(0，)，那么 ctg的值是_ (19)设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为 1，那么该圆锥的体积为_ (20)在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1，a2，an，共 n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值 a 是这样一个量：与其他近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2，an推出的 a=三、解答题(本大题共 5 小题，共 61 分；解容许写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21)(本小题总分值 11 分)z=1+i(1)设=z2+3z4，求
7、的三角形式；(2)如果izzbazz1122，求实数 a，b 的值(22)(本小题总分值 12 分)函数f(x)=tgx，x(0，2)假设x1，x2(0，2)，且x1x2，证明21f(x1)+f(x2)f(221xx)(23)(本小题总分值 12 分)如图，A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点(1)证明 AB1平面 DBC1；(2)假设 AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角的度数(24)(本小题总分值 12 分)直线 l 过坐标原点，抛物线 C 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上假设点)0,1(A和点 B(0，8)关于 l 的对称点都在 C 上，求直线
8、 l 和抛物线 C 的方程(25)(本小题总分值 14 分)设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n，an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项(1)写出数列an的前 3 项；(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)；(3)令Nnaaaabnnnnn1121，求.lim21nbbbnn 1994 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答 一、选择题(此题考查根本知识和根本运算)1 C 2 D 3 D 4 A 5 B 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11C 12B 13D 14B 15C 二、填空题(此题考查根本知识和根本
9、运算)16189 17x=3，(x2)2+y2=1 1843 19 322 20naaan211 三、解答题 21本小题考查共轭复数、复数的三角形式等根底知识及运算能力 解：(1)由 z1+i，有=z2+3z4 =(1+i)2+3i14 =2i+3(1i)4=1i，的三角形式是45sin45cos2i (2)由 z=1+i，有 1111112222iibiaizzbazz =iiaba2 ibaa2 由题设条件知(a+2)(a+b)i=1i 根据复数相等的定义，得1)(12baa 解得.2,1ba 22本小题考查三角函数根底知识、三角函数性质及推理能力 证明：tgx1+tgx2=2211cos
10、sincossinxxxx 212121coscossincoscossinxxxxxx 2121coscossinxxxx 212121coscossin2xxxxxx x1，x2(0，2)，x1x2，2sin(x1+x2)0，cos x1cosx20，且 0cos(x1x2)1，从而有 0cos(x1+x2)+cos(x1x2)2121cos1sin2xxxx，21(tgx1+tgx2)tg221xx，即21f(x1)+f(x2)f(221xx)23本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力(1)证明：A1B1C1ABC是正三棱柱，四边形 B1BCC1是矩形 连结 B
11、1C 交 BC1于 E，那么 B1E=EC连结 DE 在AB1C 中，AD=DC，DEAB1 又 AB1平面 DBC1，DE平面 DBC1，AB1平面 DBC1(2)解：作 DFBC，垂足为 F，那么 DF面 B1BCC1，连结 EF，那么 EF 是 ED 在平面 B1BCC1上的射影 AB1BC1，由(1)知 AB1DE，DEBC1，那么 BC1EF，DEF 是二面角的平面角 设 AC=1，那么 DC=21ABC 是正三角形，在 RtDCF 中，DF=DCsinC=43，CF=DCcosC=41取 BC 中点 GEB=EC，EGBC 在 RtBEF 中，EF2=BFGF，又 BF=BCFC=
12、43，GF=41，EF2=4341，即 EF=43tgDEF=14343EFDFDEF=45 故二面角为 45 24本小题考查直线与抛物线的根本概念和性质，解析几何的根本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力 解法一：依题设抛物线 C 的方程可写为 y2=2px (p0)，且 x 轴和 y 轴不是所求直线，又 l 过原点，因而可设 l的方程为 y=kx (k0)设 A、B分别是 A、B 关于 l 的对称点，因而 AAl，直线 AA 的方程为 11xky 由、联立解得 AA与 l 的交点 M 的坐标为11122kkk，又 M 为 AA的中点，从而点 A的坐标为 x A=111112222kkk，
13、y A=1201222kkkk 同理得点 B的坐标为 x B=1162kk，y B=11822kk 又 A、B均在抛物线 y2=2px(p0)上，由得 112122222kkpkk，由此知 k1，即 1242kkp 同理由得11621182222kkpkk 即 kkkp112222 从而 1242kk=kkk112222，整理得 k2k1=0 解得.25125121kk，但当251k时，由知055Ax，这与 A在抛物线 y2=2px(p0)上矛盾，故舍去2512k 设251k，那么直线 l 的方程为xy251 将251k代入，求得552p 所以直线方程为 xy251 抛物线方程为 xy5542
14、 解法二：设点 A、B 关于 l 的对称点分别为 A(x1、y1)、B(x2，y2)，那么|OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8 设由 x 轴正向到 OB的转角为，那么 x2=8cos，y2=8sin 因为 A、B为 A、B 关于直线 l 的对称点，而BOA 为直角，故BOA为直角，因此 x1=cos2=sin，y1=sin2=cos，由题意知 x10，x20，故为第一象限角 因为 A、B都在抛物线 y2=2px 上，将、代入得 cos2=2psin，64sin2=2p8cos 8sin3=cos3，2sin=cos，解得 52cos51sin，将52cos51sin，代入 cos2=
15、2psin得 552sin2cos2p，抛物线 C 的方程为xy5542 因为直线 l 平分BOB，故 l 的斜率 42221tgtgk 251sin1cos2cos12sin 直线 l 的方程为xy215 25本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等根底知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力 解：(1)由题意，当 n=1 时有11222Sa，S1=a1，11222aa，解得 a1=2 当 n=2 时有22222Sa，S2=a1+a2，a1=2 代入，整理得(a22)2=16 由 a20，解得 a2=6 当 n=3 时有33222Sa，S3=a1+a2+a3，将 a1=2，a2=6 代
16、入，整理得(a32)2=64 由 a30，解得 a3=10 故该数列的前 3 项为 2，6，10(2)解法一：由(1)猜测数列an有通项公式 an=4n2 下面用数学归纳法证明数列 an 的通项公式是 an=4n2 (nN)当 n=1 时，因为 412=2，又在(1)中已求出 a1=2，所以上述结论成立 假设 n=k 时结论成立，即有 ak=4k2由题意，有 kkSa222，将 ak=4k2 代入上式，得 2k=kS2，解得 Sk=2k2 由题意，有11222kkSa，Sk+1=Sk+ak+1，将 Sk=2k2代入，得2122ka=2(ak+1+2k2)，整理得21ka4 ak+1+416 k
17、2=0 由 ak+10，解得 ak+1=2+4k所以 ak+1=2+4k=4(k+1)2 这就是说，当 n=k+1 时，上述结论成立 根据、，上述结论对所有的自然数 n 成立 解法二：由题意，有NnSann222，整理得 Sn=81(an+2)2，由此得 Sn+1=81(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=81(an+1+2)2(an+2)2，整理得(an+1+an)(an+1an4)=0，由题意知 an+1+an0，an+1an=4 即数列 an 为等差数列，其中 a1=2，公差 d=4an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通项公式为 an=4n2(3)解：令 cn=bn1，那么 22111nnnnnaaaac 112121121221nnnn 121121nn，b1+b2+bnn=c1+c2+cn=1211215131311nn 1211n 11211limlim21nnbbbnnn