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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 1）理科数学一、选择题1设复数 z 满足1z=i，则|z|=（）1z（A）1（B）2（C）3）（D）22sin 20ocos10ocos160o sin10o=（B）（A）3232（C）1（D）1223设命题p：n（A）n N,n2（C）n N,n2N,n22n，则2n2np为（）（B）n N,n2（D）n N,n2=2n2n4投篮测试中，每人投（A）0.6483 次，至少投中2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（B）0.432（C）0.36）（D）0.3125已知 M（
2、x0,y0）是双曲线 C：x2y21上的一点，F1,F2是 C 上的两个焦点，若MF1MF20，则2y0的取值范围是（A）（-）3，33）3（B）（-3，63）6（C）（2 2，2 2）（D）（2 3，2 3）33336九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（A）14 斛7设 D:“今有委米依垣内角，下周八尺，5 尺，问立方尺，圆高五尺。问 :积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）8 尺，米堆的高为1 斛米的体积约为1.62
3、），米（B）22 斛所在平面内一点（C）36 斛（D）66 斛ABC为BC3CD，则（）试卷第 1 页，总 16 页（A）AD1343 AB4313 AC4AD ABAC（B）331（C）ADABAC4（D）ADABAC313f(x)的单调递减区间为（3),k Z8函数f(x)=cos(x（A）(k)的部分图像如图所示，则),kZ（B）(2 k）1,k31,2k（C）(k14,k34),k Z（D）(2k144,2k34),k Z4449执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的n=（）（A）510(x2（A）10（B）6（C）7（D）8）x y)5的展开式中，x5 y2的系数为（
4、B）20（C）30（D）60r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视，则 r=（）11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20（A）1（B）2（C）4（D）812设函数f(x)=ex(2x是（）（A）-1)axa,其中 a1，若存在唯一的整数x0，使得 f(x0)0，则a的取值范围3，1）（B）-2e3，3）（C）3，3）（D），1）2e42e42e3二、填空题试卷第 2 页，总 16 页13若函数 f（x）=xln(xax2)为偶函数，则 a=14一个圆经过椭圆x2y21 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.164x
5、1015若x,y满足约束条件xy0，则y的最大值为 .xxy4016在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB的取值范围是 .三、解答题17（本小题满分 12 分）Sn为数列 an 的前n项和.已知an 0，a2a=4Sn3.nn（）求 an 的通项公式；（）设 b1n,求数列 bn 的前n项和.an an 118如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD同一侧的两点，BE平面 ABCD，面 ABCD，BE=2DF，AE EC.（）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.19某公司为确定下一年度投入某种产品
6、的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.试卷第 3 页，总 16 页平 DFxyw88282i18(xix)i 1(wi w)i 1(xi x)(yi y)1469(wi w)(yi y)i 146.656.36.8289.881.6108.8表中 wix，w=1i8i 1wi（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的
7、判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？别为：20（本小题满分 12 分）在直角坐标系xoy中，曲线 C：y=与直线ykxa（a0）交与 M,N两点，x24（）当k=0 时，分别求 C 在点 M和 N 处的切线方程；P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.3（）y
8、轴上是否存在点21（本小题满分 12 分）已知函数f（x）=x ax1,g(x)ln x.4试卷第 4 页，总 16 页（）当 a 为何值时，x 轴为曲线yf(x)的切线；（）用 min的个数.m,n表示 m,n 中的最小值，设函数h(x)min f(x),g(x)(x 0)，讨论 h（x）零点22（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB是的直径，AC 是的切线，BC 交于 E.（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是的切线；（）若 OA3CE，求ACB 的大小.23（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy中，直线C1:半轴为极轴建立极
9、坐标系 .（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为x=2，圆C2：x 1y 21,以坐标原点为极点，x轴的正R，设C2与C3的交点为M,N,求C2 MN的面积.424（本小题满分 10 分）选修4 5：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 .试卷第 5 页，总 16 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案及解析【答案解析】1.【答案】A【解析】由1z1 zi得，z=i，故|z|=1，故选 A.1i=(1 i)(11 i(1 i
10、)(1 i)i)考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式 =sin 20 cos10oocos20 sin10=sin 30=，故选 D.2ooo1考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C【解析】p:nN,n22n，故选 C.考点：本题主要考查特称命题的否定4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.40.63=0.648，故选 A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】A【解析】由题知F1(3,0),F2(3,0)，x022y021，所以MF1MF2=(3 x0,
11、y0)(3x0,y0)=x20y2 3 3y2010，解得03y033，故选 A.3考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法6.【答案】B.【解析】设圆锥底面半径为r，则12 3r8=r故堆放的米约为3209416，所以米堆的体积为31 14 33 (16)25=320，391.62 22，故选 B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式试卷第 6 页，总 16 页7.【答案】A【解析】由题知ADACCDAC1BC AC1(ACAB)=1 AB43 AC，故选 A.考点：平面向量的线性运算8.【答案】D33314+【解析】由五点作图知，2，解得=，=4，所以 f(x)cos(x
