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1、学案 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 自主梳理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其关系(1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(pq)；逆命题：若 q 则 p(qp)；否命题：若綈 p 则綈 q(綈 p綈 q)；逆否命题：若綈 q 则綈 p(綈
2、 q綈 p)(2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件 若 pq，则 p 叫做 q 的充分条件；若 qp，则 p 叫做 q 的必要条件；假如 pq，则 p 叫做 q 的充要条件 自我检测 1(2010湖南)下列命题中的假命题是()AxR，lg x0 BxR，tan x1 CxR，x30 DxR,2x0 答案 C 解析 对于 C 选项，当 x0 时，030，因此xR，x30 是假命题 2(2010陕西)“a0”是“|a|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既
3、不充分也不必要条件 答案 A 解析 a0|a|0，|a|0a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件 3(2009浙江)“x0”是“x0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于“x0”“x0”，反之不愿定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要条件 4若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的()A逆否命题 B逆命题 C否命题 D原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知，s 是 p 的逆命题 t 的否命题 5(2011宜昌模拟)与命题“若 aM，则 bM”等价的命题是()A若
4、 aM，则 bM B若 bM，则 aM C若 aM，则 bM D若 bM，则 aM 答案 D 解析 由于原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可 探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题，推断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，假如直接推断命题本身的真假比较困难，则可以通过推断它的等价命题的真假来确定 解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题 否命题：若一个数不是实
5、数，则它的平方不是非负数真命题 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题 变式迁移 1 有下列四个命题：“若 xy0，则 x，y 互为相反数
6、”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x22xq0 有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题的序号为_ 答案 解析 的逆命题是“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；若 q1，则 44q0，所以 x22xq0 有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假 探究点二 充要条件的推断 例 2 给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么条件(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相像；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方
7、程 x2xm0 无实根(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等 解(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0 x20.p 是 q 的充分不必要条件(2)两个三角形相像两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相像 p 是 q 的必要不充分条件(3)m2方程 x2xm0 无实根；方程 x2xm0 无实根m2.p 是 q 的充分不必要条件(4)矩形的对角线相等，pq；而对角线相等的四边形不愿定是矩形，qp.p 是 q 的充分不必要条件 变式迁移 2(2011邯郸月考)下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是()p：m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点；p：fxfx1；q：
8、yf(x)是偶函数；p：cos cos；q：tan tan；p：ABA；q：UBUA.A B C D 答案 D 解析 q：yx2mxm3 有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m6p；当f(x)0 时，由 qp；若，k2，kZ 时，明显 cos cos，但 tan tan；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合题意 探究点三 充要条件的证明 例 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的
9、必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性 证明(1)必要性：设方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0，则 x202ax0b20，x202cx0b20，两式相减可得 x0b2ca，将此式代入 x202ax0b20，可得 b2c2a2，故A90，(2)充分性：A90，b2c2a2，b2a2c2.将代入方程 x22axb20，可得 x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程 x22cxb20，可得 x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根 x(ac)所以方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90.变式迁
10、移 3 已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20.证明(1)必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又 ab0，a0 且 b0.a2abb2(ab2)234b20.ab10，即 ab1.综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20.转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m50，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件【答题模板】解 mx24x40 是一元二次方程，m0.2 分 另一方程为 x24mx4m24m50，两方程都要有实根，1161m0，216m244m24m50，解得 m54，1 6 分 两根为整数，故和与积也为整数，