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1、大唐芙蓉园www.1230.org 初中数学资源网 学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 平行四边形的平行四边形的性质性质w定理:平行四边形的对边相等.w证明后的结论,以后可以直接运用.BDCA四边形ABCD是平行四边形.
2、AB=CD,BC=DA.w定理:平行四边形的对角相等.四边形ABCD是平行四边形.A=C,B=D.定理:平行四边形的对角线互相平分.四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 平行四边形的判定平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.wAB=CD,AD=BC,w四边形ABCD是平行
3、四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形ABCD是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形ABCD是平行四边形.回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 等腰梯形的性质w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理:等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用.回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同
4、一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用.回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 三角形中位线的性质三角形中位线的性质w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相
5、等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.wDE是ABC的中位线,DEBCADEBC,ABCHDEFG回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 矩形的性质矩形的性质,推论推论w定理:矩形的四个角都是直角.w定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.w四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.DBCADBCAwAC,BD是矩形ABCD的两条对角线.AC=BD.在ABC中,ACB=900,AD=BD,ABCD回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直
6、角三角形的判定判定w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.wA=B=C=900,四边形ABCD是矩形.DBCADBCAwAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.ABCD ACB=900.在ABC中,AD=BD,回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 菱形的性质菱形的性质w定理:菱形的四条边都相等.w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.w四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.wAC,BD是菱形ABCD
7、的两条对角线.ACBD.CBDADBCAO回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 菱形的判定菱形的判定w定理:四条边都相等的四边形是菱形.w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.w在四边形ABCD中,wAB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.wAC,BD是ABCD的两条对角线,ACBD.四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 正方形的性质正方形的性质w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.w四边形ABCD是正方形,A=B=C
8、=D=900,AB=BC=CD=DA.w四边形ABCD是正方形,AC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.ABCDABCDO回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 正方形的判定正方形的判定w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w定理:对角线相等的菱形是正方形.w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.w四边形ABCD是菱形,A=900,四边形ABCD是正方形.w四边形ABCD是菱形,AC=DB.四边形ABCD是正方形.四边形ABCD是正方形.ABCDABCDOw四边形ABCD是矩形,ACBD,回顾与思考回顾与思考www.12
9、30.org 初中数学资源网 1.性质结构：正方形矩形菱形对角线相等；四个角是直角平行四边形对边平行且相等对角线互相平分；对角相等四条边相等；对角线互相垂直；对角线平分对角四边形之间的关系四边形之间的关系回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 四边形平行四边形正方形梯形等腰梯形2.判定结构：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分有一个角是直角有三个角是直角对角线互相垂直矩形菱形对角线相等对角线互相垂直；一组邻边相等一组对角线平分一组内角一组邻边相等一个内角是直角且一组邻边相等对角线相等一个内角是直角一组对边平行，另一组不平
10、行两腰相等回顾与思考回顾与思考www.1230.org 初中数学资源网 图形之间的内在联系图形之间的内在联系w你还记得这个图形反映的结论吗？模型:依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.w依次连接正方形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFGABCHDEFGwww.1230.org 初中数学资源网 图形之间的内在联系图形之间的内在联系w依次连接菱形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.w依次连接矩形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFGDBCADEFGwww.1230.org 初中数学资源网
11、图形之间的内在联系图形之间的内在联系w依次连接平行四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.w依次连接梯形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFGABCHDEFGwww.1230.org 初中数学资源网 图形之间的内在联系图形之间的内在联系w依次连接等腰梯形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.w依次连接对角线相等的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFGABCHDEFGwww.1230.org 初中数学资源网 图形之间的内在联系图形之间的内在联系w依次连接对角线垂直的四边形各边
12、中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.w依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFGDBCAHEFGwww.1230.org 初中数学资源网 想一想想一想,做一做做一做w在右图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条水管的夹角(即BXC)是多少度?ADCBXwww.1230.org 初中数学资源网 行家看门道行家看门道w在证明(一),证明(二),证明(三)这
13、三章中,我们从若干条公理及有关定义出发,证明了关于平行线,三角形,及四边形等图形的一些命题.w两千多年前,欧几里得首次用公理化方法整理了几何知识,完成了数学巨著原本.从那时候起,人们逐渐认识到这一方法的神奇与美妙,并从中体会到证明的力量.不知你是否注意到,公理化的思想早已渗透到现代社会的许多领域.w你能用自己的语言或一幅图表示这一过程吗?www.1230.org 初中数学资源网 随堂练习w求证:ABC是等腰三角形.w已知:D,E,F分别是ABC中AB,BC,CA的中点,四边形DECF是菱形.ABCDEFwww.1230.org 初中数学资源网 三角形的重心三角形的重心w我们知道,三角形的三条中
14、线交于一点.w这一点叫做三角形的重心.w三角形的重心分每一条中线的比为12(重心到每边的中点距离重心到所对角的顶点的距离).w你能证明这个命题吗?w与同伴交流你的想法和具体的证明方法.w三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFGwww.1230.org 初中数学资源网 三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质w已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.w分析:要证明GEGA=12,可以考虑折半法(如取GA的中点M,GB的中点N).w转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接FE,EN,NM,MF.w求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.ABCDEFG
15、M Nw从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明.w怎么样,在老师的帮助下,你可以写出证明过程了吗?w由此你又悟出了些什么?www.1230.org 初中数学资源网 三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质w已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.w证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.wF,E是AC,BC的中点,w FEMN,FE=MN.w求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.ABCDEFGM Nw四边形FENM是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.FEAB,MNAB,wAM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFG
16、B=12.w同理,GDGC=12.wGEGA=GFGB=GDGC=12.www.1230.org 初中数学资源网 知识的升华独立独立作业作业P93习题3.6 1,2题.祝你成功！www.1230.org 初中数学资源网 P93习题3.6 1题.独立独立作业作业1.如图,四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形.求:的度数.DBCAEwww.1230.org 初中数学资源网 P93习题3.6 2题.独立独立作业作业2.已知:如图,四个小朋友分别站在正方形ABCD的四条边的点A1,B1,C1,D1处,并且AA1=BB1=CC1=DD1,那么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A1B1C1D1是一个怎样的图形?请证明你的结论.ABCDA1D1C1B1www.1230.org 初中数学资源网 结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.www.1230.org 初中数学资源网