12、)，令5+43242kx2 k,kZ，解得 2k14 x2k3，kZ，故单调减区间为（2k1，2k34），4kZ，故选 D.44考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第 1次，t=0.01,S=1,n=0,m=1=0.5,S=S-m=0.5,mm2=0.25,n=1,S=0.5 t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m=0.25,mm2=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.125,m2m执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m2m=0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是，循环，=0.03125,n=
13、4,S=0.0625 t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125,m2m=0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是，循环，=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625,m2m执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m2m2=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图10.【答案】C【解析】在(x2xy)5的 5 个因式中，2 个取因式中x2剩余的 3 个因式中1 个取x，其余因式取 y,故
14、x5y2的系数为 C52 C31C22=30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解11.【答案】B.【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为14 r2r 2rr22r 2r=5 r24r2=16+20，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D2
15、试卷第 7 页，总 16 页【解析】设 g(x)=ex(2x方.因为1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得 g(x0)在直线yaxa的下g()x(2x1)，所以当x11时，g(x)0，当x212g(x)0，所以当x12 g(x)max=-2e当 x2，0时，g(0)=-1，g(1)3e 0，直线y axa恒过（1,0）斜率且a，故a g(0)1，且g(1)3e1a a，解得3 a1，故选 D.2e考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知yln(x a x2)是奇函数，所以 ln(x0，解得a=1.a x2)ln(x a x2)=ln
16、(ax2x2)ln a考点：函数的奇偶性14.【答案】(x3)22y2254【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4 a)2a22，解得a232，故圆的方程为(x3)22y225.4考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3.试卷第 8 页，总 16 页考点：线性规划解法16.【答案】（62，6+2）【解析】如图所示，延长BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB最长，在 BCE 中，B=C=
17、75，E=30，BC=2，由正弦定理可得BCBEsin C，即2oBEsin 75o，解得 BE=6+2，sinEBFsin 30平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与AB交于 F，在 BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，BFsinFCBBCsinBFC，即osin 302，解得 BF=osin 7562，所以 AB的取值范围为（62，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想17.【答案】（）2n1（）1614n 6【解析】试题分析：（）先用数列第 n项与前 n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列再用拆项消
18、去法求其前试题解析：（）当 n当 nan 是等差an 的通项公式；（）根据（）数列 bn 的通项公式，n项和.1时，a122a14S1 34a1+3，因为an1 an 1=4Sn0，所以 a1=3，2时，an2anan23 4Sn 13=4an，即(anan 1)(an an 1)2(anan 1)，因为an0，所以 anan 1=2，所以数列 an 是首项为3，公差为 2 的等差数列，试卷第 9 页，总 16 页所以 an=2n1；（）由（）知，bn=(2 n111(1)(2n 3)22n11)，2n3所以数列 bn 前 n 项和为b1b2bn=1(11)(12 351)5 7(11)=11
19、.2n 1 2n 364n 6考点：数列前n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【答案】（）见解析（）33【解析】试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD中，不妨设 GB=1 易证 EG AC，通过计算可证 EG FG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析：（）连接 BD，设 BDAC=
20、G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1，由 ABC=120，可得 AG=GC=3.由 BE平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC，又 AE EC，EG=3，EG AC，在 Rt EBG 中，可得 BE=2，故 DF=2.2在 Rt FDG 中，可得 FG=6.2在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2，DF=2可得 EF=32，22 EG2FG2EF2，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC.试卷第 10 页，总 16 页（）如图，以 G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单
21、位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得 A（0，3，0），E（1,0,2），F（1,0，22），C（0，3，0），AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，22）.10 分故 cos AE,CFAE CF|AE|CF|33.所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为3.3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19【.答案】（）yc dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）y100.668x（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令 wx，先求出建立y关于 w的线性回归方程，的预报
22、值，再根据年利率费用.试题解析：即可 y关于x的回归方程；（）（）利用 y关于x的回归方程先求出年销售量 yz 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x即可年利润z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传（）由散点图可以判断，yc d x适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.8(wi w)(yi8y)（）令 wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于di 1=108.816=68，i 1(wiw)2试卷第 11 页，总 16 页 cydw=563-68 6.8=100.6.y100.668w，100
