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1、第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 知 识 梳 理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q/p p 是 q 的必要不充分条件 p/q 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q
2、的既不充分也不必要条件 p/q 且 q/p 若 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件；(2)若 AB，则 p 是 q 的必要条件；(3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；(5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件；(6)若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)“x22x33，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若
3、 a6，则 a3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有 2 个假命题.4.(2021台州评估测试)已知 a，bR，则“3a3b”是“a3b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为 3a3bab，aba3b3，所以“3a3b”是“a3f(0)对任意的 x(0，2都成立，则 f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_.答案(1)D(2)f(x)sin x(答案不唯一)解析(1)由 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 f(x)exm0 恒成立，m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数
4、 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”是真命题.(2)这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 f(x)f(0)对任意 x(0，2都成立，且函数 f(x)在0，2上不是增函数即可.如 f(x)sin x，答案不唯一.感悟升华(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，
5、可转化为判断其等价命题的真假.【训练 1】(1)命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题及其真假性为()A.“若 x4，则 x23x40”为真命题 B.“若 x4，则 x23x40”为真命题 C.“若 x4，则 x23x40”为假命题 D.“若 x4，则 x23x40”为假命题(2)原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 答案(1)C(2)B 解析(1)根据逆否命题的定义可以排除 A，D；由 x23x40，得 x4 或1，所以原命题为假命题，所以
6、其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取 z11，z2i，满足|z1|z2|，但是 z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假.考点二 充分条件与必要条件的判定【例 2】(1)(2020浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2020北京卷)已知，R，则“存在 kZ 使得 k(1)k”是“sin sin”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不
7、充分也不必要条件 答案(1)B(2)C 解析(1)由 m，n，l 在同一平面内，可能有 m，n，l 两两平行，所以 m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出 m，n，l 两两相交.由 m，n，l 两两相交且 m，n，l不经过同一点，可设 lmA，lnB，mnC，且 An，所以点 A 和直线 n确定平面，而 B，Cn，所以 B，C，所以 l，m，所以 m，n，l 在同一平面内.故选 B.(2)若 k 为偶数，设 k2n(nZ)，则 2n，有 sin sin(2n)sin；若 k 为奇数，设 k2n1(nZ)，则(2n1)，有 sin sin(2n1)sin(2n)sin()sin.充分性成立.若
8、 sin sin，则2k 或 2k(kZ)，即 2k 或(2k1)(kZ)，故 k(1)k(kZ).必要性成立.故应为充分必要条件.故选 C.感悟升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 pq，qp 进行判断.(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1 或 y1”的何种条件，即可转化为判断“x1 且 y1”是“xy1”的何种条件.【训练 2】(1)(2018北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab
9、|”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知 x，y 为实数，则“xy0”是“|xy|xy|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案(1)C(2)C 解析(1)|a3b|3ab|，(a3b)2(3ab)2，a26ab9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0，ab；反之也成立.故选 C.(2)由不等式的性质，知|xy|xy|(xy)2(xy)2xy0，则“xy0”是“|xy|xy|”的充分必要条件.故选 C.考点三 充分条件、必要条件的应用 【例 3】已知 Px|x2
10、8x200，非空集合 Sx|1mx1m.若“xP”是“xS”的必要条件，求 m 的取值范围.解 由 x28x200，得2x10，Px|2x10.“xP”是“xS”的必要条件，则 SP.1m2，1m10，解得 m3.又S 为非空集合，1m1m，解得 m0，综上，可知当 0m3 时，“xP”是“xS”的必要条件.【变式迁移】本例条件不变，若“xP”是“xS”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知 Px|2x10.“xP”是“xS”的充分不必要条件，PS.2，101m，1m.1m2，1m10或1m2或a10，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命题是()A.若方程 x2xm0 有实根，则
11、 m0 B.若方程 x2xm0 有实根，则 m0 C.若方程 x2xm0 没有实根，则 m0 D.若方程 x2xm0 没有实根，则 m0 答案 D 解析 根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2xm0 没有实根，则 m0”.2.(2021杭州质检)设 xR，则“x2”是“|x|2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由|x|2 得 x2 或 x2，所以“x2”是“|x|2”的充分不必要条件，故选 A.3.设，是两个不同的平面，m 是直线且 m，则“m”是“”的()A.充分不必要条
