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1、.指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质(1)理解 n 次方根,n 次根式的概念及其性质,能根据性质进展相应的根式计算;(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进展根式与分数指数幂的互化;(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值围推广到实数集;3.通过指数围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力;4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过外表去认清事物的本质【要点梳理】要
2、点一、整数指数幂的概念及运算性质 1整数指数幂的概念 2运算法则 1nmnmaaa;2 mnnmaa;30anmaaanmnm,;4 mmmbaab.要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义:假设*n=y(nN*,n1,yR),则*称为 y 的 n 次方根.n 为奇数时,正数 y 的奇次方根有一个,是正数,记为ny;负数 y 的奇次方根有一个,是负数,记为ny;零的奇次方根为零,记为00 n;n为偶数时,正数y的偶次方根有两个,记为ny;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为00n.2两个等式 1当1n 且*nN时,nnaa;2)(|)(,为偶数为奇数nanaann 要点诠释:要注意
3、上述等式在形式上的联系与区别;计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成|a的形式,这样能防止出现错误 要点三、分数指数幂的概念和运算法则.为防止讨论,我们约定 a0,n,mN*,且mn为既约分数,分数指数幂可如下定义:要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质(1);aaa (2)();aa(3)();aba b 当 a0,p 为无理数时,ap是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释:(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;(2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时
4、可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(;(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的;无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质在化简运算中,也要注意公式:a2b2ab ab,ab2a22abb2,ab3a33a2b3ab2b3,a3b3ab a2abb2,a3b3ab a2abb2的运用,能够简化运算.【典型例题】类型一、根式 例 1.求以下各式的值:15242544(3);(2)(10);(3)(3);
5、(4)()ab.【答案】-3;10;3;0abba(ab)(a=b)(ab)(a=b)(a【总结升华】1 求偶次方根应注意,正数的偶次方根有两个,例如,4 的平方根是2,但不是42.2根式运算中,经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,何时可换.举一反三:【变式 1】计算以下各式的值:133(2);224(9);366(4);488(2)a.【答案】1-2;23;34;42(2)2(2)aaa a.例 2.计算:152 674 364 2;2112121.【答案】2 2;2 2【解析】对于1需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质求解.对于2,则应分
6、子、分母同乘以分母的有理化因式.152 674 364 2=22(3)2 32(2)+2222 2 3(3)-2222 2 2(2)=222(32)(23)(22)=|32|+|23|-|22|=32+23-22=22 2112121 =2121(21)(21)(21)(21)=2121 =2 2【总结升华】对于多重根式的化简,一般是设法将被开方数化成完全n次方,再解答,或者用整体思.想来解题.化简分母含有根式的式子时,将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可,如本例 2 中,121的分子、分母中同乘以(21).举一反三:【变式 1】化简:1343432 2(12)(12);2222169(|3
7、)xxxxx 【答案】121;222(31),4(13).xxx 类型二、指数运算、化简、求值 例 3.用分数指数幂形式表示以下各式式中a0:12aa;2332aa;3a a;423633yxyxyx【答案】52a;113a;34a;54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质化简即可 1115222222;aaaaaa 2221133323333aaaaaa;31131322224()()a aa aaa;4解法一:从里向外化为分数指数幂 23633yxyxyx=123633()yxyxyx=232yxyxyx=1222()yxyx=11222yxyx=54y 解法二:从外
8、向里化为分数指数幂 23633yxyxyx=1236233()yxyxyx=112362233()yxyxyx=1112363223()yxyxyx.=11123624123yxyxyx =54y【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,1)mnmnaaam nN且n当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,用分数指数幂写出,然后再用性质进展化简 举一反三:高清课程:指数与指数运算 例 1【变式 1】把以下根式用指数形式表示出来,并化简 152aa;63xxx【答案】11310102 a;223x【变式 2】把以下根式化成分数指数幂:168 2;2(0)a a a;3332bb
9、;452231()xx【答案】7122;34a;113b;35x【解析】168 2=117766322122222;21331322224()a aa aaaa;3211332333bbbbb;452231()xx=243325511()xxx x =35913935355111()xxxx 例 4.计算:(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88;(2)433333391624337(3)2633634125(36)(4)(3)【答案】3;0;2.【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211;(2)原式=033236373333;(3)原式=-
