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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）一、选择题1.设集合4=3,5,6,8 ,集合 8=4,5,7,8 ,那么 A C B 等于（）A.3,4,5 6 7,8 B.3,6 C.4,7 D.5,8【测量目标】集合的根本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集.【参考答案】D【试题解析】集合A与集合8中的公共元素为5,82.函数）=1 0 g 2 X的图象大致是（）A BCD【测量目标】对数函数的图象和根本性质.【考查方式】直接给出对数函数解析式，判断其函数图象.【参考答案】C【试题解析】由y =lo g 2%，知图象过（1,0）点且单调递增，所以选C.3.抛
2、物线 2=8%的焦点到准线的距离是（）A.1 B.2 C.4 D.8【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】直接由抛物线解析式求解.【参考答案】C【试题解析】由V=2 p x=8 x知p=4,有交点到准线的距离就是p,那么抛物线到准线的距离为4.4.一个单位有职工8 00人,其中具有高级职称的1 6 0人，具有中级职称的3 20人，具有初级职称的200人，其余人员1 20人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为4 0的样本.那么从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A.1 2,24,1 5,9 B.9,1 2,1 2,7 C.8,1 5,1 2,5 D.8,1 6,1 0,6
3、【测量目标】分层抽样.【考查方式】根据分层抽样方法由整体人数估计各层人数.【参考答案】D【试题解析】因 为4士0 =I-,800 201r4-,+、加4 5 ,1*八010160 _ 320、/200，八 120,故各层中依次抽取的人数分别是-=8,-=16,-=10,=6.20 20 20 205.函数/（幻=/+/心+1的图像关于直线=1对称的充要条件是（）A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=l【测量目标】充要条件的意义、函数图象与直线的关系.【考查方式】根据函数图象对称轴求解.【参考答案】A【试题解析】函数次x）=f+/n x+l的对称轴为x=一 .（步 骤1）,77于是一丝
4、=1 n m=-2（步骤2）26.设点M是线段8 c的中点，点A在直线8 C外,那么（）A.8 B.4 C.2 D.l【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积.【考查方式】给出各向量的关系，借助向量加减法的运算求解.【参考答案】C【试题解析】由卜C =16,得,q=4 （步 骤1）AB+AC=AB-AC=BC=4（步骤 2）而|A6+AC|=2|AM故1AMi=2（步骤3）7.将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动已 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）兀71A.y=sin（2）B.y=sin（2 x-）c./I 兀、./
5、I 兀、C.y=sin（x-）D y=sin（x-）2 10 2 20【测量目标】函数y=A sin（5+e）的图象及其变换.【考查方式】正弦函数图象，判断它经过变换后的图象.【参考答案】C【试题解析】将函数y=sin x 的图像上所有的点向右平行移动7 T,个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x-木）（步 骤 1）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1 JTy=sin（x-）.（步骤 2）2 108.某加工厂用某原料由车间加工出A 产品，由乙车间加工出5 产品.甲车间加工一箱原料需消耗工时10小时可加工出7 千克4 产品,每千克A 产品获利4
6、0元.乙车间加工一箱原料需消耗工时6 小时可加工出4 千克8 产品,每千克5 产品获利50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间消耗工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产方案为（）A 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C 甲车间加工原.V料 18箱，乙车间加工原料50箱 1D 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 1（15.55）【测量目标】二元线性规划的实际应用.7（）【考查方式】根据题目得出变量约束条件，画图求目标函数的最优解.【参考答案】B【试题解析】设甲车间加工原料x 箱，
