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1、一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、小三、小 结结 2/24一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节第三节 函数的极限 自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:3/24一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.4/241、定义：、定义：5/242、几何解释、几何解释:注意：注意：6/24例例2证证例例3证证7/24例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有
2、定义.8/243.单侧极限单侧极限(one-sided limit):例如例如,9/24左极限左极限右极限右极限(left-hand limit)(right-hand limit)10/24左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例5证证11/24例例6 6解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,12/24播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限13/24通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:14/241、定义：、定义：15/242、另两种情形、另两种情形:16/243、几何解释、几何解释:17/24例例7证证18/24三、函数极限的性质三、函数
3、极限的性质1.（局部）（局部）有界性有界性2.唯一性唯一性19/243.3.定理定理(局部保号性局部保号性)推论推论20/244.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理21/24例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.22/24例例8证：证：23/24二者不相等二者不相等,24/24四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)用时用时2课时课时25/24过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻
4、以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 26/24 27/24例例5证：证：28/2429/241、幂函数幂函数30/242、指数函数、指数函数31/243、对数函数、对数函数32/244、三角函数、三角函数Sine-正弦正弦函数正弦函数33/24cosine-余弦余弦函数余弦函数34/24tangent-正切，切线正切函数正切函数35/24cotangent-余切余切函数余切函数36/24secant-正割正割函数正割函数37/24Cosecant-余割余割函数余割函数38/245、反三角函数、反三角函数是整体记号39/24是整体记号40/24同上41/24 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.同上42/24思考题思考题43/24思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.44/24一、填空题一、填空题:练练 习习 题题45/2446/24练习题答案练习题答案