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1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课习题课一、一、重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法 累次积分法练习练习 P180 2(3);7;8(1),(3)目录 上页 下页 返回 结束 2(3).计算二
2、重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标原式P180解答提示解答提示:目录 上页 下页 返回 结束 7.把积分化为三次积分,其中 由曲面提示提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.P181目录 上页 下页 返回 结束 8(1).计算积分其中 是两个球(R 0)的公共部分.提示提示:由于被积函数缺 x,y,原式=利用“先二后一先二后一”计算方便.P181目录 上页 下页 返回 结束 8(3).计算三重积分其中 是由 xOy平面上曲线所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标原式绕 x 轴旋转而成的曲面与平面P181目录 上页 下页 返回 结束 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基
3、本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题练习题*5.利用重积分换元公式P180 1,4,8(2),11答案提示答案提示:(见下页)4.利用扩展积分域进行计算 目录 上页 下页 返回 结束 1(1).设由确定,由所确定,则 提示提示:C右边为正,显然不对,故选(C)利用对称性可知,(A),(B),(D)左边为 0,上半球第一卦限部分目录 上页 下页 返回 结束 1(2).则提示提示:如图,由对称性知在上是关于 y 的奇函数在上是关于 x 的偶函数A目录 上页 下页 返回 结束 证明:提示提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即
4、可证得.P181 4.8(2).其中 是 所围成的闭区域.提示提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用 对称性可知原式为 0.由球面P181目录 上页 下页 返回 结束 11.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示提示:建立坐标系如图.由已知可知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解解:(1)利用对称性.围成.目录 上页 下页 返回 结束(2)积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性,得目录 上页
5、 下页 返回 结束 例例2.计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域.解解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算二重积分在第一象限部分.解解:(1)两部分,则其中D 为圆域把D 分成作辅助线目录 上页 下页 返回 结束(2)提示提示:两部分 说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D 分成目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求抛物线所围区域 D 的面积A.解解:如图所示注注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,目录 上页 下页 返回 结束 例例5.交换积分顺序计算解解.积分域如图.目录 上页 下页 返回 结束 例例6.解解:
6、在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 目录 上页 下页 返回 结束 三、重积分的应用三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力 证明某些结论等 2.物理方面3.其它方面目录 上页 下页 返回 结束 例例7.证明证证:左端=右端=目录 上页 下页 返回 结束 例例8.设函数 f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论 F(t)在区间(0,+)内的单调性;(2)证明 t 0 时,(2003考研)目录 上页 下页 返回 结束 解解:(1)因为 两边对 t 求导,得 f(x)恒大于零,目录 上页 下页 返回 结束(2)问题转化为证 即证 故有因此 t 0 时,因目录 上页 下页 返回 结束 利用“先二后一”计算.例例9.试计算椭球体的体积 V.解法解法1目录 上页 下页 返回 结束*解法解法2利用三重积分换元法.则令目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P155 *21,*22(1)P174 4,9,11P182 12,13