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1、 相似三角形教案 教学目标：1知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。2能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。教学过程：一、复习 什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?二、新课 1相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似。三角形是最简单的多边形。由此可以说什么样的两个三角形相似?如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在ABC与A B C 中，A A，B B，C C ABA B BCB C ACA C 那么ABC与A B C 相似，记作ABCA B C；“”是表示相似
2、的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“ABC相似于A B C”。由于A A，B B，C C，所以点 A 的对应顶点是 A，B 与 B 是对应顶点，C 与 C 是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边如果记ABA B BCB C ACA C K，那么这个K 就表示这两个相似三角形的相似比相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系如ABCA B C，它的相似比为 K，即指ABA B K，那么A B C 与ABC的相似比应是A B AB，就不是 K 了，应为多少呢?同学们想一想?2ABC中，D，E 是 AB、AC 的中点，连结 DE
3、，那么ADE与ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少?如果点 D 不是 AB 中点，是 AB 上任意一点，过 D 作 DEBC，交 AC 边于 E，那么ADE与 ABC是否也会相似呢?判断它们是否相似，由对应角是否相等，对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出，而对应边是否成比例呢?目前还没有什 么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现ADABAEACDEBC 所以可以判断出ADE与ABC会相似。若是如图 DEBC，与 BA、CA 延长线交于 D、E，那么ADE与ABC还会相似吗?试一试看。如果相似写出它们对应边的比
4、例式 3 如果ABCA B C，相似比 K 1，你会发现什么呢?ABA B BCB C ACA C 1，所以可得 ABA B,BCB C，ACA C，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：全等的两个三角形一定相似吗?相似的两个三角形会全等吗?全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?4例：如果一个三角形的三边长分别是 5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形较大?要计算出它的周长
5、还需求什么?根据什么来求?三、练习 判断下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例 四、小结 1 填空。的三角形叫做相似三角形。2两个相似三角形的相似比为 1，这两个三角形有什么关系?3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。五、作业 P54 1、2、3。教学目标：1 会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。2 会用这种方法判断两个三角形是否相似。教学过程：一、复习 1两个矩形一定会相似吗?为什么?2如何判断两个三角形是否相似?根据定义：对应角相等，对应边成比例。3 如图ABC与B
6、C 会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是 30的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。(1)是 45角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。(2)是 30的三角尺，那么另一个锐角为 60，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢?这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试：1 画两个三角形，使它们
7、的三个角分别相等。画ABC与DEF，使A D、B E，C F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么?实际画图中，只画A D，B E，则第三个角C 与F 一定会相等，这是根据三角形内角和为 180所确定的。2用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。3发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。4两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的
8、两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢?例题：1 如图两个直角三角形ABC和A B C 中，C C 90，A A，判断这两个三角形是否相似。2 在ABC与A B C 中,A A 50，B 70，B 60，这两个三角形相似吗?3 如图，ABC中，DEBC，EFAB，试说明ADEEFC。三、练习 1ABC中，ACB90，CDAB 于 D，找出图中所有的相似三角形。2ABC中，D 是 AB 的边上一点，过点 D 作一直线与 AC 相交于 E，要使ADE与ABC会相似，你怎样画这条直线，并说
9、明理由。和你的同伴交流作法是否一样?四、小结 本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两个三角形相似。五、作业 P64 1 第二课时 相似三角形的识别(二)教学目标 1会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似。2 能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。教学过程 一、复习 1现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。2如图ABC中，D、E 是 AB、AC 上三等分点(即 AD13 AB，AE13 AC)，那么ADE与
10、ABC相似吗?你用的是哪一种方法?由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似?(可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。二、新课讲解 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：ADEABC。从已知条件看，ADE与ABC有一对应角相等，即A A(是公共角)，而一个条件是 AD13AB，AE13AC，即是ADAB13，AEAC13；因此ADABAEAC。ADE的两条边 AD、AE 与ABC的两条边 AB、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也