10、5+6+4-(3-)=2;注意:1运算顺序(能否应用公式);2指数为负先化正;3根式化为分数指数幂.举一反三:【变式 1】计算以下各式:(1)63425.0031)32(28)67()81(;(2)33323323134)21(428aabbababaa.【答案】112;a【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(181123222324143;(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaaababaa331331313131)2()()8(.【变式 2】计算以下各式:高清课程:指数与指数运算 例 3【答案】21+
11、15 64【解析】原式=16+6+5+26+346=21+15 64 例 5.化简以下各式.(1)2132111136251546xyx yx y;(2)111222mmmm;(3)10.5233277(0.027)21259.【答案】1624y;1122mm;0.09【解析】(1)即合并同类项的想法,常数与常数进展运算,同一字母的化为该字母的指数运算;(2)对字母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系;(3)具体数字的运算,学会如何简化运算.(1)2132111136251546xyx yx y(2)2112211122111122222mmmmmmmmmm(3)10.5233
12、277(0.027)21259 举一反三:.【变式 1】化简:233()xyxy.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222()()xyxyxyxyx y.注意:当 n 为偶数时,(0)|(0)nna aaaa a.【变式 2】化简222222223333xyxyxyxy【答案】32xyxy【解析】应注意到223xx与之间的关系,对分子使用乘法公式进展因式分解,原式22223333333322223333()()()()xyxyxyxy 2332()2xyxyxy .【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;(2)被开方数分母为
13、1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简以下式子:(1)33223(2)4 22 6 (3)3232x2x1x3x3x1 【答案】2 26;44182;2x(x1)2(x1)【解析】(1)原式22(33)2(33)2(33)33242 32(31)(2)222444444(182)(18)2 182(2)由平方根的定义得:444 22 6182(3)33233x3x3x1(x1)x1 32322x(x1)x2x1x3x3x12(x1).高清课程:指数与指数运算 例 4 例 632121xx,求23222323xxxx的值.【答案】13【解析】从条件中
14、解出x的值,然后代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件32121xx的联系,进而整体代入求值 32121xx,129xx,17xx 22249xx,2245xx 23222323xxxx=11122()(1)3472xxxx =3(7 1)315145453【总结升华】对于条件求值问题一定要弄清与未知的联系,然后采用整体代换或化简后代换方法求值此题的关键是先求3322xx及22xx的值,然后整体代入 举一反三:【变式 1】求值:(1)11225xx,求21xx的值;(2)a0,b0,且 ab=ba,b=9a,求 a 的值.【答案】23;43【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题
15、.(1)由11225xx,两边同时平方得*+2+*-1=25,整理得:*+*-1=23,则有2123xx;(2)a0,b0,又 ab=ba,1119()()(9)ababbbababaa 8182499933aaa.稳固练习 一、选择题 1.假设13x,则21 69xx等于 A.31xB.1 3xC.2(1 3)xD.非以上答案 2.假设33(3)a,44(2)b,则ab A.1B.5 C.-1D.25 3.计算2 13 2 242的结果是 A.32 B.16 C.64 D.128 4.化简1111132168421212121212,结果是 .A.113211 22B.11321 2 C.1
16、3212 D.1321122 5.44366399aa 等于 A.16aB.8aC.4aD.2a 6.假设1,0ab,且2 2bbaa,则bbaa的值等于 A.6 B.2 C.2 D.2 二、填空题 7.计算7 37 34=.8.化简(21)(12)bbb=.9.221331(2)(2)2=.10.假设3,2ab化简224(4129)aabb=.三、解答题 11.计算:111221233112534316;212323410.02750 0.00164.12.计算以下各式:1011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ;21122111122222ababababab。1
17、3.计算:232111333311111xxxxxxxx.稳固练习 一、选择题 1.化简1111132168421212121212,结果是 A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.1321122 2.计算2 13 2 242的结果是 A.32 B.16 C.64 D.128 3.假设1,0ab,且2 2bbaa,则bbaa的值等于 A.6 B.2 C.2 D.2 4.以下各式中错误的选项是 A.21153151(1)aaaa B.269463(,0)abab a b C.12211133342423424(,0)x yxyx yy x y D.1133241153241
18、53(,0)525a b cac a b cab c 5.122、133、166这三个数的大小关系为 A.166 133 122 B.166 113223 C.122 133 166 D.133 122 166 6.定义在R上的奇函数()f x和偶函数()g x满足()()2xxf xg xaa 0,1aa且,假设(2)ga,则(2)f A.2 B.154 C.174 D.2a 二、填空题 7.212)2(.8.1133223232=.9.假设0 x,则13131142422223234()xxxxx=.10.14aa,则1122aa=.三、解答题 11.计算:111221233112534316;212323410.02750 0.00164.12.计算以下各式:1011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ;21122111122222ababababab 13.计算:232111333311111xxxxxxxx 14.2212213333334,3,3abxaa byba b.求证:2233xyxy为定值.15.1化简:111321114322abcc aa bb ca bb cc ax yx yxxx;2)0,0)(21baabbax,求11222xxxb的值.