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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）数学（文科）一、一、选择题：选择题：本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.设则 ( )1.2 |1, |4,Px xQx xPQ A.B. | 12xx | 31xx C.D. |14xx | 21xx 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参考答案】D【试题解析】，2422xx ，故选
2、D.2Qxx 121PQxx已知函数 若 = ( )2.2( )log (1),f xx( )1,fA.B. C. D.0123 【测量目标】对数函数的性质.【考查方式】给出对数函数解析式，的值，求未知数.( )f【参考答案】B【试题解析】，故，选 B.2( )log (1)f12 1设 为虚数单位，则 ( ) 3.i5i 1 iA. B. C. D. 23i 23i 23i23i 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C【试题解析】，故选 C，5i(5i)(1 i)46i23i1 i(1 i)(1 i)2某程序框
3、图所示，若输出的 S=57，则判断框内为 ( )4.A. B.4?k 5?k C. D.6?k 7?k 【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件. 【参考答案】A 【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表： kS是否继续循环循环前11第一次24是第二次311是第三次426是第四次557否故.4k 设为等比数列的前 n 项和，则 ( )5.nSna2580aa52S SA. B. C. D.118511 【测量目标】等比数列的通项公式与前项和公式.n 【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参考答案】A【试题解析
4、】通过，设公比为，将该式转化为，解得2580aaq083 22qaa，带入所求式可知答案选 A. 2q 设 0，则“”是“”的 （ 6.x 22sin1xx sin1xx ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件. 【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关 系的能力. 【参考答案】B【试题解析】，故，结合与的取0,sin12xx2sinsinxxxx2sinxxsinxx值范围相同，可知答案选 B. 若实数满足不等式组，则的最大值为 7., x y330, 23
5、0,10,xy xyxy xy（ ）A. B. C. D. 915 717 15 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参考答案】A【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设，直线zxy过可行域内点时最大，最大值为，故选 A. zxy4,5Az9若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 （ 8.cm ）A. B.C. D. 352 33cm320 33cm224 33cm160 33cm【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参考答案】B 【试题解析】由三视图
6、知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为、，正四棱台上底边长为，下底边长为，高为44248，那么相应的体积为：.故选 B.2222213204 4 22 (4488 )33 已知是函数的一个零点.若,则 （ 9.0x1( )21xf xx10201,xxxx）A., B.，1()0f x2()0f x1()0f x2()0f xC. D.12()0,()0f xf x12()0,()0f xf x【测量目标】函数零点的应用. 【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参考答案】B【试题解析】是的一个零点，又0x1( )21
7、xf xx0()0f x是单调递增函数，且，1( )21xf xx10201,xxxx，故选 B.102()()0()f xf xf x设为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存10.O12,F F22221(0,0)xyabab在点，满足=60，=,则该双曲线的渐近线方程为 ( )P12FPFOP7aA. B.x3y03xy0C. D.x2y02xy0【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质. 【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参考答案】D 【试题解析】假设为的中线，根据三角形中线定理可知：1,FPx OP12FF P，由余弦定理可知：22222
8、2(2)2(7)(2 )5xaxcax xaca， ，渐进线22222(2)(2)4(2 )142xaxxaxcx xaac为.20y故选 D. 非选择题部分（共非选择题部分（共 100 分）分） 二，填空题：本大题共二，填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 .11. 【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取. 【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力.【参考答案】 45;46【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为.45;46函数的最小正周期是 . 1
9、2.2( )sin (2)4f xx【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角. 【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期.【参考答案】 2【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小 11cos 4222f xx 正周期为. 2已知平面向量则的值是 . 13., ,1,2,(2 ), 2 【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算. 【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义.【参考答案】10【试题解析】，由题意可知，结合，解得，102022141 2所以，开方可知答案为.22 2244821010在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，14. 位
10、于下表中的第行、n第列的数是 .1n 【测量目标】等差数列的性质与通项公式. 【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差 关系解决问题的能力.【参考答案】 2nn【试题解析】第行第一列的数为，观察得，第行的公差为，所以第行的通项公nnnn0n式为，又因为为第列，故可得答案为.001 nnnan1nnn 2若正实数满足， 则的最小值是 .15., x y26xyxyxy【测量目标】利用基本不等式求最值. 【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不 等式的解法.【参考答案】18【试题解析】运用基本不等式，令，可得262 26xyxyxy2txy