7、乙车间加工原料y 箱x+y 70那么 10 x+6 y”480（步骤那九,y e N目标函数z=280 x+300），结合图象可得：当x=15,y=55时 z 最 大（步骤2）此题也可以将答案逐项代入检验.9.由1、2、3、4、5 组成没有重复数字且1、2 都不与5 相邻的五位数的个数是（）A.36 B.32 C.28 D.24【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的个数.【参考答案】A【试题解析】如果5 在两端，那 么 1、2 有三个位置可选,排法为2x A；A：=2 4 种（步骤1）如果5不在两端，那 么 1、2 只有两个位置可选,3 x A；A；=
8、1 2种（步骤2）共 计 1 2+24=3 6 种.步骤3）1 0.桶圆=+4 =1 的右焦点为 其右准线与x轴的交点为A .在椭圆上存a b在 点P满 足 线 段A P的 垂 直 平 分 线 过 点 尸，那 么 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是（）【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】椭圆的标准方程形式、椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解.【参考答案】D【试题解析】由题意，椭圆上存在点P,使得线段A P的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等cr b2而|阿=-c-C CPFa-c,a+c（步骤 1）土自力 2 ,于 是 一G
9、 ac,a+cB P ac-c2 b2 ac+c2.2 9 2ci-c,uc+cn”（步骤2）剌 _1或 1a a 2又 e （0,l）故（步骤 3）,1 111.设 a b X),那 么 a2+-的最小值是A.l B.2【测量目标】根本不等式求最值.【考查方式】通过添项，化为根本不等式形式求最值.【参考答案】D,1 1【试题解析】/+1+1 内ab aa-b)=cr-ab+ab+-1-ab a(a-b)=ah-+-ab a(a-b)2+2=4(步骤1)当 且 仅 当1(-6)=1时等号成立如取4=0力=*满 足 条 件 步 骤2)212.半径为R的球。的直径A B垂直于平面a,垂足为B,38
10、是平面a内边长为R的正三角形，线段A C、分别与球面交于点M、N,那么M、N两点间的球面距离是A.R arccos B.R arccos1 4/C.一 兀 R D.TIR/3 15卜 _、【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件【考查方式】做辅助线求出相关量，借助余弦定理求解.【参考答案】A【试题解析】由,A8=2R,BC=R，故tan/BAC=-22 RcosZ B A C=-y-(步骤1)连结0M,那么0 4M为等腰三角形4亚AM=2AOcosZBAC=R ,同理 AN=475R,且 MNCD5而 AC=y/R,CD=R故 MN:CD=AN:AC4（步骤 2）连 结 0 例、ON,有
11、OM=ON=R于是 c o s/M O N=OM2+ON2-M N220M.0N1 725所以M、N 两点间的球面距离是Aa rc c o s（步骤3）252二、填 空 题 1 3.（x）4的 展 开 式 中 的 常 数 项 为（用数字作答）x【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足特殊条件的项.【参考答案】24【试题解析】展开式的通项公式为7 7+1=C：X4T（_ W）（步 骤 1）x取/=2 得常数项为C：（2）2=24.（步 骤 2）1 4.直线x-2 y +5 =0 与圆无 2+y 2=8 相交于A、B 两点，那么|AB|=.【测量目标】圆的标准方程、圆与直线的位置
12、关系.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，求交点距离.【参考答案】2#）【试题解析】圆心为（0,0）,半径为2 0圆心到直线-23+5 =0 的 距 离 为 =邛 生=6 （步 骤 1）J-+（2故（手+（后=（2扬2得|AB|=2小（步骤2）1 5.如图,二面角a-1-p的大小是60，线段A B ua.B el,A 3与/所成的角为3 0 .那么A 3与平面/所成的角的正弦值是.【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】做辅助线将线面角转化为三角形的内角求解.【参考答案】-4【试题解析】过点A 作平面p的垂线，垂足为C,在“内过C 作/的垂线.垂足为。，连结AD,有三垂线定理可
13、知故NAOC为二面角。一/一夕的平面角为60（步 骤 1）又由,N4BO=30连结C用那么Z A B C为A B与平面B所成的角设 AO=2,那么 A C=,CD=1A nA B=-=4（步骤 2）sin 30，sinN A 8C=.1 步骤 3）A B 4（16）设 S 为复数集C 的 非 空 子 集.假 设 对 任 意 e S,都有x+y,x-y,孙 e S，那么称S为封闭集.以下命题：集合S=a+历 （。力为整数,i 为虚数单位）为封闭集；假设S 为封闭集，那么一定有0 e S；封闭集一定是无限集；假设S为封闭集，那么满足S c T c C 的任意集合T也是封闭集.其 中 真 命 题 是
