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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二章第二章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二节第二节 导数的计算导数的计算 第三节第三节 函数的微分函数的微分 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 第一节第一节 导数的概念导数的概念 本节主要内容本节主要内容: : 一一. .导数的定义导数的定义 二二. .导数的几何意义导数的几何意义 三三. .函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 3一一. .导数的定义导数的定义例例1.
2、瞬时速度问题瞬时速度问题vtx 平平均均速速度度00( )( )f tf ttt ,0时时当当tt 取极限得瞬时速度取极限得瞬时速度0000( )( )|lim t tttf tf tvt t一质点在一质点在x轴上作变速直线运动轴上作变速直线运动,运动方程运动方程x=f(t),求求 时刻的瞬时速度。时刻的瞬时速度。0t第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 4 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线极限位置即极限位置即. 0,
3、 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例例2.切线问题切线问题第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 5,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记记为为处处的的导导数数在在点点数数并并称称这这个个极极限限为为函函处处可可导导在在点点则则称称函函数数时时的的极极限限存存在在之之比比当当与与如如果果
4、得得增增量量取取相相应应地地函函数数时时仍仍在在该该邻邻域域内内点点处处取取得得增增量量在在当当自自变变量量有有定定义义的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数定义定义2.1.100( ),x xx xdydf xfxdxdx0或或或 ()第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 6如果如果 存在，则称存在，则称y=f (x)在在x0处可导处可导.0limxyx 如果如果 不存在，则称不存在，则称y=f (x)在在x0处不可导处不可导.0limxyx 如果如果 ，则称，则称y=f (x)在在x0处导数为无穷大处导数为无穷大.0limxyx 第二章第二章 导数与微
5、分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 7.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即例例3( )10 ,(1).f xxf求解：解：0010()1010(1)limlim10hhxhxhfhh第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一
6、对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).x xfxfx 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 92.右导数右导数:定义定义2.1.2 单侧导数单侧导数1.左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.定理
7、定理2.1.1第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 10由定义求导数步骤由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例4.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 11例例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解：解：hxhxxhsin)sin(lim)(
8、sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 12例例6.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 13例例7解：解：00
9、( )( )ff 01( )f 00sin ,( ),x xf xx x 00()(0)sin(0)limlim10 xxfxfxfxx已知已知求求0( ).f 00()(0)(0)limlim10 xxfxfxfxx第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 14oxy)(xfy T0 xM切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 表示曲线y=f(x)上点 0()fx000(,()P xf x处切线的斜率。 二二. .导数的几何意义导数的几何意义第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导
10、数的概念 15解解: : 由导数的几何意义由导数的几何意义, ,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即.,)221(1x例例9,方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线y 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 16定理定理2.1.2 2.1.2 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可
11、导可导在点在点设函数设函数xxf.)(0连续连续在点在点函数函数xxf三三. .函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系)(lim00 xfxyx 即即00000limlim() limxxxyyxfxxx 有有注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 17例例10.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解: :xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy0( )f 0( )f 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 18 内容小结内容小结 一一. .导数的定义导数的定义 二二. .导数的几何意义导数的几何意义 三三. .函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 增量比的极限增量比的极限切线的斜率切线的斜率可导一定连续可导一定连续，但连续不一定可导但连续不一定可导