12、件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 m，m/，但 m，m，“m”是“”的必要不充分条件.4.(2020金华十校期末调研)已知条件 p：x1，条件 q：1x1，则 p 是 q 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由题意得 p：x1，q：1x1，则1x10，1xx0，解得 x1 或 x0，所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.5.(2021北京朝阳区一模)已知 a，b，cR，给出下列条件：a2b2；1a1b；ac2bc2，则使得 ab 成立的充分而不必要条件是()A.B.C.D
13、.答案 C 解析 由a2b2，得|a|b|，不一定有 ab 成立，不符；对于，当 a1，b1 时，有1a1b，但 ab 不成立，所以不符；对于，由 ac2bc2知 c0，所以有 ab 成立，当 ab 成立时，不一定有 ac2bc2，因为 c 可以为 0，符合题意.6.(2020宁波适考)已知ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则“a2b22c2”是“ABC 为等边三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ABC 为等边三角形，则 abc，必有 a2b22c2，所以必要性成立，；当 a2b22c2时，若取
14、a2，b4，c 10，满足该条件，但此时ABC 不是等边三角形，所以充分性不成立，所以“a2b22c2”是“ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故选 B.7.(2020宁波期末)已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“S1S52S3”是“d0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若 S1S52S3，即 a15a110d2(3a13d)，解得 d0；若 d0，S1S56a110d，2S36a16d，10d6d，所以 S1S52S3，所以“S1S52S3”是“d0 的解集为1a，1，q：a0的解集为1a，1 得a0
15、且1a1，解得a0 的解集为1a，1”是“a12”的充分不必要条件.11.“sin cos”是“cos 20”的_条件.答案 充分不必要 解析 cos 20 等价于 cos2sin20，即 cos sin.由 cos sin 得到 cos 20；反之不成立.“sin cos”是“cos 20”的充分不必要条件.12.命题“若 x23x20，则 x1”的逆命题为_，否命题为_，逆否命题为_.答案 若 x1，则 x23x20 若 x23x20，则 x1 若 x1，则 x23x20 解析“若 x23x20，则 x1”的逆命题为“若 x1，则 x23x20”；否命题为“若x23x20，则x1”；逆否命
16、题为“若x1，则x23x20”.13.已知命题 p：axa1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_.答案(0，3)解析 令 Mx|axa1，Nx|x24x0 x|0 x0，a14，解得 0ab，则 a2b2”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.答案 解析 原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2”，错误.原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，正确.原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24”，正确.能力提升题组 15.已知 mR，“函数 y2xm1
17、有零点”是“函数 ylogmx 在(0，)上为减函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 y2xm10，得 m12x，则 m1.由于函数 ylogmx 在(0，)上是减函数，所以 0m|BC|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为点 A，B，C 不共线，所以线段 AB，BC，AC 构成一个三角形 ABC，由向量加法的三角形法则，可知BCACAB，所以|ABAC|BC|等价于|ABAC|ACAB|，因模为非负数，故不等号两边平方得AB2AC22|AB|A
18、C|cos AC2AB22|AC|AB|cos (为AB与AC的夹角)，整理得 4|AB|AC|cos 0，故 cos 0，即 为锐角.反之，易得当AB与AC的夹角为锐角时，|ABAC|BC|，所以“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABAC|BC|”的充分必要条件.故选 C.17.(2017上海卷)已知 a，b，c 为实常数，数列xn的通项 xnan2bnc，nN*，则“存在 kN*，使得 x100k，x200k，x300k成等差数列”的一个必要条件是()A.a0 B.b0 C.c0 D.a2bc0 答案 A 解析 要使 x100k，x200k，x300k构成等差数列，只需要 2x200kx10
19、0kx300k，即 2a(200k)22b(200k)2ca(100k)2b(100k)ca(300k)2b(300k)c 成立，整理得 a0，即充要条件是 a0，故选 A.18.(2020浙江名校联盟三联)已知数列an满足 an1sin an，nN*，则“a10”是“任意 nN*，都有 an1an”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为函数 f(x)sin xx 在 R 上是减函数，且当 x0 时，有 sin xx，所以当 an1sin anan成立时，an0，所以 a10，故必要性成立；当 a10 时，取a132，则 a2
20、sin a11，a3sin(1)1a2，不满足 an1an，所以充分性不成立，故选 B.19.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数 f(x)3log2x 的图象与 g(x)的图象关于_ 对称，则函数 g(x)_(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).答案(不唯一)如x 轴 3log2x；y 轴 3log2(x)；原点 3log2(x)；直线yx 2x3等 解析 点 P(x0，y0)关于 x 轴对称的点是P(x0，y0)，f(x)3log2x 关于 x轴对称的函数解析式为 g(x)3log2x；点 M(x0，y0)关于 y 轴对称的点是 M(x0，y0)，故 f(x)3log2x 关于 y 轴对称的函数解析式为 g(x)3log2(x).其他情形，类似可得.20.已知 ab0，则 a2b2ab2ab0 成立的充要条件是_.答案 ab1 解析 若 a2b2ab2ab0，即(ab)2(ab)0，(ab1)(ab)0，因为 ab0，所以 ab10，即 ab1，由于上述推理可逆，所以 a2b2ab2ab0 成立的充要条件是 ab1.