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1、第第3章章 导数与微分导数与微分 3.1 导数概念导数概念3.2 导数基本运算与导数公式导数基本运算与导数公式3.3 隐函数与参变量函数求导法则隐函数与参变量函数求导法则3.4 微分及其运算微分及其运算3.5 高阶导数高阶导数目目 录录上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出3.1 导数概念导数概念一、引入导数概念的一、引入导数概念的3个实例个实例 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线
2、切线.极限位置即极限位置即2速度问题速度问题 物理学中表示物体作匀速直线运动时，它在任何时刻 的速度公式是.其中为物体经过的路程，为经过路程所用时间 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出设物体在真空中作自由落体运动，物体下落的路程与下落时间的函数关系为.其中为重力加速度现在讨论如何时刻的速度.表示物体下落过程中在 设物体从点开始下落，经过时间落到点，这时物体下落的路程为上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出取时间增量，即下落时间由变到设这时物体下落到点，在时间时间内下落的路程为物体在时间段内下落的路程为上式两端同除以，得到物体在时间段内的平均下上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出
3、出下落速度 设物体运动方程为（路程是时间的函数），当运动时间由变到时，物体在时间段内经过的路程为，上式两端同，得到物体在时间段内的平均速度除以 当时，的极限值就是物体在时刻的速度，上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出3.3.产产品品总总成本的成本的变变化率化率则总成本相应的改变量为总成本的平均变化率为若极限存在，则称此极限是产量 时的产品总成本的变化率.设某产品的总成本C是产量q的函数：C=C(q)，若产量由 变为二、导数的定义二、导数的定义定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点+仍在该 邻域内），相应地函数取得增量.如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，
4、并称这个极限值 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出为函数在点处的导数，记为即也可记为,或 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出上式可改写为或例1 求函数在处的导数.解 当 由1变到时，函数相应的增量为所以 例例2 2解解定理定理1 1 如果函数在一点可导，则函数一定在该如果函数在一点可导，则函数一定在该点连续点连续.证证连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注意注意:定理定理1的逆定理不成立的逆定理不成立.01例如例如,例如例如,011/1/2.右导数右导数:三、左三、左导数导数和右导数和右导数1.左导数左导数:定理定理2例例3 3解解注意注意:四、函数的导数
5、四、函数的导数由定义求导数由定义求导数步骤步骤:例例4 4解解例例5 5解解更一般地更一般地例如例如,例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解四、几何意义四、几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例8 8解解 由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为五、小结五、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;6.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;3.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;4.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.5.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.作业：习题3.1 题5，题7，题8