11、会相似吗?我们再做一次实验。观察图，如果有一点 E 在边 AC 上，那么点 E 应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢?图中两个三角形的一组对应边 AD 与 AB 的长度的比值为13，将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE13AC 时，ADE与ABC相似。此时ADABAEAC 同学们画两个三角形，ABC与A B C，使之A A，AB2AB,AC2AC,量一量 BC 与 B C 的长,计算 BC:BC 与同伴交流，BCB C 是否与ABA B，ACA C 相等?再量一量B 与B、C 与C，它们是否对应相等呢?这样的两个三角形相似吗?于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
12、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗?(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)B B，ABA B ACA C 例题：1(课本中例 3)判断图中AEB与FEC是否相似?2如图ABC中，D、E是 AB、AC 上点，AB7.8，AD3，AC6，CE2.1，试判断ADE与ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：解：因为 ACAE+CE，而 AC6，CE2.1
13、，故 AE6-2.13.9 由于ADABAEAC 所以ADE与ABC不会相似。你同意小张同学的判断吗?请你说说理由。小张同学的判断是错误的。因为ADAC36，AEAB3.97.812 所以ADACAEAB 而 A 是公共角，A A，所以ADEACB 请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似?看课本页“做一做”。通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单说成：三边成比例两三角形相似。例:ABC和A B C 中，AB6cm，BC8cm，ACl0cm，A B 18cm，B C 24cm，A C 30cm，试判
14、定它们是否相似，并说明理由。三、练习 课本 59 页 练习 1、2，3 四、小结 到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出 五、作业 P64 4 3 相似三角形的性质 教学目标 会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。教学过程 一、复习 1识别两个三角形相似的简便方法有哪些?2 在ABC与A B C 中，ABl0cm，AC6cm，BC8cm，A B 5cm，A C 3cm，B C 4cm，这两个三角形相似吗?说明理由。如果相似，它们的相似比是多少?二、新课讲解 上述两个三角
15、形是相似的，它们对应边的比就是相似比，ABCA B C，相似比为ACA C 2。相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢?一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。同学画出上述的两个三角形，作对应边 AB 和 A B 边上的高，用刻度尺量一量 CD 与C D 的长，CDC D 等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形
16、对应角平分线的比等于相似比。两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的 2倍，(3)的各边长分别是(1)的 3 倍，所以它们都是相似的，填空：(2)与(1)的相似比为()，(2)与(1)的面积比为()，(3)与(1)的相似比为()，(3)与(1)的面积比为()(3)与(2)的相似比为()，(3)与(2)的面积比为()。以上可以看出当相似比为 K 时，面积比为 K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。三、练习 1.ABCA B C，相似比为 3:2，则对应中
17、线的比等于()。2相似三角形对应角平分线比为 0.2，则相似比为()，周长比为()，面积比为()3 ABCA B c，相似比为13，已知A B C 的面积为 18cm2，那么 ABC的面积为()。四、小结（填空形式，同学回答）相似三角形（）相等，（）的比等于相似比，面积的比等于（）。五、作业 P64 2、6 4、相似三角形的应用 教学目标 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。教学过程 一、复习 1、相似三角形有哪些性质?2 如图，B、C、E、F 是在同一直线上，ABBF，DEBF，ACDF，(1)DEF与ABC相似吗?为什么?(2)若 DE1，EF2，BC10，那么 AB
18、等于多少?二、例题讲解 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出 AB 的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。例 1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O B，比较棒子的影长 A B 与金字塔的影长 AB，即可近似算出 金字塔的高度 OB，如果 O B l，A B 2，AB274，求金字塔的高度 OB。这实际上与上述问题是一样的。例 2 我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一岸上选点 B
19、 和 C，使 ABBC，然后选点 E，使 ECBC，用眼睛测视确定 BC 和 AE 的交点 D，此时如果测得 BD120米，DC60米，EC50 米，就能算出两岸间的大致距离 AB。例 2：如图 243 13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选定点 B 和 C，使 ABBC，然后，再选点 E，使 ECBC，用视线确定 BC 和 AE的交点 D 此时如果测得 BD120米，DC60 米，EC50 米，求两岸间的大致距离 AB 解 ADBEDC，ABCECD90，ABDECD（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），
20、解得 （米）答：两岸间的大致距离为 100米 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法 例 3：如图 243 14，已知：D、E 是ABC的边 AB、AC 上的点，且ADEC 求证：ADABAEAC 证明 ADEC，A A，ADEACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），ADABAEAC 三、练习 1 到操场上用例 1 的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。2 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为 1.8米的竹竿的影长为 3 米，此时某高楼影长为 60 米，那么高楼的高度为多少米?四、小结 本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。五、作业 P64习题 24、3 第 6 题