23、.6 68x.y关于w的线性回归方程为 y关于x的回归方程为y（）（）由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值y100.66849=576.6，z576.6 0.24966.32.（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值z0.2(100.668x)x当x13.6 x20.12，x=13.62=6.8，即 x46.24时，z取得最大值.故宣传费用为 46.24千元时，年利润的预报值最大 .12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】（）axya0或axya0（）存在【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判
24、定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线 C 的方程整理成关于x的一元二次方程，设出 M,N的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a)，N(2 2,a)，或 M(2 2,a)，N(2 a,a).a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为 y12 x，故 yx2在 x=2 2a处的到数值为4y a故 ya(x 2 a)，即 ax y a 0.x24在 x=-22a处的到数值为-a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为y aa(x 2
25、 a)，即axyax y a 0.a 0或 ax y故所求切线方程为a0.（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1,k2.试卷第 12 页，总 16 页将 ykxa代入 C 得方程整理得x24kx4a0.x1x24k,x1 x2y1 bx124a.k1k2yb=x22kx1x2 (a b)(x1x1 x2x)k(a b)2=.aPN 的倾斜角互补，当 ba时，有k1k2=0，则直线 PM 的倾斜角与直线故 OPM=OPN，所以P(0,a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；
26、运算求解能力21.【答案】（）a3544a；（）当 a34或 a54时，h(x)由一个零点；当 a34或 a54时，h(x)有两个零点；当34时，h(x)有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）根据对数函数的图像与性质将x分为x1,x 1,0 x1研究 h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：（）设曲线 yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x)00，f(x0)0，即x30ax03x20a104，0解得 x01因此，当 a,a3.2434时，x轴是曲线yf(x)的切线.（）当 x (1,)时，g(
27、x)ln x0，从而 h(x)min f(x),g(x)g(x)0，h(x)在（1，+）无零点.当 x=1 时，若a54，则 f(1)a540，h(1)min f(1),g(1)g(1)0,故x=1 是 h(x)的零点；若 a54，则f(1)a540，h(1)min f(1),g(1)f(1)0,故x=1 不是h(x)的零点.当 x (0,1)时，g(x)（）若 aln x 0，所以只需考虑 f(x)在（0,1）的零点个数.0，则 f(x)3或 a543x2a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)1，4f(1)a，所以当a3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a0 时，f
28、(x)在（0，1）无零点.试卷第 13 页，总 16 页（）若3a 0，则f(x)在（0，a）单调递减，在（a31x=a3时，f(x)3a3取的最小值，最小值为f(a)=2a33431.4若 f(a3)0，即a0，f(x)在（0,1）无零点.若 f(a)=0，即 a3，则 f(x)在（0,1）有唯一零点；43若 f(a3)0，即3 a34，由于 f(0)1，f(1)a54，所以当54a34时，f(x)在（0,1）4有两个零点；当3 a345综上，当a或 a454时，f(x)在（0,1）有一个零点.10 分时，h(x)由一个零点；当a34或 a5时，h(x)有两个零点；当54a34时，h(x)有
29、三个零点.4考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE BC，AC AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证 DEC+OEB=90，即 OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由OA3CE得，AB=23，设 AE=x，由勾股定理得BE12 x2，由直角三角形射影定理可得AE2CEBE，列出关于 x的方程，解出试题解析：（）连结x，即可求出ACB 的大小.AE，由已知得，AE BC，AC AB，在 Rt AEC 中，由已知得 D
30、E=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线.（）设 CE=1，AE=x,由已知得 AB=2由射影定理可得，x23，BE12 x2，AE2CE BE，12 x2，解得 x=3，ACB=60.试卷第 14 页，总 16 页考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【答案】（）cos2,22cos4 sin4 0（）12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得2C1，C2的极坐标方程；（）将将=代入42 cos4 sinx40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出
31、sin，2C2MN的面积.试题解析：（）因为 C1的极坐标方程为cos,ycos2分2，C2的极坐标方程为2 cos24 sin0，解得4 0.5（）将=代入422 cos4sin4 0，得3 2 41=2 2，2=2，|MN|=1=2，因为 C2的半径为1，则C2MN的面积1考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【答案】（）221 sin 45o=1.2 x|x2（）（2，+）23【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不
32、等式，即可解出 a的取值范围.试题解析：（）当a=1 时，不等式 f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于x1x 1 2x 2 1或1 x1或x1x1 2 x 2 1，解得x 1 2 x 2 12x 2，3所以不等式f（x）1 的解集为 x|2x 2.3试卷第 15 页，总 16 页x1 2a,x3x1 2a,1x1x a，（）由题设可得，f(x)1 2a,x a所以函数 f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a 13,0)，B(2 a1,0)，C(a,a+1)，所以 ABC 的面积为由题设得22(a 1)2.3(a 1)2 6，解得a2.3所以 a的取值范围为（2，+）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法试卷第 16 页，总 16 页