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1、 2021 年概率论与数理统计考研复习笔记与辅导讲义 第 1 章 随机事件和概率 一、考研辅导讲义 1随机现象与样本空间（1）随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象（2）样本空间 随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点（3）随机事件 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母 A，B，C 等表示 注：随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件 随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成 如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生如果组成事
2、件 A 的一个基本事件出现或发生，也称事件 A 出现或发生 把看成一事件，则每次试验必有中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验必然发生，称为必然事件 把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件（4）随机变量 表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母 X，Y，Z，或者，等表示 2事件间的关系（1）包含关系 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 包含于事件 B，记为或（2）事件相等 若与同时成立，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 AB（3）互斥事件（互不相容事件）若事件 A 与事件 B 满足关系，即 A 与 B 同时发生是
3、不可能事件，则称事件A 和事件 B 为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点 注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：若 n 个事件中任意两个事件均互斥，即，ij，i，j1，2，n，则称这 n 个事件是两两互斥或两两互不相容 如果可数无穷多个事件中任意两个事件均互斥，即，ij，i，j1，2，n，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容【例】对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有（）A如果 P（A）0，则 P（B）0 B如果 P（A）0，则 P（B）1 C如果 P（A）1，则 P（B）0 D如果 P（A）1，则 P（B）1【答案】C 查看答案 【解析】（4）对立
4、事件 如果事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生，则称事件 A 与事件 B 为对立事件或互逆事件，记为或 注：如果 A 与 B 为对立事件，则 A，B 不能同时发生，且必有一个发生，即 A、B 满足 AB且 在样本空间中，集合是由所有不属于事件 A 的样本点构成的集合【例】设随机事件 A 和 B 满足条件，则（）A B C D【答案】A 查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即 AB 3事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件 A 与事件 B 同时发生，则称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交或积，记为 AB 或 AB，即集合 AB 是由同时属于 A 与 B 的所有公共样本点构成 注：事
5、件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并 如果事件 A 与事件 B 至少有一个发生，则称这样一个事件为事件 A 与事件 B 的并或和，记为 AB，即集合 A B 是由属于 A 与 B 的所有样本点构成 注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组 如果有限个事件满，且，则称 为的一个完备事件组或完全事件组 注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且（4）事件的差 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与事件 B 的差，记为 AB即在样本空间中集合 AB 是由属于事件 A 而不属于事件 B 的所有样本点构成的集合显然
6、（5）事件的运算规律 交换律 结合律 分配律 对偶律 【例】A，B，C 为任意三随机事件，则事件（AB）（BC）等于事件（）AAC BA（BC）C（AB）C D（AB）BC【答案】D 查看答案【解析】因，故而 图 1-1 4概率的概念及基本性质 （1）概率的公理化定义 设为一个样本空间，F 为的某些子集组成的一个事件域 如果对任一事件F,定义在 F 上的一个实值函数满足：非负性公理：若F,则，正则性公理：可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件 A 的概率，称三元素F为概率空间（2）概率性质；若两两互斥，则有 ；，则 P（A）P（B）；0P（A）1【例】若 A，B 为任意两个随机事件，则（）
7、【2015 数一、数三】A B C D【答案】C 查看答案 【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而（3）事件独立性 设 A，B 两事件满足等式 P（AB）P（A）P（B），则称 A 与 B 相互独立 注：对 n 个事件，如果对任意 k（1kn），任意满足等式则称为相互独立的事件 事实上，n 个事件相互独立需要个等式成立（4）相互独立的性质 A 与 B 相互独立A 与或与 B 或与相互独立 将相互独立的 n 个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的 n 个事件也相互独立【例】设，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）数三 2017 研 A与相
8、互独立 B与互不相容 C与相互独立 D与互不相容【答案】C 查看答案【考点】相互独立【解析】由，得【例】已知随机事件 A，B，C 中，满足 P（AB）1则事件（）A相互独立 B两两独立，但不一定相互独立 C不一定两两独立 D一定不两两独立【答案】A 查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑 A，B，C 的独立性 因为 P（AB）1可知 P（A）P（B）1，而概率等于 1 的事件与所有的事件相互独立所以成立：P（AB）P（A）P（B）；P（AC）P（A）P（C）；P（BC）P（B）P（C）又因 P（AB）1 所以事件 AB 与 C 也相互独立，P（ABC）P（AB）P（C）P（A）P（B）