11、，注意到 0，解得 ,故的最小值为 18.22 260tt tt23xy某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七16. 月份销售额比六月份递增%，八月份销售额比七月份递增%，九、十月份销售总额与xx 七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则的最小值 .x 【测量目标】利用不等式求最大（小）值. 【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力.【参考答案】20【试题解析】由可得的最小值为 20.23860500 12 (1%)2 (1%)7000xx x在平行四边形中，是与的交点，、分别是线段17.ABCDOAC
12、BDPQMN、的中点，在 APMC 中任取一点记为，OAOBOCODE在、中任取一点记为，设为满足向量BQNDFG的点，则在上述的点组成的集合中的点，落在OGOEOF G平行四边形外（不含边界）的概率为 .ABCD 【测量目标】古典概型的概率. 【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参考答案】3 4【试题解析】由题意知，点共有 16 种取法，而只有为、中一点，为、GEPMFQ中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的的只有 4 个，因此概率为.NG43三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明
13、、证明过程或演算步骤.（本题满分）在中，角所对的边分别为设为的面积，18.ABC, ,A B C, , .a b cSABC满足.2223()4Sabc（）求角的大小；C （）求的最大值.sinsinAB【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值.【试题解析】 ()解：由题意可知.13sin2cos24abCabC. （步骤 1）tan3C ，. （步骤 2）0 C 3C （)解：由已知得2sinsinsinsin()sinsin()3ABACAAA. （步骤 3）31sincossin3sin()3226AAAA当
14、为正三角形时取等号，ABCsinA+sinB 的最大值是. （步骤 4）3（本题满分 14 分）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和19.1,a d1ad nan为，满足.nS56150S S （）若，求及；55S 6S1a（）求的取值范围.d 【测量目标】等差数列的前项和与通项，一元二次不等式.n 【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解.【试题解析】()解：由题意知, （步骤 1）6 5153SS 6658aSS （步骤 2）115105,58.adad 解得，. （步骤 3）17a 613,7Sa ()解：56150,S S （步骤 4）11(510
15、)(615 ) 150,adad即22 11291010,adad （步骤 5）22 1(49 )8,add（步骤 6）28,d的取值范围为或 （步骤 7）d2 2d2 2.d （本题满分 14 分）如图，在平行四边形中， 20.ABCD2ABBC.为线段的中点，将沿直线翻折成120ABCEABADEDE，使平面平面，为线段的中点. ADEADEBCDFAC（）求证：平面； BFADE （）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值. MDEFMA DE【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角. 【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得 到线面垂
16、直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.【试题解析】 ()证明：取的中点，连接，由条件易知ADG,GF CE，.FGCD1 2FGCD,. （步骤 1）BECD1 2BECD （步骤 2） FG,.BE FGBE故四边形为平行四边形, BEGF, （步骤 3）BFEG又平面，平面EG ADEBFADE/平面 （步骤 4）BFADE（）解：在平行四边形中，设,ABCDBCa则 （步骤 5）2 ,ABCDa ADAEEBa连接,CE120ABC在中，可得 (步骤 6)BCE3 ,CEa在中，可得 （步骤 7）ADE,DEa在中，. (步骤 8)CDE222,CDCEDECEDE在正中，为中点，.
17、 （步骤 9）ADEMDEAMDE由平面平面,ADEBCD可知平面. （步骤 10）AM,BCD AMCE取的中点，连线、，AENNMNF. （步骤 11）,NFDE NFAM交于,DEAMM平面, （步骤 12）NFADE则为直线与平面所成角.FMNFMADE在中，NF=, MN=, FM=,RtFMN3 2a1 2aa则， （步骤 13）1cos2FMN直线与平面所成角的余弦值为. （步骤 14）FMADE1 2（本题满分 15 分）已知函数.21.2( )()f xxaab( ,R,)a bab（I）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程.1,2ab( )yf x( )f x（II）设是的
18、两个极值点，是的一个零点，且，.12,x x( )f x3x( )f x31xx32xx证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求.4x1234,x x x x4x【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项. 【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据 等差数列的概念证明.【试题解析】()解：当时，1,2ab( )(1)(35)fxxx， （步骤 1）(2)1,(2)0ff在点处的切线方程为. （步骤 2）( )f x2,02yx（）证明：2( )3()(),3abfxxa x由于，.故.ab2 3aba的两个极值
19、点为 xa，x. （步骤 3）( )f x2 3ab不妨设 x1a，x2，2 3abx3x1，x3x2，且 x3是 f（x）的零点，x3b. （步骤 4）又a2（b） ，2 3ab2 3abx4（a），1 22 3ab2 3aba，b 依次成等差数列， （步骤 5）2 3ab2 3ab存在实数 x4满足题意，且 x4. （步骤 6）2 3ab（本题满分 15 分）已知是非零实数，抛物线22.m2:2Cyps(0)p 的焦点在直线上.F2 :02ml xmy（I）若，求抛物线的方程2m C（II）设直线 与抛物线交于、，,的重lCAB2AA F1BB F心分别为. ,G H求证：对任意非零实数,
20、抛物线的准线与轴的焦点在以线段为直径的圆外. mCxGH 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系. 【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线 的位置关系、不等式的综合应用证明.【试题解析】()解：焦点在直线 上， （步骤 1）(,0)2PFl2pm又,2m 4p 抛物线的方程为 ，则抛物线的方程为. （步骤 2）C222ym xC28yx（）设，1122( ,), (,)A x yB xy由消去得222,2 2,mxmyym x x23420,ym ym，0m 64440mm=且有， （步骤 3）34 12122,yymy ym
21、设分别为线段的中点，12,M M11,AA BB由于可知，122G ,2,M CFM HHF 112(,)33xyG222(,)33xyH（步骤 4）242 1212(),6636xxm yymmm3 12222,63yym的中点. （步骤 5）GH4222,363mmmM设是以线段为直径的圆的半径，RGH则 (步骤 6)2222211|(4)(1)49RGHmmm设抛物线的标准线与轴交点，x2 (,0)2mN 则2423 222|()2363mmmmMN(步骤 7)442422222221(84)9 1(1)(4)39 1(1)(4)9m mmmmmmm mmR在以线段为直径的圆外. （步骤 8）NGH