14、（写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四那么运算.【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件.【参考答案】【试题解析】直接验证可知正确.当S为封闭集时，因为x-yG S，取 x=y,得 0G S，正确对于集合S=0,显然满足素有条件，但 S是有限集,错误取 5=0,7 =0,1,满足5=7=。但由于01 =-1至丁,故7 不是封闭集怎错误三、解答题：本大题共6 小题，共 74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题总分值12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或 谢谢购置”字样，购置一瓶假设其瓶
15、盖内印有“奖励一瓶 字样即为中奖，中奖概率为，.甲、乙、丙三位同学每人购置了一瓶该饮料.（I）求三位同学都没有中奖的概率；（I I）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.【测量目标】相互独立事件同时发生的概率、互斥事件概率加法公式.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（I）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么P（A）=P（6）=P（C）=L 1 步骤 1）6P（A.B.C）=P（A）P（B）P（C）=f 1 =炭,（步骤 2）1 2 5答：第三位同学都没有中奖的概率是二.（步骤3）2 1 6（I I）1-P（A.B.C
16、 +A-B-C+A.B.C+A.B.C）HYG=l-3 x5x-62 52 7或/）（不 瓦 心+4 瓦力+。52+。瓦0=.（步骤3）2 5答：三 位 同 学 中 至 少 有 两 位 没 有 中 奖 的 概 率 为 步 骤4）2 71 8.（本小题总分值1 2分）在正方体A B C。一NEC。中，点M是棱4 v的中点，点0是对角线B Z/的中点.（I ）求证：0M为异面直线A 4和8 0的公垂线；（I I ）求二面角MB C一9的大小【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.【考查方式】（1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角
17、求解.【试题解析】（1）连接A C,取AC的中点K,那么K为8。的中点,连接0K.因为点”是棱A A 的中点，点。是3。的中点，所以 AM/0 K 且 AW=！=0 K,2 2所以M O/A K且MO=AK.（步 骤1）由 4 4A K,得 M O _L A 4 .（步骤 2）因为 A K _L BD,A K BB,所以 A K J.平面所以所以（步骤3）又因为0 M与异面直线A 4 和8。都相交，故0M为异面直线A 4 和8。的公垂线.（步骤4）（2）取 的 中 点N,连 接M N,那么M N 平面8 C C 0.过 点N 作 N H 上B C于4,连接M H,那么由三垂线定理得,B C M
18、 H.从而,Z M H N为二面角M-B C-B 的平面角.（步骤5）设 A B=1,那么 M N=l,N =B N si n4 5 （步骤 6）2 2 4MN 1 厂在 RtZXMV”中 JanMHN=,=2 5NH V24故二面角M-B C-8 的大小为arctan 2 J I 1步骤7)1 9.本 小 题 总 分 值1 2分)(I)证 明 两 角 和 的 余 弦 公 式Ca+fi:cos(a+/3)=cosacosjff 一 sincrsin/?；由Ca+fi推导两角和的正弦公式S+万；sin(a+/3)=sinorcos/?+cosasin/?.4 3 1 7i(II)cos a=.a
19、 e(7c,7t),tan J3=一,G(,7t)求 cos(a+/?)【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系.【考查方式】(1)建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明.借助诱导公式证明.(2)同角三角函数的转换.【试题解析】(1)在直角坐标系xOy内作单位圆。，并作出角a,/?与-4，使角a的始边为Ox,交圆O于点R,终边交圆0于点;角 的始边为。?，终边交圆。于点八,角-(3的 始 边 为，终边交圆0于点P4那么 6(1,0),(cosa,sin a),由4 A=g舄及两点间的距离公式，得cos(a+/7)-l2+sin2(a+/?)=cos(-/?)-cos a-
20、+sin(一sin。步骤 1)展开并整理，得 2-2cos(a+=2-2(cosacos/7-sinasin 0)./.cos(a c o s a cos/?-sin tz sin (步 骤 2)由易得,cos=sincif,sinl-1-cr I=cos.(步骤3)sin(a+)=cos|-(a+)=cos-+(-/?)=cos-a cos(-/?)-sin7 1J-a sin(一4)=sin a cos 0+cos a sin J3.sin（a+=sin a cos P+cos a sin 3.（步骤 4）（2）,a e n,n Lcosa=.3/.sintz=一一.（步骤 1）52 0.