9、P（C）总之 A，B，C 相互独立 当 0P（A）1 时，A 与 B 独立P（B|A）P（B）或成立 若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立 当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的【例】设随机事件 A 与 B 相互独立，且，则（）A0.1 B0.2 C0.3 D0.4【答案】B 查看答案【解析】因为事件 A，B 相互独立，则 故 于是，则（5）概率的运算公式 加法公式 P（AB）P（A）P（B）P（AB）；P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（AB）P（BC）P（AC）P（ABC）减法公式 P（AB）P（A）P（AB）；乘法公式当 P（A）0 时，P（AB）P（A）
10、P（B|A）；当0 时，有 全概率公式 设为的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件 A，有 【例】甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中一半白球一半黑球现从甲袋中任取 2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）A B C D【答案】C 查看答案 【解析】设事件 A 为最后取出的球为白球，事件 B 为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋且 B，构成一个的完备事件组，由全概率公式 ，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来所以取出的球来自甲袋概率为，当然，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中 5 个球 2 个为白，故，同理因
11、为乙中半白半黑，总之 贝叶斯公式 设为的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件 A，且 P（A）0 有 【例】设 A、B 为随机概率，若，则的充分必要条件是（）数一 2017 研 AB CD【答案】A 查看答案【考点】概率公式计算 【解析】因为，得，化简得A 项，因为，所以 5古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率 当试验结果为有限 n 个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型此时如果事件 A 由个样本点组成，则事件 A 的概率 称 P（A）为事件 A 的古典型概率【例】袋中有 1 个红球，2 个黑球与 3 个白球，现有放回地从袋中取两
12、次，每次取一个球以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数求 PX1Z0；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为 （2）几何型概率 当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以 L（）表示样本空间的几何度量（长度、面积、体积等等）L（）为有限，且试验结果出现在中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型此时如果事件 A 的样本点表示的区域为，则事件 A 的概率 称这种 P（A）为事件 A 的几何型概率【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_【答案】【解析】本题是几何型概
13、率不妨假定随机地取出两个数分别为 X 和 Y显然 X 与Y 是两个相互独立的随机变量如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于 0X1，0Y1，所以（X，Y）为平面上正方形 0X1，0Y1 中的一个点 而 X 与 Y 两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域 图 1-2 在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数 X 和 Y这些（X，Y）点刚好是图1-3 单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域 D 根据几何型概率 （3）条件概率 设 A，B 为两事件，且 P（A）0，称 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率【例】设 A、B 为两个随机事件，且
14、0P（A）1，0P（B）1，如果 P（A|B）1，则（）【2016 数三】【答案】A 查看答案【解析】根据条件得 P（AB）P（B），则 【例】设 A，B，C 是随机事件，A 与 C 互不相容，P（AB），P，则P（AB|）_【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB），其中 P（）1P（C）1，P（AB）P（AB）P（ABC）P（ABC），由于A，C 互不相容，即 AC，ABCAC，得 P（ABC）0，代入得 P（AB），故将 P（）和 P（AB），代入公式，得 P（AB）（4）伯努利试验 如果试验 E 只有两个可能的结果：A 及，并且 P（A）p，（其中0p1），把 E 独立地重复 n
15、次的试验就构成了一个试验，这个试验称作 n 重伯努利试验，又称 n 次独立重复试验，并记作 B 一个伯努利试验的结果可以记作（1，2，n）其中的i（1in）的全体就是这个伯努利试验的样本空间，对于（1，2，n），如果i（1in）中有 k 个为 A，则必有 nk 个为，于是由独立性即得 如果要求“n 重伯努利试验中事件 B 出现 k 次”这一事件的概率为 【例】设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为【2016 数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为 4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1 次和 2 次综上，取球次数恰好为 4 的概率为 【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为 p，则在第 n 次成功之前恰失败了m 次的概率为_ 图 1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第 n 次成功之前失败了 m 次”这事件意味着第 n 次成功前有（n1）次成功和 m 次失败总共做了（nm）次试验最后一次是成功，前 nm1 次试验中有 m 次失败和（n1）次成功，故事件的概率应为