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1、2.2.2 反证法 课后训练案巩固提升 一、A 组 1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设;已知条件;定义、公理、定理等;原结论.A.B.C.D.解析:除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案:C 2.实数 a,b,c 不全为正数,是指()A.a,b,c 均不是正数 B.a,b,c 中至少有一个是正数 C.a,b,c 中至多有一个是正数 D.a,b,c 中至少有一个不是正数 解析:实数 a,b,c 不全为正数,是指 a,b,c 中至少有一个不是正数,故选 D.答案:D 3.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于 60 B.四面体的三组对棱
2、都是异面直线 C.在区间(a,b)内单调的函数 f(x)至多有一个零点 D.若 a,bZ,且 a+b 为偶数,则 a,b 都不是奇数 解析:当 a,bZ,且 a+b 为偶数时,a,b 可以都是偶数,也可以都是奇数,故 D 项错误.答案:D 4.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()A.至少有一个是正数 B.都是正数 C.一个是正数,一个是负数 D.都是负数 解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者 0,其和必为负数或者 0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选 A.答案:A 5.用反证法证明命题“若 a+b+c0,abc0,则 a,b,c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为
3、()A.a,b,c 三个实数中最多有一个不大于零 B.a,b,c 三个实数中最多有两个小于零 C.a,b,c 三个实数中至少有两个小于零 D.a,b,c 三个实数中至少有一个不大于零 解析:“最多有一个”的否定是“至少有两个”.故选 C.答案:C 6.命题“在ABC 中,AB,则 ab”,用反证法证明时,假设应该是 .解析:结论是“ab”,其否定是“ab”.答案:ab 7.“x=0,且 y=0”的否定形式为 .解析:“p 且 q”的否定形式为“p 或q”.答案:x0 或 y0 8.完成反证法证题的全过程.题目:设 a1,a2,a7是由数字 1,2,7 任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a
4、2-2)+(a7-7),求证:p 为偶数.证明:假设 p 为奇数,则 均为奇数.因为 7 个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为 .而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.与矛盾,故假设不成立,故 p 为偶数.解析:由假设 p 为奇数,可知 a1-1,a2-2,a7-7 均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假设不成立,故 p 为偶数.答案:a1-1,a2-2,a7-7 奇数 0 9.已知a,b,c是互不相等的
5、非零实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与 x 轴有两个不同的交点.证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点.由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得 1=(2b)2-4ac0,且 2=(2c)2-4ab0,且 3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设 a,b,c 互不相等矛盾,因此假设不
6、成立,从而原命题得证.10.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点.用反证法证明:直线 ME与 BN 是两条异面直线.证明:假设 ME 与 BN 共面,则 AB平面 MBEN,且平面 MBEN平面 DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得 AB平面 DCEF.又 ABCD,所以 AB平面 DCEF,而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线,所以 ABEN.又 ABCDEF,所以 ENEF,这与 ENEF=E 矛盾,故假设不成立,所以 ME 与 BN 不共面,即直线 ME 与 BN 是两条异面直线.二、B 组 1.用反证法证明
7、命题“如果实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数 解析:“至少有一个”的否定是“一个都没有”.答案:B 2.在ABC 中,若 AB=AC,P 是ABC 内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时应分:假设 和 两类.解析:反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案:BAP=CAP BAPCAP 3.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:a+b1;a
8、+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 (填序号).解析:若 a=,b=,则 a+b1,但 a1,b2,故推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故推不出;若 a+b2,则 a,b 中至少有一个大于 1.用反证法证明:假设 a1 且 b1,则 a+b2 与 a+b2 矛盾,因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于1.故答案为.答案:4.导学号 40294015已知 m 是整数,且 m2+6m 是偶数,求证:m 不是奇数.证明:假设 m 是奇数,不妨设 m=2k-1(kZ),则 m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k
9、-5=4(k2+2k)-5,因为 kZ,所以 k2+2kZ,于是 4(k2+2k)是偶数,从而 4(k2+2k)-5 为奇数,即 m2+6m 是奇数,这与已知条件中的 m2+6m 是偶数相矛盾,因此假设错误,即 m 不是奇数.5.已知 a,b,c,dR,且 a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数.证明:假设 a,b,c,d 都是非负数,即 a0,b0,c0,d0,因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,于是 ac+bd=1-(ad+bc)1,这与 ac+bd1 相矛盾,故假设不成立,即 a,b,c,d 中至少有
10、一个是负数.6.设an是公比为 q 的等比数列.(1)推导an的前 n 项和公式;(2)设 q1,证明数列an+1不是等比数列.(1)解:设an的前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=a1+a1+a1=na1;当 q1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)证明:假设an+1是等比数列,则对任意的 kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.