21、(本小题总分值12分)等差数列 4 的前3项和为6,前8项和为-4.(I)求数列%的通项公式；(I I)设2=(4 4%1(4彳0,?4),求数列4 的前n项和S,【测量目标】等差数列的前项和.【考查方式】(1)根据等差数列的前八项和求通项公式.(2)借助等差数列求和公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】设 ,的公差为，由得3a,+3d=6,1 解得q=3,d=1.(步骤 1)8tZ|+28d 4.故。“=3-(-1)=4一.(步骤2)(2由(2)的 解 答 可 得.于 是5“=1，+24+3 4+qT.(步骤 3)假设q Hl,将上式两边同乘以q有qS“=l，+%q2+(步骤4)两式相减得到
22、 qn-n q-q T_nqn-(n +l)qn+lqi于是2 1.（本小题总分值1 2 分）定点人（一1,0）产（2,0）,定直线/：，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线/的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E 于 B、C两点，直线 A B、AC 分别交/于点例、N1 I ）求 E的方程；（II）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解
23、.【试题解析】设 P（X,y）,那么2化简得犬 =l（yHO）.步 骤 1）（2）当 直 线 BC 与 x轴不垂直时,设8C 的方程为y =Mx-2）伏 w O）.（步骤2）与双曲线方程V-?=1 联立消去y得由题意知,3-/彳0 一 且（）,步骤3）设 6（3,乂）,。（%,%）,那么玉 +工2 =4k2 4/+3（必上+4 =至（左 2_3 k2-3 ）k2-3.（步骤4）因为王工-1，所以直线AB的 方 程 为,=-上 一（x+1）,因此M 点的坐标为-玉+八）1 2 2（玉+1（2 7 v 同理可得F N=一-,、,（步骤5）I 3 2（x1+l）J因此 F M.F N =/92y2
24、I 2 八 4（x-1）8 1公(4k2+3 4k2-1-公一3-一3=0.1步骤6)当直线8 C与x轴垂直时，其方程为x=2,那么B(2,3),C(2,-3).A 3的方程为y =x +l.因此M点的坐标为同理可得F N =士(步骤7)2 2因此F M./W =(_ g)x(_|)+；_|)x|=0.综上,F M.F N=0.即，/W.故以线段MN为直径的圆过点E (步骤8)2 2.(本小题总分值1 4分)设/(刀)=上 。0且a H l),g(x)是1 x)的反函数.l-a(I )求 g(x);(II)当x e 2,6 时，恒有g(x)l o ga-成立，求t的取值范围；(x -1)(7-
25、x)(III)当0 l o g 7 -得)a x+l 1 1(X2-1)(7-X)当”1吐金 -0.(步骤3)x+1，-1)(7-X)又因为xe2,6,所以0 f (x 1)2(7 x).令=(x-1)-(7 x)=x3+9x2-15 x+7,xe2,6,3 P (X)=-3X2+18X-1 5 =-3(X-1)(X-5).步骤 4)列表如下：所 以 山 值=5.所以0r 5.（步骤5），极 小 值X2(2,5)5(5,6)6（X）9+0-15(x)5单调增加极大值3 2单调减少25X t t 当 0 6 7 1 时,0 -(X1)2(7 x)0.(步骤6)令(7-x)0,X G2,6.由知(%)最 大 值=3 2,所以3 2.综上，当a时,0 r 5;当0 a 3 2.(步骤7)设。=一,那么L1 +P2当”=1 时,/(1)=1+”3 5.当.2时，P设&2#GN*时，那么/仅)=匕 金=1+=1 +-=.-.)7(1+P)-1 c【p+c”+C)7 4 4 4所以/(后)”1 +-=1 +-=1 +-.)C,+C k(k+k k+、,4 4从 而 2)+/(3)+/()-1+、-“+l.所以/+/(2)+.+/()1)+1”+4.综上，总 有/+/(2)+/()+4.(步骤9)